1. Một số bài tốn mở đầu
Ví dụ 18
Cho tam giác ABC và A’B’C’ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Giả sử BC và B’C’ cắt nhau tại M, AC và A’C’ cắt nhau tại N, AB và A’B’ cắt nhau tại P. Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Bước 1: Yêu cầu HS nhắc lại những kiến thức liên quan đến bài tốn
- Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng. Dựa vào định lí này, HS sẽ phát hiện được điểm M thuộc (ABC) và (A’B’C’).
- Định lí: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Bước 2: Yêu cầu HS đề xuất giải pháp
Tìm hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua ba điểm M, N, P.
Bước 3: GV giúp đỡ HS thực hiện giải pháp
- Từ giả thiết, hãy xác định hai mặt phẳng phân biệt trong bài toán này - Kiểm tra xem các điểm M, N, P có cùng thuộc hai mặt phẳng đó khơng
Lời giải:
Tacó M BC, BC(ABC) nên M (ABC)
M B’C’, B’C’(A’B’C’) nên M (A’B’C’) suy ra M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’).
Tương tự N, P là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’). Do đó M, N, P thẳng hàng. Đpcm.
Bước 4: Rút ra những bài học kinh nghiệm, những điểm cần chú ý
Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian: Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta thường chứng minh chúng là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.
Ví dụ 19
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc AB, AC, AD sao cho
1 2
MA NC PD
MB NA PA . Gọi I, J lần lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và MP với BD.
a) Chứng minh MG, PI, NJ đồng phẳng
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD, NI, H là giao điểm của MG với BE; K là giao điểm của GF với (BCD). Chứng minh H, K, I, J thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Bước 1: Yêu cầu HS nhắc lại những kiến thức liên quan đến bài tốn
- Tính chất trọng tâm tam giác - Định lí Talet trong mặt phẳng
- Định lí: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho
- Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng
- Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó
Bước 2: Yêu cầu HS đề xuất giải pháp
Câu a. Chứng minh ba điểm N, G, P thẳng hàng, từ đó suy ra MG (MNP) Câu b. Chứng minh bốn điểm H, K, I, J cùng nằm trên giao tuyến của (MNP) và (BCD)
Bước 3: GV giúp đỡ HS thực hiện giải pháp
GV: G là trọng tâm tam giác ACD nên ta có điều gì?
HS: 1
2
EG GA
HS: 1 2
MA NC PD MB NA PA
GV: Từ các tỉ số bằng nhau ta suy ra điều gì? HS: Ba điểm N, G, P thẳng hàng
GV: H và K nằm trên mặt phẳng nào? HS: (MNP) và (BCD)
GV: Tìm giao tuyến của (MNP) và (BCD)
Lời giải:
a) Ta có JN (MNP)
IP (MNP) và 1
2
CN EG DP
NA GA PA nên trong (ACD) các điểm N, G, P nằm trên cùng một đường thẳng song song với CD. Từ đó G nằm trên NP suy ra MG (MNP). Vậy ba đường thẳng MG, JN, IP đều thuộc (MNP) b) Vì H là giao điểm của
MG với BE nên H thuộc (MNP) và (BCD)
Vì K là giao điểm của GF với (BCD) nên K thuộc (BCD) và (MNP)
Mặt khác (MNP) cắt (BCD) theo giao tuyến IJ. Vậy các điểm H và K phải thuộc IJ, tức là bốn điểm H, K, I, J thẳng hàng.
Bước 4: Rút ra những bài học kinh nghiệm, những điểm cần chú ý
- Để chứng minh ba đường thẳng đồng phẳng ta có thể xác định một mặt phẳng đi qua hai trong ba đường và chứng minh đường thứ ba cũng nằm trên mặt phẳng đó.
- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Cách 1: Chứng minh chúng là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt Cách 2: Chuyển bài toán về bài toán chứng minh thẳng hàng trong mặt phẳng.
Chẳng hạn như chứng minh ba điểm N, G, P thẳng hàng.
