9. Bố cục của luận văn
2.2. Một số phương pháp giải tốn dựng hìn hở trường trung học cơ sở
2.2.1. Phương pháp sử dụng quỹ tích tương giao
Phương pháp quỹ tích là một trong những phương pháp cơ bản giải tốn dựng hình vì nếu ta lấy bất kỳ bài toán nào, kể từ bài toán đơn giản nhất như đặt một đoạn thẳng có độ dài cho trước đến những bài tốn phức tạp hơn hầu như ta ln gặp sự ứng dụng phương pháp quỹ tích. Phương pháp quỹ tích được nghiên cứu khơng phải chỉ trong một vài bài, mà kéo dài hầu như trong suốt quá trình học hình học ở bậc trung học cơ sở.
a. Cách nhận biết bài tốn có thể giải được bằng phương pháp quỹ tích:
Phương pháp quỹ tích được áp dụng để giải những bài tốn dựng hình phẳng, nếu một phần giả thiết xác định một hình quỹ tích, cịn phần thứ hai xác định hình khác, điểm phải tìm sẽ nằm ở giao điểm của hai quỹ tích đó.
b. Phương pháp giải:
Việc giải bài tốn được quy về việc tìm một điểm nào đó thoả mãn những điều kiện nhất định. Ta bỏ đi một trong các điều kiện đó, lúc ấy bài toán trở thành vơ định và lời giải của nó sẽ là quỹ tích những điểm thoả mãn điều kiện tích mới của các điểm thoả mãn điều kiện sau này. Điểm phải tìm, muốn thoả mãn tất cả các điều kiện phải thuộc về cả hai quỹ tích, tức là giao điểm của hai quỹ tích đó.
Khi giải bài tốn dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao, cần chú ý một số điểm sau:
– Nên kết hợp phân tích với cách dựng, khơng phân tích tồn bộ mà từng phần, tương ứng như vậy cách dựng cũng thực hiện từng phần, làm như vậy sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán được dễ dàng hơn.
– Có nhiều bài tốn khơng đặt u cầu lúc nào cũng cần phải chứng minh rằng hình dựng được thoả mãn điều kiện bài tốn vì chính sự tương ứng của hình vừa dựng với các yêu cầu của bài toán đã được bảo đảm bởi sự đúng đắn của phần phân tích.
– Khi biện luận bài toán, nếu bài toán được giải là bài tốn vị trí thì có thể kết luận các quỹ tích có bao nhiêu điểm chung thì bài tốn có bấy nhiêu lời giải; cịn nếu phương pháp quỹ tích được áp dụng để giải bài tốn kích thước, thì trong trường hợp này số giao điểm tìm được của các quỹ tích đã dựng sẽ không bằng số lời giải.
c. Xét một vài ví dụ:
Ví dụ: Cho một góc A và một điểm B trên một cạnh góc đó. Tìm trên cạnh kia một điểm C sao cho tổng CA + CB bằng độ dài k cho trước.
Phân tích: Giả sử điểm C1 (hình 2.1)
là điểm cần tìm, tức là tổng các đoạn A1C1 và C1B1 bằng đoạn cho trước. Ta đặt trên phần kéo dài của A1C1 về bên phải của C1 một đoạn C1D1 = C1B1
và nối D1 với B1.
Đoạn A1D1 = A1C1 + C1B1 = k (cho trước),
do đó bao giờ ta cũng dựng được điểm D1. Vì Δ B1C1D1 cân (C1D1 = C1B1 theo
cách dựng) cho nên đỉnh C1 của nó phải nằm trên trung trực của đáy B1D1.
Cách dựng: Trên cạnh khơng chứa
điểm B của góc đã cho (hình 2.2), ta đặt đoạn AD = k và nối điểm D với B; ta dựng trung trực của đoạn BD. Giao điểm của trung trực này với cạnh AD là điểm C cần tìm.
Chứng minh tóm tắt: Ta có BC = CD
vì C nằm trên trung trực của đoạn BD.
Nghĩa là AC + CB = AC + CD = k.
Biện luận: Vì bao giờ ta cũng phải dựng được Δ ABC, nên:
+ Khi k > AB bài tốn có một lời giải duy nhất vì điểm C là giao điểm của hai đường thẳng, mà hai đường thẳng không thể cắt nhau quá một điểm.
+ Khi k ≤ AB bài tốn khơng có lời giải.
D1 C1 B1 A1 Hình 2.1 k D C B A Hình 2.2
Ví dụ: Dựng hình tam giác biết chiều dài cạnh đáy, độ lớn góc ở đỉnh và
đường cao thuộc cạnh đáy.
