xảy ra nhưng chưa thể chứng minh được nếu không có những cơng thức tốn học hỗ trợ. Thơng thường mọi hiện tượng và định luật vật lí đều phải được lý giải một cách cụ thể và có sức thuyết phục làm cho học sinh nhận thức được các vấn đề trong quá trình học tập và nghiên cứu. Có thể chỉ ra một số kiến thức đại số cần thiết giúp cho giáo viên và học sinh nghiên cứu các hiện tượng và định luật vật lí của chương" Dao động cơ" như sau:
+ Đạo hàm và xác định đạo hàm của các hàm số:
Trước tiên học sinh cần hiểu định nghĩa đạo hàm, cách tìm đạo hàm của một hàm số. Đây là vấn đề thuộc tốn học thuần t nhưng nó rèn cho học sinh một số kỹ năng toán học để vận dụng trong quá trình học tập và nghiên cứu các vấn đề vật lí.
+ Phương trình vi phân hạng hai thuần nhất và không thuần nhất:
Đây là loại phương trình phức tạp, với kiến thức THPT học sinh chưa thể giải được phương trình này. Giáo viên cần phải kết hợp các kiến thức toán học và vật lí học dựa trên cơ sở phương pháp động lực học đã học và tính chất đạo hàm của một số hàm để giải thích hoặc minh chứng cho học sinh thừa nhận các phương trình đó có ý nghĩa vật lí. Ví dụ phương trình vi phân hạng 2 có dạng x''+2.x0 là phương trình mơ tả DĐĐH đã được chứng minh chi tiết ở mục 2.3.2.
Từ đó học sinh có thể biết cách tìm nghiệm của bất cứ một phương trình vi phân nào có dạng như trên đây với nghiệm là một hàm cosin hay hàm sin: x = A.cos(t) hay x = A.sin(t).
Học sinh THPT chưa giải được phương trình này, nhưng về mặt lí luận, nếu giáo viên truyền thụ được kỹ năng cho học sinh chi tiết như mục 2.3.2. thì học sinh có thể hiểu được các phương trình (2.1), (2.2) và (2.3).
Ngồi ra học sinh có thể biết thêm được phương trình vi phân hạng 2 không thuần nhất. Những kiến thức này giúp học sinh hiểu rõ được một vật dao động điều hồ có thể mơ tả được bằng tốn học với các phương trình vi
phân hạng hai hoặc khi nghiên cứu dao động tắt dần ta dùng các phương trình vi phân tuyến tính hạng hai khơng thuần nhất (mục này không nghiên cứu sâu).
+ Các công thức lượng giác, hàm số lượng giác và phương trình lượng giác:
Khi nghiên cứu chương " Dao động cơ" ta dùng rất nhiều đến các hàm số lượng giác. Chẳng hạn khi dùng các phương trình vi phân hạng hai ta tìm được nghiệm của phương trình là một hàm lượng giác sin hoặc cosin. Trong các bài toán biến đổi từ hàm sin sang hàm cosin hoặc ngược lại ta phải dùng các cơng thức góc bù, phụ đối và hơn kém nhau góc hoặc /2.
Muốn tìm thời điểm và khoảng thời gian ngắn nhất để một vật dao động điều hoà nào đó có: x = x1, v = v1, a = a1, ta giải các phương trình lượng giác và nhận được các họ nghiệm của phương trình và suy ra kết quả cần tìm. Quá trình tổng hợp các dao động điều hồ là q trình cộng các hàm số lượng giác với nhau ta phải dùng các cách để giải phương trình lượng giác đó. Chương " Dao động cơ" nghiên cứu dao động điều hoà đều phải dùng đến lượng giác cho nên việc bồi dưỡng các kiến thức có liên quan đến lượng giác là cần thiết.
+ Bồi dưỡng các cơng thức tính gần đúng:
Khi tính tốn định lượng về vật lí có thể gặp những sai số nhất định. Nếu dùng các cơng thức chuẩn thì việc giải các bài tốn trở lên khó khăn và tốn kém thời gian. Nhưng áp dụng các cơng thức gần đúng thì việc giải các bài tốn vật lí trở nên dễ dàng, kết quả cũng chuẩn xác trong giới hạn cho phép. Đặc biệt những bài tốn có liên quan đến con lắc đơn, sự phụ thuộc chu kỳ của con lắc đơn vào các yếu tố bên ngoài.
