1.3.1 Mục tiêu giáo dục đại học, cao đẳng
Luật giáo dục Việt Nam cho biết mục tiêu của giáo dục đại học như sau:
“Mục tiêu của giáo dục đại học là đào tạo người học có phẩm chất chính trị, đạo đức, có ý thức phục vụ nhân dân, có kiến thức và năng lực thực hành nghề nghiệp tương xứng với trình độ đào tạo, có sức khỏe, đáp ứng u cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Đào tạo trình độ cao đẳng giúp SV có kiến thức chun mơn và kĩ năng thực hành cơ bản để giải quyết những vấn đề thông thường thuộc chuyên ngành được đào tạo.
Đào tạo trình độ đại học giúp SV nắm vững kiến thức chun mơn và có kĩ năng thực hành thành thạo, có khả năng làm việc độc lập, sáng tạo và giải quyết những vấn đề thuộc chuyên ngành được đào tạo.” [2]
Bên cạnh đó, trong Tuyên bố của Hội nghị quốc tế về giáo dục đại học năm 1988 do UNESCO tổ chức cũng khẳng định: “giáo dục đại học [. . . ] cần giáo dục những người tốt nghiệp đạt chất lượng cao và giáo dục những cơng dân có trách nhiệm” [1].
Như vậy, để đạt được mục tiêu đặt ra của giáo dục đại học, việc rèn luyện tư duy phản biện cho SV là cần thiết vì những lợi ích mà nó đem lại về kĩ năng và năng lực tư duy sẽ là hành trang tốt để SV rời khỏi mái trường đại học bước vào đời.
1.3 Cơ sở thực tiễn 24
1.3.2 Yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học đại học
Giáo dục đại học đang đối mặt với thách thức về sự phát triển ngày càng mạnh mẽ của xã hội, đặc biệt là công nghệ thông tin và truyền thơng. Trong khi đó, nội dung và phương pháp dạy học trong giáo dục đại học chưa có nhiều thay đổi. Bằng chứng là SV đại học sau khi ra trường có một bộ phận khơng nhỏ khơng tìm được việc làm thích hợp. Vì vậy, u cầu đặt ra là đổi mới phương pháp giáo dục, tập trung hơn vào những phương pháp hình thành và phát triển các kĩ năng và năng lực tư duy cho SV, không chỉ đơn thuần là dạy học kiến thức có sẵn như trước.
1.3.3 Đặc điểm của Tốn học
Tốn học là mơn học có tính logic và tính trừu tượng cao. Đặc biệt, các thao tác tư duy như phân tích – tổng hợp, so sánh, khái quát hóa – trừu tượng hóa đều thể hiện rất rõ ràng trong một hoạt động Toán học.
Toán học cũng là mảnh đất dồi dào của những phản ví dụ, nguyên liệu thực hiện những tiết dạy rèn luyện tư duy phản biện.
Chính vì vậy, việc chọn Tốn học là bộ mơn nhằm phát triển tư duy phản biện cho SV thông qua dạy học phản ví dụ là một sự lựa chọn đúng đắn và sẽ có hiệu quả cao.
1.3.4 Nội dung Giải tích cổ điển và Tơpơ trong chương trình đại học
Giải tích cổ điển và Tôpô đại cương là những môn học đầu tiên của SV ngành Toán tại trường Đại học, là kiến thức cơ sở và nền tảng cho các môn học về sau.
Nội dung các mơn học liên quan đến Giải tích cổ điển và Tơpơ đại cương có chứa nhiều định lí dạng một chiều, ẩn chứa nhiều phản ví dụ để GV hướng dẫn hoặc SV tự khai thác.
Bên cạnh đó, các bộ mơn này cũng được SV đánh giá là khó trong số những mơn Tốn cao cấp đầu tiên của SV ngành Toán, vậy nên việc cải tiến phương pháp dạy học và áp dụng các phản ví dụ trong dạy học vừa nhằm rèn luyện tư duy phản biện cho SV, vừa tạo thêm niềm yêu thích và hứng thú trong học tập của những đối tượng SV vừa đặt chân vào giảng đường đại học và bỡ ngỡ làm quen với Toán cao cấp.