- Trong một số bài toán cần chú ý xét các trường hợp xảy ra trong bài toán
2. Các bài toán áp dụng
Bài 8.
Bài 9.
Bài 10.
Hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến d. Một đường thẳng qua A, B nằm trong (P) cắt d tại C. Gọi M là điểm ở ngoài (P) và (Q). MA, MB cắt (Q) tại E và F. Chứng minh C, E, F thẳng hàng. Cho tứ diện SABC có D và E lần lượt là trung điểm của AC, BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) đi qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M và N. Mặt phẳng (Q) đi qua BC cắt SD, SA lần lượt tại P và Q.
a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, gọi J là giao điểm của BP và EQ. Chứng minh S, I, J, G thẳng hàng.
b) Giả sử AN cắt DM tại K, BQ cắt EP tại L. Chứng minh S, K, L thẳng hàng.
Cho ba tia Ox, Oy, Oz. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các cặp điểm A và A’, B và B’, C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M, CA cắt C’A’ tại N và AB cắt A’B’ tại I. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.
Tóm tắt lời giải:
Bài 8.
C d C (Q)
C AB C (MAB) C là điểm chung của (P) và (MAB).
Tương tự E, F là điểm chung của (P) và (MAB).Vậy C, E, F thẳng hàng. Đpcm. Bài 9. a) Ta có I AM I (SAE) J EQ J (SAE) S, I, J, G (SAE) Mặt khác: IDN I(SBD) JBP J(SBD) S, I, J, G (SBD) Vậy 4 điểm S, I, J, G thẳng hàng b) Chứng minh S, L, K là điểm chung của (SAB) và (SDE). Đpcm.
Bài 10.
GV: Với ba tia bất kỳ trong khơng gian có những trường hợp nào về vị trí tương đối của chúng?
GV: Vì thế phải xét các trường hợp
Trường hợp 1: Ba tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng
Dễ thấy M, N, I là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Vậy ba điểm M, N, I thẳng hàng
Trường hợp 2: Ba tia Ox, Oy, Oz cùng nằm trên một mặt phẳng
Qua O dựng một đường thẳng d không nằm trên (P). Trên d lấy các điểm O’, O”. Gọi H là giao của O’A với O”A’, K là giao của O’B với O”B’.
Dễ chứng minh HK, A’B’, AB đồng qui tại I. Tương tự, ta dựng điểm E là giao của O’C với O”C’. Hai tam giác HKE và ABC không cùng nằm trên một mặt phẳng nên theo trường hợp 1 ta có M, N, I thẳng hàng. Đpcm
Dạng 2: Chứng minh ba đƣờng thẳng đồng qui 1. Một số bài tốn mở đầu
Ví dụ 20
Cho tứ diện ABCD, A’, B’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD.
a) Chứng minh AA’, BB’ cắt nhau tại một điểm O và tính các tỉ số
' ' ; AA' '
OA OB BB .
b) Gọi C’, D’ theo thứ tự là trọng tâm các mặt ABD và ABC. Chứng minh AA’, BB’, CC’, DD’ đồng qui và ' ' ' ' 1
AA' ' ' DD'
OA OB OC OD BB CC
.
c) Gọi N là trung điểm của AB, chứng minh M, O, N thẳng hàng
Hướng dẫn:
Bước 1: Yêu cầu HS nhắc lại những kiến thức liên quan đến bài tốn
- Tính chất trọng tâm tam giác - Định lí Talet trong mặt phẳng
- Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bước 2: Yêu cầu HS đề xuất giải pháp
a) Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng. Tính tỉ số nhờ tính chất trọng tâm tam giác
b) Do AA’, BB’ cắt nhau tại O nên ta dự đoán CC’, DD’ cũng đi qua O. Muốn chứng minh DD’đi qua O ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: Giả sử DD’cắt AA’ tại O’ rồi chứng minh O và O’ trùng nhau.