Phân tích: Giả sử ΔA1B1C1 là tam giác cần dựng (hình 2.3). Đã biết B1C1 = a, B1A1C1 = β, A1D1 = ha,
A1D1B1 = 900. Cạnh đáy B1C1 đã biết độ dài cho nên có thể dựng trước. Vì điểm A1 cách đường thẳng B1C1 đã dựng một đoạn nhất định ha cho nên quỹ tích của nó là đường thẳng
song song G1H1 cách B1C1 một đoạn ha (quỹ tích thứ nhất). Mặt khác, vì độ lớn góc B1A1C1 cố định, hai cạnh đi qua hai điểm cố định B1, C1, cho nên quỹ tích của A1 là cung
hình viên phân lấy B1C1 làm dây cung và chứa góc β (quỹ tích thứ 2). Từ hai quỹ tích trên ta có thể tìm thấy điểm giao nhau của chúng là A1.
Cách dựng: Trên một đường thẳng
tuỳ ý lấy BC = a (hình 2.4). Từ C dựng CE BC, trên CE lấy CF = ha, qua F dựng GH // BC. Lấy BC làm dây cung, dựng mộtcung hình viên phân sao cho nó chứa mộtgóc bằng β, gặp GH tại A. Nối AB, AC ta được ΔABC là tam giác cần dựng.
Chứng minh: Từ A dựng ADBC,
theo tính chất đường song song nên AD = FC. Nhưng FC = ha nên AD = ha. Hơn nữa BC = a, B1A1C1 = β.
Biện luận: GH và cung hình viên phân có thể có hai giao điểm, nhưng vì
các tam giác hợp bởi B, C và các giao điểm đều bằng nhau, cho nên chỉ cần dựng một hìng là đủ. Nếu GH tiếp xúc với cung hình viên phân thì ta sẽ được một hình tam giác cân, ngược lại bài tốn khơng có lời giải.
a D1 a β ha ha ha B1 C1 H1 F1 E1 A1 G1 Hình 2.3 D β B C H F E A G Hình 2.4
Ví dụ: Dựng đường trịn tiếp xúc với một đường thẳng cho trước tại một
điểm cho trước và tiếp xúc với một đường tròn cho trước.
Phân tích: Giả sử, ta đã dựng được
đường trịn tiếp xúc với đường thẳng AB tại M và tiếp xúc với hình trịn đã cho ở C (hình 2.5). Theo điều kiện thứ nhất, tâm của nó sẽ nằm trên đường thẳng góc KM với AB, đi qua M( quỹ tích 1).
Qua hình vẽ, ta thấy rằng tâm của nó cách đều C và M. Nhưng điểm C chưa biết, mà chỉ biết vị trí tâm O. Kéo dài đoạn O1M
một đoạn bằng bán kính hình trịn cho trước, ta có ΔOO1N1 cân. Nếu giả thiết là tiếp xúc trong thì đoạn bằng bán kính hình trịn đã cho phải được đặt trên đường thẳng góc KM nhưng về phía bên kia của AB. Do đó, tâm đường trịn cần tìm phải nằm trên một trong các đường trung trực của ON1 và ON2 (quỹ tích 2).
Cách dựng: Qua điểm M, ta dựng KM AB và đặt trên KM về hai phía của AB các đoạn MN1 và MN2 bằng bán kính của hình trịn đã cho. Ta nối tâm O với các điểm N1 và N2. Dựng trung trực của các đoạn vừa nối được. Giao điểm của những đường trung trực đó với đường thẳng góc KM là tâm O1 và O2 của các đường trịn cần tìm, cịn bán kính theo thứ tự bằng O1M và O2M.
Chứng minh: Hiển nhiên.
Biện luận: Tâm của các đường tròn cần tìm là giao điểm của hai đường
thẳng với đường thẳng thứ ba (nghĩa là khơng có q hai lời giải). Nếu tìm được ΔON1N2 thì các đường thẳng góc với các cạnh ON1 và ON2 của nó khơng thể đồng thời song song với KM, do đó bài tốn ln có ít nhất một lời giải. Bài tốn chỉ có một lời giải nếu ON1 hoặc ON2 thẳng góc với KM, tức là hình trịn đã cho tiếp xúc với AB. Nếu khơng tìm được ΔON1N2, tức là tâm của hình trịn đã cho ở trên đường thẳng góc KM. Bài tốn sẽ có hai lời giải, nếu hình trịn đã cho khơng tiếp xúc với AB; trái lại bài tốn sẽ vơ định.
M O1 C N 2 K O2 O B A N1 Hình 2.5