1.3.5 Thực tiễn dạy học nội dung Giải tích cổ điển và Tơpơ đại cương
Nội dung Giải tích cổ điển và Tơpơ đại cương thường được dạy tại khoa Toán các trường đại học vào năm thứ nhất và năm thứ hai. Nội dung này thường được chia thành 4 mơn học nhỏ hơn, bao gồm: Giải tích 1 (Phép tính vi phân của hàm một biến và nhiều biến), Giải tích 2 (Phép tính tích phân hàm một biến, chuỗi số - dãy số - chuỗi hàm), Giải tích 3 (Tích phân suy rộng, tích phân phụ thuộc tham số - Tích phân đường - Tích phân mặt) và Giải tích hàm. Bên cạnh đó, với sinh viên ngành Tốn học, mơn Tơpơ đại cương được tách riêng và dạy vào học kì 1 năm ba tại một số trường như Đại học Sư phạm Hà Nội hay Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.
Luận văn đã thực hiện khảo sát 189 SV đến từ khoa Toán hai trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội. Trong đó, có 56 SV năm thứ nhất, 105 SV năm thứ hai và 28 SV năm thứ ba.
Nội dung khảo sát là một số câu hỏi về thực trạng dạy và học các bộ mơn Giải tích cổ điển và Tơpơ đại cương: về phương pháp dạy học đang được sử dụng, mức độ nắm vững kiến thức cũng như mức độ yêu thích của SV đối với các môn học, và tần suất cũng như cách thức xuất hiện của các phản ví dụ trong dạy học.
1.3 Cơ sở thực tiễn 26
Về phương pháp dạy học:
STT Phương
pháp Tần số
Phần trăm Phần trăm (trên tổng số lựa chọn) (trên tổng số SV) 1 Tự nghiên cứu 39 16.88 % 20.63 % 2 GV thuyết trình 181 78.36 % 95.77 % 3 SV thuyết trình cá nhân 4 1.73 % 2.12 % 4 SV hoạt động nhóm 5 2.16 % 2.64 % và thuyết trình nhóm 5 Khác 2 0.87 % 1.06 % Tổng 231 100 % 122.22 %
Bảng 1.1: Kết quả khảo sát phương pháp dạy học Giải tích và Tơpơ
Như vậy, phương pháp dạy học được sử dụng nhiều nhất đối với bộ mơn Giải tích cổ điển và Tơpơ đại cương là phương pháp GV thuyết trình (chiếm 78.36 % trên tổng số SV). Đây là một phương pháp dạy học truyền thống trong đó GV trực tiếp truyền đạt kiến thức cho SV.
Bên cạnh đó, phương pháp SV tự nghiên cứu cũng chiếm 16.88 %. Phương pháp này tập trung vào năng lực tự học của đối tượng SV đại học.
Các phương pháp dạy học mới như thuyết trình cá nhân, hợp tác nhóm hay các phương pháp khác chỉ chiếm 4.76%.
Về mức độ nắm vững các khái niệm, định lý Toán học, khả năng làm bài tập và thái độ của SV với môn học:
Kết quả khảo sát cho thấy sự tự đánh giá của SV đối với việc học bộ mơn Giải tích cổ điển và Tôpô đại cương, dựa trên 4 yếu tố:
- Về sự lĩnh hội khái niệm Tốn học: Có đến 17.99 % SV được khảo sát không nắm được các khái niệm Tốn học đã học. Hầu hết (78.83%) khơng chắc chắn về những khái niệm mình được học. Chỉ có 3.17% khẳng định hiểu sâu khái niệm.
- Vấn đề tương tự cũng xảy ra với sự lĩnh hội các mệnh đề Toán học của SV với tỉ lệ phần trăm tương ứng là 15.87% (không nắm được), 82.01% (không chắc chắn) và 2.12% (hiểu sâu).
- Về khả năng làm bài tập, có tới 16.4% SV không làm được các bài tập liên quan. Gần một nửa (47.62%) số SV làm được bài tập với hướng dẫn chi tiết. 33.86% SV làm được với gợi ý về ý tưởng. Chỉ có 2.12% có thể tự làm được bài tập.
đó chỉ 13.22% SV u thích hoặc rất u thích mơn học. Cịn lại, gần một nửa (48.68%) số SV chọn Hơi yêu thích.
