1.3 .Một số tình huống điển hình trong dạy học mơn Tốn
2.5. Thiết kế một số tình huống dạy học định lí
2.5.1. Dạy học định lí theo hướng khám phá
Dạy học định lí theo hướng khám phá có thể diễn ra như sau:
- Gợi động cơ học tập định lí, có thể đưa ra một tình huống cụ thể để kích thích HS chú ý tìm hiểu;
- Cho HS các đối quan sát các đối tượng thỏa mãn các điều kiện hoặc kết luận của định lí;
- Tổ chức cho HS tiến hành các phép kiểm tra, so sánh, phân loại các đối tượng nhằm làm bộc lộ quy luật ẩn chứa bên trong các đối tượng. Trong quá trình thực hiện, tùy theo mức độ GV có thể định hướng cho HS đi đến các dự đoán thông qua việc xem xét các trường hợp đặc biệt;
- Dự đốn và phát biểu định lí dưới dạng một mệnh đề; - Phát biểu định lí và chứng minh định lí (nếu cần thiết); - Củng cố và vận dụng định lí trong các bài tập.
Dạy học định lí theo hướng khám phá có thể diễn đạt bằng sơ đồ sau:
GV Tình huống Hoạt động Tìm ra đặc điểm của đối tượng Phát biểu định lí Định lí Củng cố định lí Kiểm chứng Học sinh Đ S
2.5.2. Dạy học khám phá định lí về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Hoạt động tiếp cận định lí Hoạt động tiếp cận định lí
Tình huống 3. GV cho HS quan sát đồ thị của hàm số yx3 3x2 2
Hãy vẽ các tiếp tiếp tại các điểm cực trị của đồ thị hàm số và nhận xét về các tiếp tuyến này?
Dụng ý sư phạm: Quan sát đồ thị hàm số, HS sẽ thấy ngay các điểm cực trị
của nó, HS sẽ dựng được tiếp tuyến bằng trực giác hoặc vẽ sau khi viết được phương trình tiếp tuyến tại các điểm đó. Qua đó, HS thấy được các tiếp tuyến này đều song song với trục hồnh hoặc hệ số góc của các tiếp này là bằng 0.
Phát hiện định lí
[?] Từ những quan sát trên, hãy cho biết nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0)nhận giá trị bằng bao nhiêu ?
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm
0
x thì f'(x0)=0.
[!] Điều ngược lại có thể khơng đúng. Nghĩa là, có thể f'(x0)=0 nhưng hàm số
f không đạt cực trị tại điểm x0. Ví dụ, hàm số 3 ) (x x f , ta có 2 3 ) ( ' x x f và f'(0)0. Nhưng hàm số
f không đạt cực trị tại điểm x =0 vì f'(x)0x0 nên hàm số đồng biển trên R. (H1)
[?] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà hàm số khơng có đạo hàm khơng? Lấy ví dụ minh họa.
[!] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà hàm số khơng có đạo hàm. Chẳng hạn, hàm số y f(x) x. ( H2)
H1 H2
2.5.3. Dạy học khám phá định lí về điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Gợi động cơ khám phá
Nếu dựa vào định nghĩa để tìm ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì rất phức tạp vì ta thường phải vẽ được đồ thị của hàm số để quan sát mới tìm ra . Vậy có cách nào nhanh hơn để tìm ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số?
Hoạt động tiếp cận định lí
Tình huống 4. GV cho HS quan sát đồ thị của hàm số sau
Hãy điền vào phiếu học tập sau:
x - -2 2 +
Tính đơn điệu của hàm số Dấu của y’
x =-2 là điểm…… …………………… x =2 là điểm……………………………
Dụng ý sư phạm:Học sinh quan sát và điền đây đủ vào các thơng tin trên phiếu.
