PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM

b. Quy tắc tính giới hạn của thương

3.4 PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM

1. Câu 1. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho học một học sinh lớp 10 hiểu cụm từ “x dần tới +” có nghĩa là gì ?

a. Phân tích tiên nghiệm :

Mục đích của câu hỏi : Nhằm điều tra nghĩa của cụm từ “x dần tới ” trong học sinh. Vì cả hai SGKHH đều khơng có bất cứ hoạt động nào giới thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm (hoặc dương) vô cực »

Các lựa chọn : âm vô cực hoặc dương vơ cực

Lí do chúng tơi chọn  là vì cả hai SGKHH đều có đưa ra hoạt động hoặc ví dụ giới thiệu khái niệm dãy số dần tới dương vơ cực và SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vơ cực”

Những kiểu trả lời đó có thể là :

- “x dần tới +”có nghĩa là x tiến tới một giá trị dương vô cùng lớn ». Hoặc các câu trả lời gắn với các cụm từ :

- « x tăng dần »

- « x tiến tới một giá trị cực đại », - « x tiến về bên phải trục số »

- Nghĩa là x luôn nhận giá trị dương

- Giá trị của x là vô hạn, khơng đếm được ...

Dùng để tính giới hạn:

Khi tính giới hạn của hàm số mà x tiến tới dương vơ cực thì ta thế giá trị x rất lớn (hay thế x=) vào hàm số.

Khi tính giới hạn của hàm số chứa ăn x mà x tiến tới dương vơ cực thì hàm số đó tiến tới một giá trị nào đó.

Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cực để điền vào bảng biến thiên. Đọc lại kí hiệu: “Nghĩa là x dần tới dương vô cực”

Vì SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số un dần tới dương vô

cực’’ theo quan điểm xấp xỉ x, và có thể giáo viên cũng lấy thực nghiệm này để dạy cho học sinh học chương trình nâng cao, nên chúng tơi dự đốn các câu trả lời theo kiểu “x chuyển động sang phải trục số” sẽ được nhiều học sinh lựa chọn nhất. Tiếp đó là kiểu dùng để tính giới hạn, bởi vì phân tích thể chế cho thấy học sinh thường xuyên thực hiện các KNV tính giới hạn của hàm số ẩn x mà x dần tới dương vô cực, và KNV khảo sát hàm số mà trong đó phải tính các giới hạn tại vơ cực

để điền vào bảng biến thiên .

b. Phân tích hậu nghiệm:

Chúng tơi thóng kê kết quả thực nghiệm câu 1 trong bảng 1 sau: Bảng 1 Câu 1 x luôn chuyển động qua phải trục số Dùng để tình giới hạn

Khơng giải thích được

Đọc kí hiệu Khác Khơng giải thích 69(52,7%) 24(18,3%) 21(16%) 7(5,3%) 10(7,6%) 28,9% Nhận xét:

-Có đến 28.9% học sinh khơng giải thích được kí hiệu này. Trong đó có 21/131 học sinh chỉ viết lại cụm từ “x dần tới +”

- Trong số 52,7% câu trả lời thể hiện “ x luôn chuyển động qua phải trục số” khơng có học sinh nào hiểu đúng rằng “ x có thể nhận các giá trị lớn hơn bất cứ giá trị dương lớn nào cho trước” hay “ x có thể nhận giá trị lớn tùy ý”.

Trong những câu trả lời này chúng tơi tìm thấy một số học sinh có quan niệm: Kí hiệu : + là giá trị dương lớn nhất trên trục. Cụ thể các câu trả lời như sau”

- “có nghĩa là x dần tới một giá trị cực đại và tới +

- “giá trị x nhận được sẽ luôn theo chiều dương và x dần đến ”

- “nghĩa là giá trị x nhận được là một số dương khơng xác định chính xác giá trị nhưng tiến dần ra và lớn hơn rất nhiều so với 0”

- “nghĩa là x là biến số có thể thay đổi từ một số dương đến một số vô cực” …

Tuy chúng tơi đã chọn u cầu rằng giải thích “x dần tới ” và khơng có kí hiệu lim trong câu hỏi, nhưng đối với một bộ phận đáng kể học sinh 18,3% gắn kí hiệu này với bài tốn tính giới

hạn mà khơng giải thích gì thêm.

