f) Định nghĩa đệ qui
Ví dụ 47
- Với n N , ta có thể định nghĩa n! (n giai thừa) nhƣ sau 0! = 1 ; n! = (n – 1)! với n > 0
- Định nghĩa của dãy số Fibonaci (fn) nhƣ sau f1 = 1 ; f2 = 1 ; fn = fn-1 + fn-2 với n > 2
g) Định nghĩa khái niệm bằng cách mơ tả
Ví dụ 48: Khái niệm “hàm số”
Ở cấp THCS (lớp 7, lớp 9), khái niệm “hàm số” đƣợc mô tả nhƣ sau
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x (và x gọi là biến số).
Ta viết: y = f(x) , y = g(x) , …
Đến đầu cấp THPT (lớp 10), khái niệm “hàm số” đƣợc mô tả chặt chẽ hơn
Cho một tập hợp khác rỗng D R.
Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, ký hiệu là f(x) ; số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định, x gọi là biến số của hàm số f. Để chỉ rõ ký hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y = f(x).
h) Định nghĩa khái niệm “ngược” với định nghĩa khái niệm đã có
Ví dụ 49 : Khái niệm logarit (SGK Toán 12 nâng cao) Ta đã biết
Cho a > 0 và a 1. Với mỗi số R, ta ln có lũy thừa a
là một số dương. Định nghĩa lôgarit
Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực để a
= b được gọi là lôgarit cơ số a của b, ký hiệu là logab , nghĩa là = logab a = b
Ta có thể nói khái niệm “lơgarit cơ số a của b” là khái niệm ngƣợc với khái niệm “lũy thừa cơ số a với số mũ thực ”.
- 114 -
4.3.1.2 Về các khái niệm khác đƣợc định nghĩa ở T S đồng thời ở T PT đồng thời ở T PT
Ví dụ 50 Từ định nghĩa căn bậc hai đến định nghĩa căn bậc hai số học Ở lớp 7, khái niệm về căn bậc hai đƣợc định nghĩa nhƣ sau
Căn bậc hai của một số a không âm là số x, sao cho x2 = a.
Từ đó ta có
- Nếu a > 0 , a có đúng 2 căn bậc hai gồm một số dƣơng ký hiệu là a
và một số âm ký hiệu là - a.
- Nếu a = 0 , số 0 chỉ có 1 căn bậc hai là 0, cũng viết 0= 0.
Đến lớp 9, “căn bậc hai dƣơng” đƣợc định nghĩa là “căn bậc hai số học”, phát biểu dƣới dạng một phép hội
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Ta viết x = a a x 0 x 2 Ví dụ 51: Định nghĩa “phƣơng trình một ẩn” ở lớp 8 và lớp 10 Ở lớp 8, “phƣơng trình một ẩn” đƣợc định nghĩa nhƣ một đẳng thức hình thức
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x),
trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
Ở lớp 10, do trƣớc đó đã có khái niệm “mệnh đề chứa biến” (hàm mệnh đề) nên “phƣơng trình một ẩn” đƣợc định nghĩa dựa theo khái niệm đó
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg. Đặt D = Df Dg.
Mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn ; x gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của phương trình.
Ví dụ 52: Định nghĩa Hàm số đồng biến, nghịch biến ở lớp 9 và lớp 10 Ở lớp 9, định nghĩa đƣợc mở đầu bằng mô tả rồi mới phát biểu
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R.
- 115 -
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R.
Nói cách khác, với x1, x2 bất kỳ thuộc R
a) Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R. b) Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R.
Đến lớp 10, định nghĩa đƣợc phát biểu đầy đủ và chặt chẽ hơn
Cho hàm số f xác định trên K
(K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng). Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu
x1, x2 K , x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu
x1, x2 K , x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Ví dụ 53: Định nghĩa “hai tam giác đồng dạng” ở lớp 8 và định nghĩa “hai hình
đồng dạng” ở lớp 11.
Ở lớp 8, định nghĩa “hai tam giác đồng dạng” có cấu trúc là một phép hội của các mệnh đề
Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC nếu A’=A ; B’=B ; C’=C ; CA A C BC C B AB B A' ' ' ' ' '
Đến lớp 11, ta có định nghĩa “hai hình đồng dạng” (tổng quát hơn “hai tam giác đồng dạng”) nhƣ sau
Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Vậy : Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC nếu có phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Theo các tính chất của phép đồng dạng, hai tam giác này cũng có 3 góc tƣơng ứng bằng nhau và 3 cạnh tƣơng ứng tỉ lệ.
Do đó định nghĩa “hai tam giác đồng dạng” ở lớp 8 vẫn phù hợp với định nghĩa “hai hình đồng dạng” ở lớp 11.
Ví dụ 54 : (SGK Tốn 10 nâng cao) định nghĩa hàm số chẵn, lẻ . Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D.