Qua đó, HS thấy được đạo hàm cấp 1 của hàm số sẽ đổi dấu qua các điểm cực trị và khám phá ra được điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
Phát hiện định lí
GV yêu cầu HS hãy quan sát về sự thay đổi dấu của đạo hàm qua các điểm. [?] Vậy để hàm số đạt cực đại tại điểm x0 thì điều kiện đủ là gì?
[!] Nếu f' x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
[!] Nếu f' x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
Phát biểu định lí
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( ba; ) chứa điểm x0và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0)và (b;x0). Khi đó
a) Nếu f'(x)0 với mọi x(a;x0) và f'(x)0 với mọi x(x0;b)
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
b) Nếu f'(x)0 với mọi x(a;x0) và f'(x)0 với mọi x(x0;b)
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
Chứng minh định lí
a) Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng (a;x0] và f'(x)0với mọi x(a;x0) nên hàm số f nghịch biến trên (a;x0]. Do đó
f(x) f(x0) với mọi x(a;x0). Tương tự
Vì hàm số f liên tục trên nửa khoảng [x0;b) và f'(x)0 với mọi x(x0;b) nên hàm số f đồng biến trên [x0;b). Do đó
f(x) f(x0)với mọi x(a;x0).
Vậy f(x) f(x0) x(a;b)\ x0 ,hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0. b) Hướng dẫn HS chứng minh tương tự
Hoạt động củng cố định lí
Định lí được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau x a x0 b f' x( ) - + f(x) f(x0) ( cực tiểu )
x a x0 b f' x( ) + - f(x) f(x0) ( cực đại )
Bài 3. Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f(x)x3 3x3
Dụng ý sư phạm: Qua bài, HS sẽ thấy điểm x0 trong bài tốn về cực trị trước tiên nó phải là nghiệm của phương trình f'(x)0 và f' x( ) phải đổi dấu qua được điểm x0.
Qua đó, HS khắc sâu được định lí và rèn luyện được kỹ năng tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.
2.5.4. Dạy học khám phá định lí về đạo hàm cấp hai và cực trị của hàm số Gợi động cơ khám phá
[?] Chúng ta biết cách tìm cực trị của hàm số dựa vào các định lí nào? [!] Định lí về điều kiện cần và định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị. [?] Làm theo cách đó các em thấy thế nào?
[!] Theo cách đó rất dài và dễ gây nhầm lẫn.
GV: Tìm cực trị của hàm số theo cách chúng ta đã học là rất phức tạp. Định lí chúng ta học hơm nay sẽ giúp ta tìm ra các điểm cực trị một cách đơn giản hơn.
Hoạt động khám phá định lí
Nhóm 1 - Nhóm 2 Cho hàm số 2 3 1 3 1 ) (x x3 x2 x f 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
4. Xác định dấu của đạo hàm cấp hai của hàm số tại các điểm cực trị đó. Nhóm 3 - Nhóm 4 Cho hàm số 1 3 3 ) ( 2 x x x x f 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
2. Xác định dấu của đạo hàm cấp hai của hàm số tại các điểm cực trị đó.
Dụng ý sư phạm: Thông qua hoạt động, bằng việc tính trực tiếp giá trị của đạo hàm cấp hai tại các điểm cực trị, HS sẽ khám phá ra được: Tại các điểm cực đại, đạo hàm cấp hai của hàm số mang giá trị âm; tại các điểm cực tiểu, đạo hàm cấp hai mang giá trị dương.
Phát hiện định lí
GV: Vậy ngược lại
- Nếu f ''(x0)0 thì x0 có là điểm cực tiểu của hàm số f(x)không? - Nếu f ''(x0)0 thì x0 có là điểm cực đại của hàm số f(x)không?
Phát biểu định lí
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( ba; ) chứa điểm
,
0
x f' x( 0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
Nếu f ''(x0)0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
Nếu f ''(x0)0 thì hàm số f đạt cực tiểutại điểm x0.
Hoạt động củng cố định lí
1. f(x) x3 3x3 2. ( ) 43
x x x
f .