2. Câu 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 2 1 y f x x x    

Câu 2a. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu

1lim ( ) lim ( ) x f x     có nghĩa là gì. a. Phân tích tiên nghiệm

Mục đích của câu hỏi: Điều tra quan điểm nào của giới hạn tồn tại chủ yếu ở học sinh. Một câu hỏi tương tự cho trường hợp giới hạn hữu hạn đã được nêu ra trong nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004).

Từ nghiên cứu này, chúng tơi dự kiến các câu trả lời có thể như sau :

Theo quan điểm đại số: Tính hoặc nêu cách tính giới hạn 2

1

1lim lim

2 1

x x  x

Theo quan điểm xấp xỉ x:

 1 lim ( ) x f x 

  nghĩa là khi x tiến tới 1 mà x lớn hơn 1 thì f(x) tiến tới + (hay x càng gần 1 thì f(x) càng lớn)  1 lim ( ) x f x 

   có nghĩa là với dãy số (xn) bất kì, xn>1 và xn 1ta có f x( )n  ” Theo quan điểm xấp xỉ f(x):

f(x) có thể lớn hơn một số dương bất kì với những x lớn hơn 1 và đủ gần 1. Khơng giải thích được mà chỉ đọc kí hiệu:

1

lim ( )

x

f x



   có nghĩa là giới hạn của f(x) khi x1là

Giá trị của f(x ) là dương: 1 lim ( ) x f x 

   có nghĩa là f(x) nhận giá trị dương khi x dần tới 1 từ bên

phải.

Dự đoán câu trả lời theo kiểu đọc kí hiệu sẽ chiếm tỉ lệ nhiều nhất, tiếp đó là quan điểm đại số vì phân tích thể chế cho thấy trong sách giáo khoa hiện hành các KNV như thế này chưa từng xuất hiện và quan điểm đại số thống lĩnh, quan điểm xấp xỉ f(x) sẽ khơng xuất hiện vì các SGKHH khơng có hoạt động giới thiệu khái niệm giới hạn theo quan điểm này.

b. Phân tích hậu nghiệm:

Bảng 2a: thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2a

Câu 2a QĐ ĐẠI SỐ QĐ XẤP XỈ X QĐ XẤP XỈ f(x) F(x)>0

Khơng giải thích được

Đọc kí hiệu Khác Không trả lời

28(21%) 8(6,3%) 0 10(7,6%) 70(53,4%) 8(6,1%) 7(5,3%) 64,8%

Nhận xét:

- Có 64,8% (53,4%+6,1%+5,3%) học sinh khơng hiểu kí hiệu này có nghĩa là gì. Chúng tơi giải thích rằng có lẽ học sinh ít làm việc với giới hạn một bên. Giới hạn 1 bên chỉ xuất hiện trong bài khảo sát tính liên tục của hàm số và khơng cịn thể hiện vai trị của mình khi khảo sát hàm số.

- Kế đến là quan điểm đại số chiếm ưu thế khi học sinh viết một đoạn chỉ dẫn tính giới hạn. - Các quan điểm xấp xỉ gần như khơng xuất hiện khi có kí hiệu lim.

Ngồi ra có một câu trả lời như sau:

“khi ta giải nghiệm của phương trình bậc hai dưới mẫu ở trên ta sẽ có hai nghiệm và xét dấu, sau đó tìm y’, rồi vẽ bảng biến thiên. Khi biết x không xác định tại x=1 nên hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là ”

Ở đây có thể nói đã xuất hiện mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và bảng biến thiên, học sinh này cho rằng hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) thì hàm số có giới hạn là  khi x tiến đến b (“hàm số có chiều biến thiên là đi lên, nên hàm số có giới hạn là ”)

Phải chăng trong kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ khảo sát hàm số, học sinh được phép nhìn vào chiếu biến thiên của hàm số để dự đoán các giới hạn? ( Trong khi về mặt tốn học ta phải tính

giới hạn rồi mới điền vào bảng biến thiên)

2b) Hãy viết một đoạn ngắn để chỉ cho một học sinh lớp 10 cách dự đốn

1lim ( ) lim ( ) x f x   mà khơng cần thực hiện tính tốn a. Phân tích tiên nghiệm:

Mục đích của câu hỏi này là: Trong phân tích thể chế chúng tơi nhận thấy các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng lim ( ) x a f x     và lim ( ) x a f x     mà f(x) là những phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất vậy chúng tơi xem học sinh có sử dụng quy tắc hành động :

lim ( ) lim ( )

x a f x x a f x

 