- Kiến thức về hình học:
Trong q trình nghiên cứu vật lí nói riêng, các ngành khoa học khác nói chung có nhiều nội dung khi nghiên cứu là trừu tượng, khó hiểu. Để nắm rõ được vấn đề, phải mô tả một cách trực quan. Một trong những cách thức mô tả trực quan là dùng hình học. Cho nên bồi dưỡng kiến thức hình học cho học
sinh là cần thiết. Dựa trên nội dung của chương có thể chỉ ra những kiến thức về hình học cần bồi dưỡng cho học sinh như sau:
+ Véc tơ, các tính chất của véc tơ, cách tìm hình chiếu của một véc tơ xuống một trục bất kỳ.
Cách tìm hình chiếu của véc tơ tổng xuống một trục bằng tổng hình chiếu của các véc tơ thành phần xuống một trục bất kỳ. Đây là phần kiến thức hình học giúp các em học sinh nghiên cứu về phần dao động cơ hữu ích. Nắm chắc được điều đó các em khơng những hiểu sâu sắc các hiện tượng, đại lượng vật lí mà cịn giải quyết được nhiều bài tốn vật lí.
+ Cách vẽ đồ thị của một số hàm số lượng giác:
Đồ thị là một phương pháp nghiên cứu vật lí. Trên cơ sở của đồ thị có thể đốn nhận và giải thích được nhiều vấn đề liên quan của các đại lượng vật lí.
- Kỹ năng giải tốn:
+ Kỹ năng giải tốn vật lí thực sự cần thiết cho giáo viên và học sinh trong vật lí học. Có thể kể đến một số kỹ năng như: giải và tìm nghiệm các phương trình lượng giác của các vật dao động điều hoà, dao động tắt dần và dao động cưỡng bức,...
+ Kỹ năng tính tốn: Kỹ năng này được biểu hiện như cách tính các hàm số đặc biệt và các hàm số lượng giác.
+ Kỹ năng biểu diễn véc tơ, vẽ các đường tròn lượng giác, kỹ năng vẽ đồ thị hàm số.
2.4.2. Những nội dung vật lí chương" Dao động cơ " có liên quan đến tốn học
2.4.2.1. Sử dụng hàm số, phương trình lượng giác vào việc giải bài tập để tìm các đại lượng có liên quan đến dao động điều hồ của con lắc lị xo, con lắc đơn và con lắc vật lí
Trong mục 2.3.2 chúng ta đã phân tích và nghiên cứu chi tiết về con lắc đơn, con lắc lò xo và con lắc vật lí. Các dao động của chúng đều là DĐĐH và được mô tả bằng phương trình (2.1). Nghiệm của nó được mơ tả bởi các
phương trình (2.2) và (2.3). Đó là các hàm lượng giác - hàm tuần hồn. Với hình thức thi như hiện tại, học sinh cần được trang bị cơng cụ tốn học hữu ích thì mới có thể làm tốt được các bài thi.
Ví dụ sau đây có thể minh chứng cho luận điểm trên:
Để viết phương trình dao động điều hồ của một vật ta cần thực hiện một số bước sau đây: Viết phương trình dao động của vật có dạng tổng qt:
x = Acos(t) (2.42)
+ Phương trình này là hàm lượng giác tuần hoàn nên cần phải xác định trục toạ độ để mô tả dao động ở dạng đồ thị:
- Nếu đề bài đã chọn trục thì ta theo bài tốn đã chọn
- Nếu chưa chọn hệ trục thì ta chọn gốc toạ độ tại vị trí cân bằng (VTCB), chiều dương tuỳ ý. Sau đó tiến hành tìm các đại lượng như tần số góc () và biên độ (A). + Tìm : m k f T 2 2 .
+ Tìm A: Bảng 2.3 đưa ra một số kết quả đã được chuẩn hố trong q trình nghiên cứu về DĐĐH. Ta có thể chọn và sử dụng những kết quả phù hợp cho các câu hỏi cụ thể dựa vào bảng (2.3)
Bảng 2.3. Một số kết quả tính các thơng số cơ bản trong dao động điều hòa của con lắc lò xo
Đại lƣợng cần tìm Kết quả
Toạ độ x, ứng với vận tốc v (A)
A = 2 2 2 v x Gia tốc cực đại (ama.x) ama.x 2A
Vận tốc ở VTCB (vmax) vmax = A.
