Qua phần phân tích CT và SGK các thể chế I1, I2, I3 chúng tôi rút ra được một số nhận xét sau :
- Thể chế I1 và I3 xây dựng khái niệm PBH tổng qt, thể chế I2 thì khơng. Tuy nhiên, cả ba thể chế
đều định nghĩa PBH (cụ thể hay tổng quát) theo “quan niệm điểm”.
- Trong I1 tồn tại song song hai quan niệm: “quan niệm hình” và “quan niệm điểm” của PBH. “Quan niệm điểm” thể hiện qua định nghĩa PBH và các tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1 “Xác định ảnh của một hình H qua PBH” và T’1“Chứng minh H’ là ảnh của hình H qua PBH”. “Quan niệm hình” thể hiện qua tổ chức tốn học gắn với kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ ảnh của một hình qua PBH” và hai kiểu nhiệm vụ nhận T2 làm kiểu nhiệm vụ con, đó là T3 “Tìm tập hợp điểm bằng PBH” và T4 “Dựng hình bằng PBH”.
- I2 dành một bài để nghiên cứu Phép đối xứng trục và đưa vào tính chất bảo tồn hình dạng của phép đối xứng trục. Sự có mặt của tính chất này dẫn đến sự vắng mặt của kiểu nhiệm vụ T1 và T’1 trong I2. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm PBH tồn tại trong I2 đều thể hiện “quan niệm hình”, đó là T2, T3, T4 và T5.
Vì vậy, trong I2, “quan niệm hình” lấn lướt “quan niệm điểm”.
- Bố cục bài Phép đối xứng trục trong I3 không khác nhiều so với I2. Điểm khác biệt đáng chú nhất là
sự xuất hiện của biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục. Sự xuất hiện này bên cạnh mục tiêu “bổ sung
thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với các khái niệm này bằng các công cụ và bằng các phương pháp khác nhau” [5, tr.87], theo chúng tơi nó cịn giúp thể chể thể hiện rõ “quan
niệm điểm” của PBH. Song, do sự chi phối mạnh mẽ của tính chất bảo tồn hình dạng của phép đối xứng trục dẫn đến các tổ chức toán học liên quan đến biểu thức tọa độ (kiểu nhiệm vụ T6) vẫn tồn tại song song hai quan niệm: “quan niệm điểm” và “quan niệm hình”.
Bên cạnh đó, các kiểu nhiệm vụ thể hiện “quan niệm hình” trong I2 vẫn tiếp tục tồn trong I3, đó là T2, T3, T4, T5.
Do đó trong I3, “quan niệm hình” vẫn tồn tại và nổi trội so với “quan niệm điểm”.
Từ đó chúng tơi rút ra kết luận: Hai bộ sách M2 và M3 tại điều kiện thuận lợi cho “quan niệm hình” của PBH. “Quan niệm điểm” chỉ xuất hiện trong phần định nghĩa PBH tổng quát và PBH cụ thể. Ngoài Phép đối xứng trục, các PBH cụ thể thuộc nhóm phép dời hình và đồng dạng cũng được nghiên cứu chi tiết trong M2 và M3. Như thế, HS liên tục tiếp cận với “quan niệm hình” trong khi nghiên cứu các PBH đó (bởi vì các PBH này đều có chung tính chất bảo tồn hình dạng). Sự tiếp cận trên cứ được lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ tác động đến việc hình thành quan niệm của HS về khái niệm PBH. Chúng tôi rút ra giả thuyết nghiên cứu sau :
Mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm PBH chỉ đặt trên “quan niệm hình”.
Để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết này, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng
HS lớp 11 sau khi đã học xong chương Phép dời hình và phép dồng dạng. Thực nghiệm này sẽ được
CHƯƠNG 2. THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT. 2.1 Mục đích của thực nghiệm thứ nhất
Mặc dù thể chế I3 mong muốn trình bày chủ để PBH theo “quan niệm điểm”, song do các PBH trong CT chỉ gồm phép dời hình và phép đồng dạng nên trong cách trình bày của SGK, “quan điểm hình”- một quan điểm đã tồn tại ở bậc THCS-vẫn tiếp tục tồn tại và lấn lướt “quan niệm điểm”. Điều này dẫn chúng tôi đến giả thuyết:
H: Mối quan hệ cá nhân của học sinh THPT với khái niệm PBH chỉ đặt trên “quan niệm hình”. Mục đích của thực nghiệm này là kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết trên.
2.2 Bài toán thực nghiệm
Bài toán này dựa trên ý tưởng của Pascal N. và Hebert E. (Maths en Seconde: Enoncé et Scénario, Bulletin Inter-Irem 1993).
Cho trước một đường trịn (O). Với mỗi điểm M nằm ngồi hoặc nằm trên đường tròn (O), nối điểm O với điểm M và dựng điểm M’ sao cho giao điểm của đoạn thẳng OM với đường tròn (O) là trung điểm của đoạn MM’.