   

Lí do lựa chọn hàm số f(x) như trên là để phá vỡ hợp đồng thể chế : f(x) là những phân thức

có mẫu là nhị thức bậc nhất Các câu trả lời có thể có là: - Câu trả lời đúng : 2 1 1 lim 2 1 x x x    

Câu trả lời đúng này có thể được tìm thấy bằng nhiều cách:

 Tính giới hạn bằng quy tắc đại số : 2 2

1 1 1 1 lim lim 2 1 ( 1) xx x x x     

 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính gần đúng các giá trị x gần 1 và nhỏ hơn 1 để đoán giới hạn

- Câu trả lời theo quy tắc hành động : lim ( ) lim ( ) x a x a f x f x      

Các câu trả lời theo quy tắc hành động trên cho đáp số là 

Chúng tơi dự đốn nhiều học sinh sẽ trả lời sai theo quy tắc hành động trên.

Bảng 2b thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 2b

Câu 2b Đúng Theo quy tắc hành động Khác Không trả lời 24(18,3%) 51,1% 8(6,1%) 32(24,4%) Nhận xét:

- Có đến 51,1% học sinh trả lời theo quy tắc hành động trên. - 24,4% học sinh không trả lời.

- Chỉ có 18% học sinh trả lới đúng câu hỏi này. - Số học sinh cho câu trả lời khác là 6,1%

Chúng tơi trích dẫn một số câu trả lời của học sinh như sau: “ 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x         ”

“Ta thay 1 vào mẫu số, khi đó mẫu số sẽ bằng 0 nên hàm số f(x) khơng có nghĩa. Lúc đó ta thấy mẫu dần tới bên trái của số 1 có nghĩa là mẫu nhỏ hơn 0. Tử bằng 1>0 suy ra

1lim ( ) lim ( ) x f x    ”

Như vậy chúng tôi cho rằng trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau: lim ( ) lim ( )

x a f x x a f x

 

   

3. Câu 3. Cho một hàm số f có tập xác định là (0; +) và thỏa mãn lim ( )

x f x

  

a) Hãy viết một định nghĩa tốn học cho tình huống này

Mục đích câu hỏi: Xem định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số đặc biệt là định nghĩa theo ngôn ngữ dãy số như sách giáo khoa có sống được trong thể chế hay khơng?

Với mục đích ấy, ta quan tâm đến câu trả lời

Trả lời bằng định nghĩa SGK (ngôn ngữ dãy số): lim ( )

x f x

  nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (0;+) mà limxn=+ ta đều có limf(xn)=”

Trả lời bằng cách việc mơ tả kí hiệu bằng ngơn ngữ tự nhiên hay kí hiệu khác: - kiểu:  x (0;)mà x  thì f x( ) 

-“f(x) có tập xác định là(0;) thì giới hạn của nó khi x dần tới dương vơ cực bằng dương vơ cực”

- “f(x) có tập xác định là(0;) thì lim ( )

x f x

  ”

Chúng tôi dự kiến định nghĩa SGK không được học sinh sử dụng, mà nhiều học sinh sẽ sử dụng định nghĩa theo kiểu nhắc lại vì phân tích thể chế cho thấy các SGKHH hầu như khơng có KNV mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng đinh nghĩa

b. Phân tích hậu nghiệm:

Bảng 3a thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3a

Câu 3a ĐN SGK Mô tả bằng kí hiệu khác Khác Khơng trả lời 0 56(42,6%) 18(13,7%) 57(43,5%) Các câu trả lời khác

- “ f(x) là hàm số đồng biến” (Câu trả lời này dựa vào quy tắc hành động đọc giới hạn từ bảng biến thiên)

- “f(x) nhận giá trị dương”

Nhận xét:

Định nghĩa “dãy số” mà các SGKHH đã giới thiệu khơng có ấn tượng gì đối với học sinh, hay nói cách khác là định nghĩa ấy khơng “sống” được trong thể chế.

Định nghĩa giới hạn hàm số theo kiểu khác 13,7 % trong các câu trả lời của câu hỏi này. Số học sinh trả lời được câu hỏi theo kiểu mơ tả bằng kí hiệu khác chiếm đến 42,6% Số học sinh không trả lời là 43,5%, chiếm tỉ lệ cao nhất.