1.3 Cơ sở thực tiễn 28
1.3 Cơ sở thực tiễn 30
Về tần suất xuất hiện của các phản ví dụ:
1.3 Cơ sở thực tiễn 32
Về cách thức xuất hiện của các phản ví dụ:
Hình 1.11: Kết quả khảo sát mức độ xuất hiện của các phản ví dụ bằng cách lật ngượcvấn đề vấn đề
1.3 Cơ sở thực tiễn 34
Hình 1.13: Kết quả khảo sát mức độ xuất hiện của các phản ví dụ bằng cách thay đổi giảthiết thiết
Kết luận:
Như vậy, qua khảo sát gần 200 SV đến từ hai trường đại học, ta có thể kết luận được rằng:
- Phương pháp dạy học các bộ mơn Giải tích cổ điển và Tơpơ đại cương cịn là các phương pháp dạy học truyền thống, chưa có nhiều đổi mới.
- Phần lớn SV tự đánh giá có mức độ lĩnh hội kiến thức thấp, chưa tự làm được bài tập và chưa có đam mê cũng như động lực tích cực với mơn học.
Kết luận Chương 1
Tư duy phản biện là loại hình tư duy có suy xét, cân nhắc, đánh giá và liên hệ mọi khía cạnh của các nguồn thơng tin với thái độ “hồi nghi tích cực”, dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp nhất, nhằm giải quyết vấn đề. Người có năng lực tư duy phản biện là người khơng có thành kiến, biết vận dụng các tiêu chuẩn, có khả năng tranh luận và suy luận, xem xét vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau và biết áp dụng các thủ thuật tư duy.
Sử dụng phản ví dụ là một trong những kĩ thuật dạy học, đặc biệt thích hợp trong Tốn học giúp hình thành và rèn luyện tư duy phản biện cho SV đại học.
Bên cạnh những yêu cầu của mục tiêu giáo dục đại học và những đòi hỏi đổi mới trong phương pháp giảng dạy, thực trạng dạy và học mơn Tốn cao cấp nói chung và bộ mơn Giải tích cổ điển và Tơpơ nói riêng địi hỏi cấp thiết sự thay đổi. Việc sử dụng phản ví dụ trong dạy học bộ môn này sẽ vừa giúp rèn luyện tư duy phản biện cho SV, vừa tạo động niềm yêu thích và động cơ học tập tích cực cho những nhà Tốn học, những nhà giáo Tốn trong tương lai.
Một số phản ví dụ trong dạy học Giải tích và Tơpơ
Để thuận lợi cho q trình dạy học, chúng tơi đã lựa chọn và xây dựng một số phản ví dụ trong Giải tích cổ điển và Tơpơ, đồng thời sắp xếp chúng theo nội dung Toán học tương ứng, tạo một tư liệu giảng dạy và nghiên cứu cho người dạy và một nguồn tài liệu học tập cho người học.
Sau đây là một số phản ví dụ trong từng nội dung.
2.1 Một số phản ví dụ về dãy số và chuỗi số
Phản ví dụ 2.1. Dãy số bị chặn nhưng không hội tụ. 1. Đặt vấn đề
Cho dãy số {xn} ⊂R.
Dãy số {xn}được gọi là hội tụ đến x∈Rnếu với mọi >0cho trước, tồn tại n0 ∈N
sao cho |xn−x|< ,∀n ≥n0.
Dãy số{xn}được gọi là bị chặn nếu tồn tại M > 0sao cho |xn| ≤M,∀n ≥1.
Dễ dàng chứng minh được rằng: Nếu {xn} hội tụ đến x∈R thì {xn} bị chặn.
Thật vậy, vì xn → x nên |xn| → |x|. Chọn = 1, ta có số tự nhiên n0 thỏa mãn
||xn| − |x||<1,hay |xn|<|x|+ 1, ∀n≥n0. ĐặtM = max{|x|+ 1;|xn|: 1≤n < n0}, ta
được|xn| ≤M, ∀n≥1.
2.1 Một số phản ví dụ về dãy số và chuỗi số 38
Chứng minh. Xét dãy số {xn}:xn= (−1)n. Vì |xn|= 1,∀n ≥1nên dãy số {xn} bị chặn.
Giả sử {xn} hội tụ đến x∈R. Với mọi n≥1 ta có:
2 =|xn+1−xn| ≤ |xn+1−x|+|xn−x| ⇒
|xn+1−x| ≥1
|xn−x| ≥1 mâu thuẫn với giả thiết xn→x.
