b. Quy tắc tính giới hạn của thương
2.3. KẾT LUẬN PHÂN TÍCH THỂ CHẾ Về chương trình :
Về chương trình :
- Trình tự đưa vào khái niệm giới hạn và các tri thức liên quan là : Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục.Đạo hàmTiệm cận, thể hiện vai trò đối tượng nghiên cứu của khái niệm giới hạn.
- u cầu hình thành khái niệm giới hạn thơng qua ví dụ cụ thể, khơng dùng ngơn ngữ ,
để định nghĩa giới hạn, không chứng minh các định lí, quy tắc và chỉ áp dụng các quy tắc đại số để tìm các giới hạn đơn giản. Chương trình hiện hành mong muốn thể hiện vừa quan điểm xấp xỉ vừa quan điểm đại số của khái niệm giới hạn.
- Chương trình phân biệt hai khái niệm + và -, thừa nhận lim ( )f x cũng là giới hạn và đưa vào những quy tắc đại số liên quan đến giới hạn vơ cực và tính đến vai trị cơng cụ của khái niệm giới hạn.
Về SGK :
- Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và khái niệm tiệm cận đứng của hàm số có hoạt động mở đầu và hướng học sinh đến quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn. Trong đó, khái niệm giới hạn vơ cực của dãy số được các SGKHH viết theo quan điểm xấp xỉ f(x) của khái niệm giới hạn; Khái niệm tiệm cận đứng của hàm số được các SGKHH viết theo quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn.
- Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số khơng có hoạt động giúp học sinh tiếp cận khái niệm, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được định nghĩa tương tự khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. SGKCB định nghĩa trường hợp giới hạn ()của hàm số y=f(x) khi x dần tới dương vơ cực, cịn SGKNC định nghĩa trường hợp
0
lim ( )
x x f x
và cả hai SGKHH đều định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số theo quan điểm xấp xỉ x.
- Định nghĩa giới hạn hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn dãy số như chương trình yêu cầu. Định nghĩa theo quan điểm xấp xỉ nhưng sau đó hầu như khơng có ví dụ áp dụ định nghĩa. - Khơng có định nghĩa các khái niệm x
- Giới hạn vơ cực của hàm số khơng có ý nghĩa gì trong việc định nghĩa hàm số khơng liên tục. Giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm xấp xỉ x trong định nghĩa khái niệm tiệm cận đứng. + Các định lí, qui tắc :
- Các định lí, các quy tắc được đưa vào các SGKHH mà không chứng minh hay giải thích. - SGK hiện hành (nhất là bộ nâng cao) giới thiệu một cách có hệ thống và đầy đủ các quy tắc đại số trên khái niệm giới hạn.
+ Các tổ chức tốn học :
Chúng tơi thống kê lại các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số có mặt trong các quyển SGK đã phân tích như sau
DANH MỤC CÁC KIỂU NHIỆM VỤ T1 : Chứng minh dãy số có giới hạn vơ cực
T2: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số
T3: Tìm n để un>M cho trước
T4: Quan sát đồ thị nêu nhận xét về gía trị của hàm số đã cho khi
1 2
, ,
x xx xx, kiểm tra các nhận xét bằng cách tính các giới hạn của hàm số khi x dần tới các giá trị trên.
T5: Giải thích kết quả tìm được khi tính lim ( )
x d , lim ( ) x f d , lim ( ) x f d trong
vật lý với f là tiêu cự của thấu kính, d là khoảng cách từ vật tới quang tâm. T6: Quan sát bảng giá trị của dãy số và nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên
vô hạn
T7: Cho đồ thị hai hàm số f(x) và g(x), từ kết quả tính
0 lim ( ), lim ( ), x f x x f x 0 lim ( ), lim ( ) x g x x g x
xác định xem đường cong nào là đồ thị của hàm số nào? T8: Tìm tiệm cận của hàm số.
T9: Tìm điểm mà hàm số khơng liên tục.
T10: Giải thích vì sao khơng thể dùng cách thay thế để tìm lim ( )
o
x x f x
của các hàm số sau và tìm giới hạn đại số nếu nó tồn tại.
T11: Đúng hay sai: Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số và lim ( )
o x x f x không tồn tại thì lim ( ) ( ) o x x f x g x không tồn tại.
T12: Chọn hàm số thích hợp với bảng giá trị của hàm số trong lân cận xo của hàm số (xo là điểm mà hàm số không xác định).
Bảng thể hiện tỉ lệ các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, hàm số trong các SGK
Quan điểm SGK.CB SGK.NC SGK.M Các KNV Số NV Tỉ lệ Các KNV Số NV Tỉ lệ Các KNV Số NV Tỉ lệ Đại số T2, T8 34 82,9% T2, T8 84 95,4% T2 7 36,8% Xấp xỉ T3,T4,T5, T6, T7 7 17,1% T1 4 4,6% T8, T9, T10, T1, T12 12 63,2% Tổng cộng 7 41 100% 3 88 100% 6 19 100%
Xét trong cả hai cơ chế đối tượng nghiên cứu và công cụ nghiên cứu của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số :SGKCB đã đưa vào 2 TCTH theo quan điểm đại số(OM1) và 5 TCTH theo quan điểm xấp xỉ (OM2) với tổng cộng 41 nhiệm vụ con. SGKNC đưa vào 2 TCTH theo quan điểm đại số (OM1) và 1 tổ chức toán học theo quan điểm xấp xỉ (OM2) với tổng cộng 88 nhiệm vụ con. Khi tìm giới hạn vơ cực, chỉ có kĩ thuật dùng các quy tắc đại số được thể chế mong đợi. Các kỹ thuật dùng đồ thị hay dùng bảng giá trị khơng xuất hiện trong thể chế Việt Nam nhưng có xuất hiện trong thể chế dạy học của Mỹ.