Ví dụ minh họa cách dựng điểm M’ theo điểm M:
Ta gọi phép biến hình biến M thành M’ như trên là Phép biến hình T.
1) O M K Hình 1 M' O M K Hình 2 M' hay
Vẽ ảnh của tam giác ABC qua phép biến hình T.
Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em.
2) Vẽ ảnh của đường trịn tâm I qua phép biến hình T.
Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em.
3) Vẽ ảnh của hình (H) qua phép biến hình T.
Em hãy nêu các bước dựng ảnh của em. 2.2.1 Phân tích a priori thực nghiệm 1
Chúng tôi chia thực nghiệm thành hai phần.
Phần A với mục đích tạo cơ hội cho HS đọc kĩ cách xây dựng Phép biến hình T (Phụ lục 1).
Phần B với mục đích kiểm chứng giả thuyết H.
Phần A khơng phải là mục đích chính của thực nghiệm, song nó ảnh hưởng rất lớn đến các chiến lược
OI I O A B C O (H)
sẽ sử dụng để thực hiện phần B. Thậy vậy, các PBH: đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay, phép vị tự được giới thiệu chính thức trong SGK nên dễ có cảm tưởng nói đến PBH là chỉ nói đến một trong các phép trên.
a. Biến tình huống và biến didactic và các lựa chọn các giá trị của chúng Biến tình huống
V1: Tính chất của PBH. Biến này nhận hai giá trị:
- V1a: PBH là phép dời hình-phép đồng dạng được giới thiệu trong CT. - V1b: PBH không được giới thiệu trong CT.
Để kiểm chứng được giả thuyết H, chúng tôi lựa chọn giá trị V1b, khi đó chúng tơi đặt HS vào tình huống khơng quen thuộc. Chúng tôi cho HS tiếp cận một PBH “lạ”, nó khơng thuộc nhóm phép dời hình cũng như phép đồng dạng, do đó nó khơng chứa những cái bất biến của nhóm dời hình và đồng dạng. Cụ thể, PBH được chúng tơi xây dựng biến một đường thẳng d thành một đường cong, hình dạng của đường cong này thay đổi phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d đối với đường trịn (O) cũng như phụ thuộc vào bán kính của đường trịn (O); biến đường tròn tâm I thành một đường cong khép kín.
Sự lựa chọn giá trị biến nói trên tạo cơ hội nảy sinh các chiến lược theo “quan niệm điểm”, bởi vì khi O I M M' K O A' C A B (H) B' C' M M' K O A B C M M' K
đối diện với một PBH “lạ”, sẽ khó xác định những cái gì bất biến qua PBH. Song chúng tơi hi vọng các chiến lược theo “quan niệm hình” xuất hiện nhiều hơn. Điều sẽ kiểm chứng giả thuyết mà chúng tơi đặt ra.
V2: Vị trí điểm M đối với đường trịn (O): Điểm M nằm ngồi và trên đường trịn (O), điểm M nằm bất kì.
Nếu điểm M nằm bất kì, khi đó việc mơ tả cách xây dựng PBH T sẽ phức tạp. Do đó nó gây khó khăn rất nhiều trong việc xác định ảnh của một điểm qua PBH này, trong khi đây khơng phải là mục đích cần kiểm chứng của thực nghiệm.
Do đó chúng tơi chọn chỉ giới hạn những điểm M nằm ngoài hoặc trên đường tròn (O) để giảm độ phức tạp của việc xây dựng PBH mới.
Biến didactic
Biến V3: Hình dạng của hình cần tìm ảnh. Biến này nhận hai giá trị
- V3a: hình cần tìm ảnh là tam giác, đa giác, đường thẳng, đường trịn.
- V3b: hình cần tìm ảnh khơng là tam giác, đa giác, đường thẳng, đường tròn.
Tam giác, đa giác, đường thẳng, đường trịn là những hình xuất hiện trong CT. Do đó kĩ thuật vẽ ảnh của chúng đã được giới thiệu. Vì thế giá trị V3a tạo cơ hội xuất hiện các chiến lược theo “quan niệm hình”.
Ngược lại, CT không yêu cầu vẽ ảnh của một đường cong bất kì , do đó khơng có kĩ thuật vẽ ảnh của nó. Giá trị V3b tạo thuận lợi nảy sinh các chiến lược theo “quan niệm điểm”.
V4:Vị trí đường trịn (I) đối với đường trịn (O):I trùng hoặc không trùng với O.
Nếu I trùng với O, ảnh của đường trịn (I) qua PBH T là chính nó. Tình huống này nằm trong phạm vi hợp thức của các chiến lược theo “quan niệm hình”, vì thế khơng thể kiểm chứng được giả thuyết mà chúng tôi đặt ra.
