Con đường có khâu suy đốn

- 119 Nói cách khác : Cho hai mặt phẳng (P), (Q).

a) Con đường có khâu suy đốn

Sử dụng suy luận qui nạp (không hồn tồn) khái qt hóa, dự đốn, tƣơng tự, … để rút ra những tính chất có đƣợc từ những tình huống cụ thể. Phát biểu thành một mệnh đề (đƣợc dự đốn là đúng) phản ánh tính chất đó, rồi tiến hành chứng minh (bằng suy diễn) và cuối cùng là phát biểu thành định lý.

Ví dụ 74 : Định lý về tổng ba góc của một tam giác. (theo SGK Toán 7) - Phần 1 : Qui nạp khơng hồn tồn

Cho tùy ý một số tam giác, chẳng hạn 10 tam giác.Thực hiện đo các góc và tính tổng các góc đó. Ta nhận thấy các kết quả nhận đƣợc đó sẽ xấp xỉ hoặc đúng 180o. Ta dự đốn Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o.

- Phần 2 : Suy diễn

Ta chứng minh dự đoán vừa nêu bằng phép suy diễn.

Ví dụ 75 : Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (cịn gọi là bất đẳng thức Cơ-si).

a) Đối với hai số không âm

Với mọi a  0 , b  0 ; ta có 2 a b ab  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Nói cách khác : Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số khơng âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

- 123 -

“Ngƣời ta cũng chứng minh đƣợc kết quả tƣơng tự cho trƣờng hợp ba số không âm” (theo SGK 10 nâng cao)

b) Đối với ba số không âm

Với mọi a  0 , b  0 , c  0 ; ta có 3 3 a b c abc   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .

Nói cách khác : Trung bình cộng của ba số khơng âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của ba số khơng âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.

Ta cũng có thể giới thiệu kết quả tƣơng tự cho trƣờng hợp tổng quát Với a1, a2 , …, an  0 ;

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = …= an

Ta công nhận bất đẳng thức này (khơng chứng minh trong chƣơng trình tốn trung học hiện hành).

Ví dụ 76: a) Biểu thị một vectơ một cách duy nhất qua 2 vectơ không cùng phƣơng (SGK HH 10 nâng cao)

Cho hai vectơ , khơng cùng phƣơng . Khi đó mọi vectơ có duy nhất cặp số (m,n) sao cho = + n

Nói cách khác Với , không cùng phƣơng.

vectơ ; ! m, nR : = + n

Ta cũng dễ dàng chứng minh đƣợc kết quả này (theo SGK)

Tương tự ở lớp 11, ta cũng có kết quả sau đây :

b) Biểu thị một vectơ một cách duy nhất qua 3 vectơ không đồng phẳng (SGK HH 11 nâng cao)

Cho ba vectơ , , khơng đồng phẳng . Khi đó với mỗi vectơ ta tìm đƣợc các số m, n, p sao cho = + n + p . Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất. Nói cách khác Với , , không đồng phẳng

vectơ ; !m, n, pR = + n + p

- 124 -