Như vậy, lúc đầu GV gợi động cơ cho HS khám phá định lí bởi mong muốn làm đơn giản đi bài tốn tìm cực trị của hàm số. Thiết kế tình huống bằng cách lật ngược vấn đề khám phá, GV đã giúp HS khám phá ra được phần nào nội dung của định lí.
2.6. Thiết kế một số tình huống dạy học quy tắc, thuật toán bằng DHKP
2.6.1. Dạy học thuật toán và các quy tắc thuật toán theo hướng khám phá
Các bước dạy học thuật toán, quy tắc tựa thuật toán theo hướng khám phá - GV đưa ra các bài tập gốc được giải theo quy trình
- HS phân tích hoạt động giải bài tốn trên thành các bước theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải.
- Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
- Kiểm nghiệm tính khả thi của các bước giải đã được mô tả thông qua một số các bài tập cùng dạng.
- Phát hiện thuật giải tối ưu để giải các bài toán thuộc cùng dạng.
Trên cơ sở đó, luận văn xin đưa ra một số tình huống về: Dạy học quy tắc tìm cực trị của hàm số, dạy học quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số, dạy học quy trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bằng DHKP để làm dẫn chứng.
2.6.2. Dạy học khám phá quy tắc tìm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1 Hoạt động tiếp cận quy tắc
Tình huống 6. Tìm cực trị của hàm số 1 2 2 ) ( 2 x x x x f
Dụng ý sư phạm: GV hướng dẫn HS tìm ra lời giải cho bài tốn bằng các câu hỏi: Các em đã được học về các định lí nào về cực trị của hàm số ?Hãy vận dụng
các địnhl í đó vào bài này? Qua bài tốn này, HS sẽ nhìn thấy rõ các bước giải bài
tốn và phát hiện ra được quy tắc tìm cực trị của hàm số.
Phát biểu quy tắc
Quy tắc 1 (Tr 14, SGK Giải tích 12 nâng cao) 1. Tính f' x( )
2. Tìm các điểm xi (i 1,2,...) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
3. Xét dấu f' x( ). Nếu f' x( ) đổi dấu khi xi đi qua điểm thì hàm số đạt cực trị tại xi
Hoạt động củng cố quy tắc
Bài 5. Vận dụng quy tắc trên tìm cực trị của hàm số 1. ( ) 43 x x x f 2. 2 3 1 3 1 ) (x x3 x2 x f
Với quy tắc này, trước hết GV đưa ra một ví dụ, HS thực hiện các cơng việc theo câu hỏi của GV đưa ra. Sau đó, GV yêu cầu HS nêu lên trình tự các bước để giải bài đó. GV chính xác hóa câu trả lời của HS và đưa ra quy tắc. Với các ví dụ trong phần củng cố, GV có thể chia nhóm rồi gọi đại diện các nhóm lên trình bày.
Với việc HS tự phát hiện ra quy tắc, HS sẽ tránh được các sai lầm khi giải các bài dạng này như bỏ sót các bước, chỉ ra các điểm xi sai hoặc thiếu, xét dấu của đạo hàm sai, kết luận sai. Hơn thế, HS sẽ thực sự hiểu quy tắc giúp thực hiện giải các bài toán dạng này nhanh chóng và hình thành tư duy logic cho HS.
2.6.3. Dạy học khám phá quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn Gợi động cơ khám phá
Nhìn vào bảng biến thiên, ta sẽ thấy rất nhiều tính chất của hàm số như: Cực trị, điểm cực trị, khoảng đơn điệu, GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số. Tuy nhiên không phải hàm số nào ta cũng có thể lập được bảng biến thiên một cách chính xác vì có nhiều hàm số rất khó khăn trong việc này.
Chúng ta hay dùng bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng, nửa khoảng.Vậy làm thế nào để không cần lập bảng biến thiên mà ta vẫn tìm được GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn?