Vậy {xn} bị chặn nhưng không hội tụ.
3. Mở rộng
Theo Nguyên lý Bolzano - Weierstrass, mọi dãy số bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ. Dãy số {xn}: xn = (−1)n nói trên bị chặn và khơng hội tụ. Tuy nhiên, nó chứa dãy con hội tụ {x2n+1} ⊂ {xn} (dãy con này có tất cả các phần tử bằng −1 và hội tụ đến
−1). Điều này phù hợp với Nguyên lý Bolzano - Weierstrass.
Phản ví dụ 2.2. Dãy số {un} hội tụ về 0 nhưng chuỗi số
∞ P n=1 un phân kì. 1. Đặt vấn đề Cho dãy số {un}∞ n=1. Ta lập dãy số mới: S1 = u1 S2 = u1+u2 . . . Sn = n X k=1 uk . . .
Thiết lập dãy tổng riêng {Sn}∞
n=1 với Sn = n P k=1 uk và gọi tổng hình thức ∞ P n=1 un là một chuỗi số. Nếu ∞ lim
n=1Sntồn tại và{Sn}hội tụ đếnSthì ta nói chuỗi số
∞ P n=1 unhội tụ và ∞ P n=1 un =S.
Nếu dãy {Sn} khơng có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số
∞
P
n=1
un phân kì.
Ta có thể chứng minh được: Nếu chuỗi
∞
P
n=1
un hội tụ thì dãy số un hội tụ đến0. Thật
vậy, giả sử
∞
P
n=1
un =S. Khi đó: un =Sn−Sn−1 →S−S = 0 khi n→ ∞.
Câu hỏi: Điều ngược lại có đúng khơng? Tức là nếu dãy sốun →0có suy ra chuỗi số
∞
P
2. Mệnh đề. Tồn tại dãy số {un} hội tụ về 0 nhưng chuỗi số ∞ P n=1 un phân kì. Chứng minh. Xét dãy số {un}: un = √1 n →0 khi n→ ∞.
Tuy nhiên, chuỗi số
∞
P
n=0
1
√
n phân kì vì dãy tổng riêng: Sn= 1 + √1 2+. . .+ 1 √ n ≥n.√1 n = √ n → ∞khi n → ∞.
Phản ví dụ 2.3. Chuỗi số hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. 1. Đặt vấn đề
Chuỗi số
∞
P
n=1
un đươc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số
∞
P
n=1
|un| hội tụ.
Ta có thể chứng minh đươc: Chuỗi số
∞
P
n=1
un hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Thật vậy, với
>0 cho trước, vì
∞
P
n=1
|un| hội tụ nên tồn tạin0 ∈N sao cho với mọin ≥n0, p∈N∗
: |un+1|+|un+2|+. . .|un+p|< . Mặt khác: |un+1+un+2+. . . un+p| ≤ |un+1|+|un+2|+. . .|un+p|. Vậy |Sn+p−Sn|=|un+1+un+2+. . . un+p|< , ∀n≥n0, ∀p∈N∗.
Theo Nguyên lý Cauchy thì chuỗi số
∞
P
n=1
un hội tụ.
Câu hỏi: Điều ngược lại có đúng khơng? Tức là một chuỗi số hội tụ có suy ra nó hội tụ tuyệt đối?
2. Mệnh đề. Tồn tại chuỗi số hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Chứng minh. Xét chuỗi số
∞
P
vn với vn= (−1)n−1
2.1 Một số phản ví dụ về dãy số và chuỗi số 40 chuỗi số ∞ P n=1 (−1)n−1.an hội tụ. Ở đây, an= 1
n đơn điệu giảm và hội tụ về 0 nên chuỗi số
∞ P n=1 (−1)n−1 n hội tụ. - Chuỗi số ∞ P n=1
vn không hội tụ tuyệt đối. Thật vậy, xét chuỗi số
∞ P n=1 |vn|= ∞ P n=1 1 n (hay
còn gọi là chuỗi điều hòa). Chọn 0 = 1 2. Với mọi n∈N∗, chọn po =n ta có: |Sn+p0 −Sn|=|S2n−Sn|= 1 n+ 1 + 1 n+ 2 +. . .+ 1 2n > n. 1 2n = 1 2 =0.
Như vậy theo Nguyên lý Cauchy, chuỗi số
∞ P n=1