Chiều dài quỹ đạo CD (A) A = CD/2
Lực tác dụng cực đại (Fmax) Fmax = k.A Cho cơ năng ( E= Eđ + Et ) E = kA2/2 ...
+ Tìm ( ):
Dựa vào điều kiện ban đầu: t = 0, x = x0 ; v = v0 Ta có hệ phương trình x = Acos . 0 v = -A .sin .
Giải hệ phương trình trên ta tìm được A và. * Chú ý: Ở vị trí cân bằng (VTCB) x = 0, vmax = A.
Ở vị trí biên x = A; v = 0. Et(max) = Eđ(max) = E = kA2/2.
2.4.2.2. Sử dụng giản đồ véc tơ quay để tìm các đại lượng liên quan đến dao động điều hoà và tổng hợp các dao động điều hoà
Mỗi dao động điều hồ có thể là tổng hợp của nhiều dao động điều hoà thành phần khác nhau. Theo Fresnen mỗi dao động điều hồ có thể biểu diễn bằng một véc tơ quay, do vậy khi tổng hợp các véc tơ chỉ cần sử dụng phương pháp hình bình hành. Muốn tìm pha ban đầu của dao động tổng hợp ta lấy hình chiếu của véc tơ xuống một trục nhất định. Sau đó tìm hình chiếu của véc tơ tổng với trục đó. Như vậy kiến thức tốn học về vấn đề véc tơ đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu "Dao động cơ" vật lí 12, chương trình nâng cao.
2.4.2.3. Sử dụng đường tròn lượng giác vào giải các bài tập vật lí và mối quan hệ giữa chuyển động trịn đều với dao động điều hồ
Nghiên cứu dao động điều hoà, ta thấy rằng mỗi dao động điều hồ có thể coi như là hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Một số bài tốn vật lí dao động cơ khi giải giải, nếu dùng phương trình lượng giác vào việc tìm nghiệm thì tốn nhiều thời gian và cũng khơng phù hợp với hình thức thi ngày nay. Cho nên cần tìm ra cách thức hữu hiệu để giải quyết bài tốn nhanh gọn và chính xác. Phương pháp đường tròn lượng giác là một phương pháp khả thi, hữu hiệu để giải quyết vấn đề đó.
Hình 2.15a minh hoạ phương pháp này: Dao động điều hồ và chuyển động trịn đều.
2.4.2.4. Sử dụng các công thức gần đúng trong toán học để tìm chu kỳ dao động phụ thuộc vào nhiệt độ, độ cao, độ sâu và lực phụ; vận tốc, lực căng dây của con lắc trong dao động điều hoà
Khi nghiên cứu các hiện tượng, bài tốn vật lí của chương " Dao động cơ" để giải được các bài toán ra kết quả cần phải dùng các công thức gần đúng. Khi dùng các công thức này việc cho kết quả của bài toán so với thực tế là trong giới hạn cho phép. Vì vậy dùng công thức gần đúng giúp học sinh giải nhanh các bài tốn vật lí, hiểu đúng các hiện tượng và đại lượng vật lí.
Sau đây là một ví dụ điển hình để minh hoạ cho luận điểm trên:
Một con lắc đơn có khối lượng m =100g, dây treo có chiều dài l = 1 m được kéo ra khỏi vị trí cân bằng một góc = 100 rồi thả không vận tốc đầu. Lấy g = 10m/s22 m/s2. Tìm vận tốc khi con lắc ở góc lệch = 80.
Gợi ý giải:
Từ cơng thức tính vận tốc của con lắc đơn tại góc lệch bất kỳ:
) cos (cos 2 0 gl v
Do góc lệch là nhỏ nên ta áp dụng cơng thức gần đúng sau đây:
2 1 2 sin 2 1 cos 2 2
Hình 2.15a. Mối quan hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều
t x
Thay vào ta được : s m gl v / 33 , 0 5 , 22 18 1 . 10 ) ( 2 2 2 2 0
2.4.2.5. Sử dụng đồ thị để mô phỏng các đại lượng vật lí trong dao động điều hồ như: li độ, vận tốc, gia tốc, động năng, thế năng,...