Chúng tôi chọn điểm I không trùng với điểm O, khi đó ảnh của (I) khơng phải là một đường tròn. b. Các chiến lược có thể
Nhóm chiến lược theo “quan niệm điểm”
Chiến lược Sđịnhnghĩa: tìm ảnh của tất cả các điểm trên tạo ảnh.
Mặc dù về mặt lí thuyết đây là chiến lược tối ưu, nhưng nó khơng khả thi bởi vì việc xây dựng ảnh của từng điểm trong môi trường giấy bút là việc không thể.
Cái có thể quan sát được là câu trả lời: “khơng thể vẽ được ảnh”; “ảnh là tập hợp các điểm ảnh”.
Chiến lược Sdựdoán: lấy ảnh của một số điểm trên hình để dự đốn hình dạng của ảnh.
Cái có thể quan sát được là sản phẩm của HS: đó là ảnh tìm được của một số điểm rời rạc trên hình, hoặc hình nối một số điểm ảnh theo hình dạng quen thuộc trong CT (ví dụ: elip, parabol)
Nhóm chiến lược theo “quan niệm hình” Câu 1.
Chiến lược S3 đỉnh: lần lượt tìm ảnh A', B',C' của ba điểm A, B, C. Nối ba điểm A', B', C' để được một tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC.
Chiến lược Stâm+bán kính: tìm ảnh I' của tâm I. Kẻ đường trịn tâm I', bán kính bằng bán kính của đường trịn (I) để được đường tròn ảnh cần dựng.
Chiến lược Stâm+điểm: Tìm ảnh I' của tâm I; tìm ảnh M' của điểm M bất kì trên đường trịn. Kẻ đường tròn (I'; I'M') để được đường tròn ảnh cần dựng.
Chiến lược S3 điểm: Lấy 3 điểm bất kì trên đường trịn (I), tìm ảnh của chúng rồi vẽ đường tròn đi qua 3 điểm ảnh.
Câu 3.
Đường cong mà chúng tôi đưa ra được vẽ bằng cách nối hai nửa đường trịn có bán kính bằng nhau. Vị trí nối hai nửa đường trịn chúng tơi đặt tên là “điểm uốn”.
Chiến lược Sbảotồnhìnhdạng: tìm ảnh của hai điểm đầu mút và của “điểm uốn” của đường cong rồi nối chúng lại theo hình dạng của hình (H). Hoặc tìm ảnh của tâm hai nửa đường trịn, sau đó vẽ hai nửa đường trịn có tâm là hai ảnh vừa dựng, bán kính bằng bán kính nửa đường trịn ban đầu.
Những cái có thể quan sát được là các hình vẽ và các bước dựng ảnh:
Chiến lược Sbánbảotồnhìnhdạng: tìm ảnh của hai điểm đầu mút và “điểm uốn” của
đường cong; tìm thêm ảnh của hai điểm thuộc hai nửa đường tròn (thường là điểm chính giữa hai nửa đường trịn) để xác định phần mặt phẳng chứa đường cong ảnh. Sau đó nối các điểm ảnh lại theo hình dạng tương tự hình H. O A' C A D B E (H) D' E' B' C' O A' C A B (H) B' C' O A' C A B (H) B' C'
2.2.2 Phân tích a posteriori
Thực nghiệm được tiến hành lúc 13h, ngày 1/10/2008 trên 92 HS ở hai lớp 11B6 (40 HS) và 11B10(42 HS) của trường THPT Nguyễn Chí Thanh TPHCM, sau khi các em học xong chủ đề PBH.
Hình thức thực nghiệm: Chúng tơi phát cho HS phiếu học tập. HS làm việc cá nhân trong thời gian 45 phút.
Thực nghiệm diễn ra dưới sự quan sát của GV bộ mơn Tốn của lớp và chúng tơi. Câu 1
Bảng 2.1 Thống kê chiến lược giải câu 1
Câu 2
B
Bảng 2.2 Thống kê chiến lược giải câu 2
3
Hiểu sai đề: HS nhầm lẫn PBH T với một trong các PBH đã được học trong CT. Chúng tơi sẽ nói rõ hơn trong phần phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm.
Chiến lược Số câu trả lời TỉLệ
S3đỉnh 85 92.4%
Hiểu sai đề3 6 6.5%
Bỏ trống 1 1.1%
Tổng cộng 92 100%
Chiến lược Số câu trả lời Tỉ Lệ Stâm+bánkính 29 31.5% Stâm+điểm 42 45.7% S3đỉểm 1 1.1% Sđn 1 1.1% Sdựdoán 7 7.6% Hiểu sai đề 6 6.5% Bỏ trống 6 6.5% Tổng cộng 92 100%
Câu 3
Bảng 2.3 Thống kê chiến lược giải câu 3 Thống kê theo quan niệm
Trong phần này, chúng tôi không thống kê những bài bỏ trống và những bài hiểu sai cách xây dựng
Phép biến hình T.