Chúng tôi quan tâm đến các câu trả lời:

“Khi tập xác định là (0;)và thỏa mãn lim ( )

x f x

  thì ta biết được chiều biến thiên của nó là đồng biến”

“Cho hàm số f(x) xác định trên (0;), với x2>x1 thì limf(x2)>limf(x1) khi x  thì lim ( )

x f x

  ”

Một lần nữa học sinh khẳng định “ lim ( )

x f x

  thì ta biết được chiều biến thiên của nó là đồng biến” và ngược lại.

“Cho hàm số f(x) xác định trên (0;), tức là f luôn dương với mọi x do đó lim ( )

x f x

  ”

“lim ( )

x f x

  luôn nhận giá trị dương trong khoảng (0;)”

Tương tự như x , lim ( )

x f x

  thì f(x) sẽ ln nhận giá trị dương.

Câu trả lời mà chỉ nhắc lại kí hiệu hoặc chỉ quan tâm đến tập xác định của hàm số được khá nhiều

học sinh sử dụng.

3b. Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 tình huống này. Mục đích câu hỏi: để thu thập thêm các thông tin cho câu 3a.

Cũng phù hợp với câu 3a, có đến 80% học sinh khơng giải thích được. Ngồi ra chúng tơi thu được một số thơng tin sau:

“Vì x(0;+ ) , vì x tăng từ 0 đến nên theo lim ( )

x f x

  thì khi x tăng đến một số rất lớn thì f(x) cũng nhận một giá trị rất lớn hay hiểu đơn giản là hàm số đồng biến”

“khi ta thay các giá trị x(0;+ ) thì hàm số ln đạt giá trị dương.

Vậy là ở câu này tiếp tục xuất hiện những câu trả lời thể hiện mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số và giới hạn vô cực cuả hàm số.

3c. Hãy cho 4 ví dụ bằng đồ thị minh họa hàm số có giới hạn + khi x dần tới + (chỉ cần vẽ phác họa đồ thị của hàm số)

Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được thể hiện như thế nào ở học sinh.

Trường hợp này có thể học sinh sẽ để trống hoặc vẽ “đại” những đồ thị mà các em biết như là đường thẳng, parabol, đồ thị hàm số bậc ba, đồ thị ham số bậc bốn trùng phương…

Bảng 3c thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3c

Câu 3c Vẽ 4 đồ thị Ít nhất một ơ bỏ trống Đúng 4 đồ thị Ít nhất một đồ thị sai 31(23,5%) 47(35,9%) 65(49,6%) Nhận xét: - Chỉ có 23,6% vẽ đúng 4 đồ thị

- 35,9% vẽ được 4 đồ thị nhưng trong đó có ít nhất một đồ thị sai - Có đến 49,6% học sinh bỏ trống ít nhất một ơ

Kiểu sai phổ biến: vẽ các đồ thị mà lim ( )

x f x

  hoặc lim ( )

x f x L

  ( L hữu hạn)

Như vậy mối liên hệ giữa giới hạn vô cực của hàm số và đồ thị thể hiện rất mờ nhạt ở học sinh dù rằng đối tượng mà chúng tôi tiến hành thực nghiệm là những học sinh đã được học khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Chúng tôi scan 2 bài làm của học sinh như sau:

64 4 2 -10 -5 5 10 gx  = 1 x+ x 3 2 -2 5 10 2 -2 5 10 4 2 -2

3d. Hãy cho 5 ví dụ về hàm số hàm số có giới hạn + khi x dần tới +

Mục đích câu hỏi: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của nó thể hiện như thế nào trong học sinh?

2 1 1 ( ) x h x x   ( ) osx-1 x f x  xc

Trường hợp này hàm số được học sinh lựa chọn nhiều nhất là hàm đa thức và hàm phân thức vì các bài tập trong các SGK hiện hành chủ yếu thuộc hai dạng này.

Bảng 3d thống kê tỉ lệ câu trả lời của câu 3d

Câu 3d Cho 5 hàm số Ít nhất một ơ bỏ trống Đúng 5 hàm số Ít nhất một hàm số sai 48(36,6%) 40(30,5%) 43(32,9%) Nhận xét: - Chỉ có 36,6% cho đúng 5 hàm số - 32,9% học sinh bỏ trống ít nhất một ơ

- 30,5% học sinh cho được 5 hàm số nhưng có ít nhất một hàm số sai.