Hoạt động khám phá quy tắc
Tình huống 7. Như ví dụ 5 đã trình bày trong luận văn
Phát biểu quy tắc
Quy tắc (Tr 21, SGK Giải tích 12 nâng cao)
1. Tìm các điểm x1,x2,.....,xm thuộc khoảng ( ba; ) tại đó hàm số
f có đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm. 2. Tính f(x1), f(x2),......., f(xm), f(a) và f(b)
3. So sánh các giá trị vừa tìm được
Số lớn nhất trong các số đó là giá trị lớn nhất của hàm số f trên đoạn [a;b]. Số nhỏ nhất trong các số đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [a;b].
Hoạt động củng cố quy tắc Bài 6. 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số x y sin 1 trên đoạn ] 6 5 ; 3 [ 2. Chứng minh rằng 2 3 3 2 sin sin 2 2 x x trên [0; ] 2 3
Với việc tìm sai lầm trong lời giải của bài toán, HS phải nghiên cứu kĩ lời giải để đưa ra lời giải đúng. Qua đó, HS cũng tự khám phá ra được các bước để
Các bài tập trong phần củng cố giúp HS nắm vững quy tắc và biết vận
dụng quy tắc một cách linh hoạt trong các bài toán liên quan.
2.6.4. Dạy học khám phá khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức
Hoạt động tiếp cận quy trình
Tình huống 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y =
8 1
( x3 -3x2 -9x -5 )
GV đưa ra các câu hỏi để cho HS tìm ra các bước để khảo sát một hàm số. [ ?] Đồ thị của một hàm số đi qua bao nhiêu điểm?
[ ?] Các điểm nào là quan trọng để ta vẽ được đồ thị của một hàm số?
[ ?] Có các điểm quan trọng mà đồ thị hàm số đi qua, làm thế nào để ta vẽ đúng hình dạng của đồ thị hàm số?
Dụng ý sư phạm: Sau khi định hướng cho HS tìm ra hướng để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số, GV cùng HS đưa ra lời giải cho bài tốn. Sau đó, GV u cầu HS mơ tả lại các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức.
Quy trình khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Tr 37, SGK Giải tíc 12 nâng cao)
GV tóm tắt quy trình khảo sát của một hàm đa thức
TXĐ Xét sự biến thiên Đồ thị Các giới hạn tại vô cực Lập bảng biến thiên Điểm đặc biệt Nhận xét đồ thị Điểm Uốn
Hoạt động củng cố
Bài 7 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
1. y = x4 – 2x2 + 1 2. y = 3 1 x3 - 3 2 x2 + 9 4 x + 9 1
Quy trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có nhiều cơng việc phải làm, do đó HS rất rễ bỏ sót các ý như tìm giới hạn thiếu, lập bảng biến thiên thiếu thông tin, kết luận các khoảng đơn điệu và cực trị.Vì vậy, cho HS khắc sâu kiến thức GV cho HS làm nhiều bài tập dưới dạng vận dụng hoặc cho HS tìm ra các cơng việc cịn thiếu với một bào khảo sát cho trước.
2.7. Thiết kế một số tình huống dạy học giải tốn bằng DHKP
2.7.1. Dạy học giải toán theo hướng khám phá
Dạy học bài tập theo hướng khám phá bao gồm các hoạt động sau :
Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để tìm hiểu nội dung bài toán, GV trước hết phải yêu cầu HS hiểu rõ bài toán bằng việc trả lời một số các câu hỏi như:
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện có đủ để xác định ẩn hay không?
- Vẽ hình như thế nào? Sử dụng kí hiệu nào cho phù hợp?
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể biểu diễn các thành phần đó bằng cơng thức hay khơng?
Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải
Giáo viên giúp học sinh khám phá ra các bước tiến hành khi thực hiện lời giải có thể bằng các câu hỏi gợi ý như sau:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác ?.
- Bạn có biết một bài tốn nào có liên quan khơng? Bài tốn liên quan đến