Số nhiệm vụ trong các tổ chức toán học là dấu vết của OM1( TCTH mà kĩ thuật giải thuộc quan điểm đại số) chiếm tỉ lệ gần tuyệt đối trong cả hai SGKHH. Trong khi SGK Mỹ các kỹ thuật dùng đồ thị hay dùng bảng giá trị được chú trọng và quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn lấn át quan điểm đại số.
Các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng lim ( )
x a f x và lim ( ) x a f x trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất
Máy tính bỏ túi khơng thể hiện vai trị gì trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
Từ những kết luận trên, chúng tôi tổng hợp các nhận xét phục vụ cho việc đưa ra các giả thuyết nghiên cứu như sau :
- Các SGK hiện hành đưa vào các khái niệm, ví dụ và bài tập về dãy số dần tới vô cực, các hàm số có giới hạn vơ cực khi x tiến tới xo (xo hữu hạn, dương vô cực hoặc âm vô cực). Đặc biệt là SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vô cực”. Chương trình phân biệt hai khái niệm + và . Tuy nhiên khơng có bất cứ hoạt động nào giới thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm (hoặc dương) vô cực”.
- Trong phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng lim ( ) x a f x và lim ( ) x a f x
trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất vậy có thể học sinh sẽ sử dụng quy tắc hành động: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x
- Khơng có KNV mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa. Vậy định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số có sống được trong thể chế dạy học hiện hành không?
- Kĩ thuật xuất hiện trong SGLM chủ yếu là đồ thị. Phần hình thành các khái niệm tiệm cận, các SGKHH cũng có dựa vào đồ thị, nhưng kĩ thuật tìm tiệm cận và kĩ thuật tìm giới hạn hàm số trong các SGKHH của Việt Nam hoàn toàn là kĩ thuật đại số. Học sinh cũng đã được ứng dụng giới hạn vào việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (phần tìm tiệm cận và giới hạn hai đầu mút). Chúng tôi tiếp tục đặt câu hỏi: Đối với học sinh Việt Nam: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được hiểu như thế nào; Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và biểu thức đại số của nó có tốt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó khơng.
- Hoạt động mở đầu giới vô cực của dãy số và giới hạn hữu hạn của hàm số, SGKCB trình bày thực nghiệm số. Như vậy có thể khi dạy giới hạn vơ cực của hàm số, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vơ cực của hàm số và dự đốn giới hạn vơ cực của hàm số.
Từ những nhận xét trên chúng tơi muốn tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm số có giới han vơ cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu.
Ngồi ra chúng tơi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu như sau :
H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn vô cực
H2:Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x
H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
H4: Máy tính bỏ túi có vai trị mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Chúng tôi sẽ xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết trên ở chương III.
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM 3.1 Mục đích thực nghiệm :
Với nhận xét trên chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi thực nghiệm trên các học sinh sau khi đã học khái niệm giới hạn và khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhằm tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm số có giới hạn vô cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu, kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra ở cuối chương 2 như sau:
Giả thuyết nghiên cứu
H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn
H2: Trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x
H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
H4: MTBT có vai trị mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tơi là:
- Điều tra nghĩa của cụm từ x dần đến âm vô cực (hoặc dương vô cực) - Điều tra quan điểm nào về giới hạn vô cực tồn tại chủ yếu ở học sinh.
- Định nghĩa giới hạn vơ cực của hàm số có “sống” được trong thể chế dạy học Việt Nam hay không?
- Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số với giới hạn của hàm số và mối liên hệ giữa hàm số cho bằng công thức với giới hạn của hàm số được thể hiện như thế nào trong học sinh học chương trình hiện hành.
- Học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đốn giới hạn của hàm số hay khơng? 3.2 Hình thức thực nghiệm:
- Thực nghiệm sẽ được thực hiện với hai đối tượng học sinh học chương trình cơ bản và chương trình nâng cao.
- Học sinh làm việc cá nhân, trả lời 4 câu hỏi trong 1 phiếu điều tra trong vòng 35 phút. 3.3 Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiêm
Câu 1. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho học một học sinh lớp 10 (những học sinh chưa học khái niệm giới hạn) hiểu cụm từ “x dần tới +” có nghĩa là gì ?
Câu 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 2 1 y f x x x
a) Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu 1 lim ( ) x f x có nghĩa là gì.
b) Hãy viết một đoạn ngắn để chỉ cho một học sinh lớp 10 cách dự đoán
1
lim ( )
x f x
mà khơng cần tính tốn.
Câu 3. Cho một hàm số f có tập xác định là (0; +) và thỏa mãn lim ( )
x f x
a) Hãy viết một định nghĩa tốn học cho tình huống này.
b) Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 tình huống này.
c) Hãy cho 4 ví dụ bằng đồ thị minh họa hàm số có giới hạn + khi x dần tới + (chỉ cần vẽ phác họa đồ thị của hàm số)
d) Hãy cho 5 ví dụ về hàm số hàm số có giới hạn + khi x dần tới +
f) Em biết những phương pháp nào để chứng minh hàm số có giới hạn + khi x dần tới + Câu 4.
a) Em có sử dụng máy tính cầm tay khi tính giới hạn của hàm số khơng ? Rất hay sử dụng
Cũng thường sử dụng Ít khi sử dụng
Chẳng bao giờ sử dụng
b) Theo em, máy tính cầm tay có thể sử dụng để làm gì khi tính giới hạn của hàm số ? (Em có thể cho một ví dụ để giải thích rõ hơn)