Trong thực tế nhiều hiện tượng và đại lượng vật lí xảy ra rất trừu tượng, khiến cho người dạy, học cảm thấy khó hiểu. Nhưng để đơn giản và dễ hiểu ta có thể mơ tả, biểu diễn chúng bằng hình học (đồ thị). Khi đó việc nghiên cứu trở nên trực quan, sinh động và dễ hiểu. Trong chương " Dao động cơ" mô tả các đại lượng như: li độ, vận tốc, gia tốc, động năng và thế năng,…Ta dùng đồ thị để mô tả. Do vậy các đại lượng, hiện tượng vật lí trừ tượng được cụ thể hóa.
Các đại lượng cần tính trong dao động điều hoà phụ thuộc vào thời gian được biểu diễn trên cùng một hệ trục toạ độ như hình 2.15b.
2.4.2.6. Sử dụng phương trình vi phân vào việc mơ tả các dao động điều hồ và dao động tắt dần
Phương trình vi phân tốn học giúp cho giáo viên, học sinh nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến dao động điều hoà và dao động tắt dần. Nhưng ở
Hình 2.15b. Đồ thị sự phụ thuộc của x, v, a vào thời gian trên cùng một hệ trục tọa độ
THPT thì học sinh chưa thể giải được phương trình này. Cho nên việc bồi dưỡng kiến thức sơ bộ về phương trình vi phân là rất cần thiết. Vấn đề này đã được trình bày chi tiết trong mục 2.4.2.1.
2.5. Mục tiêu dạy học chƣơng “Dao động cơ” vật lí lớp 12 chƣơng trình nâng cao nâng cao
2.5.1. Mục tiêu về tốn học
Như các phần trên đã trình bày: Tốn học là một công cụ quan trọng để nghiên cứu vật lí. Đặc biệt chương "Dao động cơ" sử dụng nhiều đến kiến thức toán học. Mục tiêu của chương là giúp học sinh dùng các cơng cụ tốn học có liên quan để tư duy các hiện tượng và giải các bài tập vật lí cơ bản về dao động. Từ đó học sinh hiểu được bản chất vật lí, vận dụng các vấn đề lý thuyết vào thực tế.
Tóm lại để đạt được mục tiêu của chương "Dao động cơ" học sinh cần phải nắm được các kiến thức, kỹ năng toán học sau đây:
- Kiến thức về đại số:
+ Định nghĩa đạo hàm, công thức xác định đạo hàm của các hàm số. + Phương trình vi phân hạng hai thuần nhất và không thuần nhất + Các cơng thức tính tích phân.
+ Các cơng thức tính giới hạn của hàm số và các dạng giới hạn
+ Các công thức lượng giác, hàm số lượng giác và phương trình lượng giác…
+ Các cơng thức tính gần đúng…
- Kiến thức về hình học:
+ Định nghĩa véc tơ, các tính chất của véc tơ, cách tìm hình chiếu của một véc tơ xuống một trục bất kỳ
+ Cách vẽ đồ thị của một số hàm số lượng giác…
- Kỹ năng giải tốn:
+ Kỹ năng tính tốn: tìm đạo hàm, giới hạn,…
+ Kỹ năng biểu diễn véc tơ, vẽ các đường tròn lượng giác, kỹ năng vẽ đồ thị hàm số.
2.5.2. Mục tiêu về vật lí
Có thể đưa ra mục tiêu chung khi nghiên cứu chương "Dao động cơ" cần đạt được về kiến thức, kỹ năng và thái độ sau:
Kiến thức:
- Hiểu được khái niệm và định nghĩa dao động điều hoà.
- Nêu được li độ, biên độ, tần số, chu kì, pha, pha ban đầu là gì? - Nêu được quá trình biến đổi năng lượng trong dao động điều hoà.
- Viết được phương trình động lực học và phương trình dao động điều hồ của con lắc lò xo và con lắc đơn.
- Viết được cơng thức tính chu kì (hoặc tần số) dao động điều hồ của con lắc lò xo và con lắc đơn. Nêu được ứng dụng của con lắc đơn trong việc xác định gia tốc rơi tự do.
- Trình bày được nội dung của phương pháp giản đồ Fresnen.
- Nêu được cách sử dụng phương pháp giản đồ Fresnen để tổng hợp hai dao động điều hoà cùng tần số và cùng phương dao động.
- Nêu được dao động riêng, dao động tắt dần, dao động cưỡng bức là gì. - Nêu được điều kiện xảy ra hiện tượng cộng hưởng.
- Nêu được các đặc điểm của dao động tắt dần, dao động cưỡng bức, dao