Câu 1 Câu 2 Câu 3
Quan niệm Số câu
trả lời Tỉ lệ Số câu trả lời Tỉ lệ Số câu trả lời Tỉ lệ “Quan niệm hình” 85 100% 72 90% 63 80.8%
“Quan niệm điểm” 0 0% 8 10% 15 19.2%
Tổng cộng 85 100% 80 100% 78 100%
Bảng 2.4 Thống kê chiến lược theo quan niệm a. Những ghi nhận ban đầu
Số liệu của bảng thống kê cho thấy tỷ lệ HS chọn các chiến lược thuộc nhóm chiến lược “quan niệm hình” chiếm ưu thế rất lớn.
Cụ thể:
Câu 1: “quan niệm hình” chiếm ưu thế tuyệt đối 100% Câu 2: “quan niệm hình” chiếm tỉ lệ 87.8%
Câu 3: “quan niệm hình” chiếm tỉ lệ 81.9%
Những con số trên cho thấy mặc dù HS phải đối mặt với một PBH mới nhưng HS vẫn áp dụng các tính
chất bảo tồn của phép dời hình và đồng dạng cho PBH mới này để thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ
ảnh của một hình qua PBH”.
b. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm
Mặc dù trong bài thực nghiệm chúng tơi thiết kế phần A để giúp HS có thể đọc hiểu và nắm được
cách xây dựng Phép biến hình T, nhưng vẫn còn một số em hiểu sai về PBH này. Nhiều HS đồng nhất
PBH này với một trong các PBH trong CT. Ví dụ, bài làm của HS30:
Chiến lược Số câu trả lời Tỉ Lệ Sbảotồnhìnhdạng 40 43.5% Sbánbảotồnhìnhdạng 23 25% Sđn 1 1.1% Sdựdoán 14 15.2% Hiểu sai đề 6 6.5% Bỏ trống 8 8.7% Tổng cộng 92 100%
Nối OI cắt (O) tại KI; Vẽ I’=V(I,-2)(KI); 2 2R ' ' R R R ; ( '; 2 R I ) là ảnh cần tìm.
Điều này cho thấy, đối với một bộ phận HS, PBH chỉ bao gồm những PBH mà các em được học. Do đó, mặc dầu đối mặt với một PBH mới, với một tên gọi mới, nhưng các em cũng cố gắng tìm ra nét chung nào đó với một trong các PBH quen thuộc, từ đó gán cho PBH mới các tính chất của PBH mà các em chọn.
Lí giải cho hiện tượng trên, theo chúng tơi, vì các PBH HS được học chỉ bao gồm các phép thuộc nhóm dời hình và đồng dạng, chúng chứa cùng những cái bất biến, trong khi đó khái niệm PBH khái quát chỉ được giảng dạy trong một tiết, thậm chí ít hơn (bởi vì CT phân phối bài PBH và phép tịnh tiến dạy chung trong 2 tiết), do đó HS dễ lầm tưởng rằng PBH chỉ bao gồm các PBH mà các em được học. Từ câu 1 đến câu 3, chúng tôi nhận thấy số lượng bài bỏ trống tăng lên (câu 1: 1 bài; câu 2: 6 bài; câu 3: 8 bài). Bên cạnh đó, tỉ lệ bài làm sử dụng chiếc lược theo “quan niệm điểm” cũng thay đổi (câu 1: 0%; câu 2: 10%; câu 3: 19.2%)
Nguyên nhân của sự thay đổi trên? Phải chăng đây là một ảnh hưởng của thể chế?
- Đối với câu 1, hơn 90% HS sử dụng chiến lược S3đỉnh. Điều này hồn tồn dễ hiểu vì kĩ thuật vẽ ảnh của tam giác qua PBH đã được giới thiệu cho HS.
Ví dụ, câu trả lời của HS1:
- Nối AO, AO( )O tại D
- Vẽ AA’ sao cho D là trung điểm AA’
- Tương tự như vậy cho B, C
- Nối A’, B’, C’ ta được ảnh của tam ABC qua phép biến hình T.
- Đối với câu 2, tương tự câu 1, kĩ thuật vẽ ảnh của đường tròn qua PBH cũng đã giới thiệu trong CT, tuy nhiên, tồn tại đến hai kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ này. Thứ nhất: vẽ ảnh I’ của tâm đường tròn I, vẽ đường tròn (I’;R) (kĩ thuật này sử dụng cho nhóm các phép dời hình). Thứ hai: vẽ ảnh I’ của tâm đường trịn I, vẽ ảnh M’ của một điểm M bất kì trên (I;R), vẽ đường tròn (I’; I’M’) (kĩ thuật này được