Cách 2: Giả sử DO cắt (ABC) tại D’, ta chứng minh D’ là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Để chứng minh M, O, N thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.
GV giúp đỡ HS bằng cách đưa ra hệ thống câu hỏi có tính định hướng. Câu a)
GV: Có thể đưa hai đường thẳng AA’ và BB’ vào trong mặt phẳng nào? HS: (ABM)
GV: Tại sao hai đường thẳng AA’và BB’cắt nhau?
HS: Vì A’ thuộc cạnh đối diện với đỉnh A, B’ thuộc cạnh đối diện với đỉnh B và AA’, BB’ cùng thuộc (ABM)
Câu b)
GV: Muốn chứng minh CC’, DD’ cũng đi qua O ta làm như thế nào? HS: Giả sử DD’ cắt AA’ tại O’, ta chứng minh ' ' ' 1 '
' AA' 4
OA O A
O O
AA .
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm của CD thì A’ BM và ' 1
3 A M BM . Tương tự, B’ AM và ' 1 3 B M AM .
Trong tam giác ABM, A’ thuộc cạnh đối diện với đỉnh A, B’ thuộc cạnh đối diện với đỉnh B và AA’, BB’ cùng thuộc (ABM) nên chúng cắt nhau tại O. Ta có: A’B’ // AB Nên ' ' ' 1 ' 1 3 AA' 4 OA A B OA OA AB . Tương tự ' 1 ' 4 OB BB .
b) Giả sử DD’ cắt AA’ tại O’ . Theo
câu a) ta có ' ' 1 ' ' 1
' 3 AA' 4
O D O A
O D
O và O’ nằm giữa A và A’,
' ' ' 1 ' ' AA' 4 OA O A O O AA , suy ra DD’
đi qua O. Tương tự CC’ cũng đi qua O.
c) Vì CC’ đi qua O mà C’ là trọng tâm của tam giác ABD nên C’ DN. Tương tự D’ CN. Ba điểm M, O, N là ba điểm chung của (CDN) và (ABM) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Vậy M, O, N thẳng hàng. Đpcm.
Bước 4: Rút ra những bài học kinh nghiệm, những điểm cần chú ý
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta tìm giao điểm của hai đường rồi chứng minh đường thứ ba đi qua giao điểm đó.
Ví dụ 21
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.
a) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng qui tại một điểm O
b) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’. Chứng minh G, O, G’ thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Bước 1: Yêu cầu HS nhắc lại những kiến thức liên quan đến bài tốn
- Kiến thức về hình bình hành
- Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
- Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt - Tính chất trọng tâm tam giác
Bước 2: Yêu cầu HS đề xuất giải pháp
a) Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Cách 2: Chỉ ra ba đường thẳng đó là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt. b) Chứng minh qua O có hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba.
Bước 3: GV giúp đỡ HS thực hiện giải pháp
HS: (C’AB) , (A’BC) , (B’AC)
GV: Áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt suy ra điều phải chứng minh.
b) GV: Điểm O có tính chất gì? HS: Là trọng tâm tam giác C’AB.
GV: Có nhận xét gì về ba điểm C, M, G ? C’, M’, G’?
HS: Ba điểm C, M, G thẳng hàng, ba điểm C’, M’, G’ thẳng hàng GV: O là trọng tâm tam giác nên theo tính chất trọng tâm ta có điều gì?
HS: 1 // '
' 3
MO MG
OG CC MC MC
GV: Hãy chứng minh OG’// CC’. Từ đó suy ra ba điểm O, G, G’ thẳng hàng.
Lời giải:
a) Xét ba mặt phẳng (C’AB), (A’BC), (B’AC). Ta có (C’AB) (A’BC) = BI
(B’AC) (A’BC) = CK
Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng BI, AJ, CK đồng qui tại điểm O.
b) Dễ thấy O là trọng tâm của tam giác C’AB. Gọi M là giao điểm của C’O với AB thì M là trung điểm của AB. Vậy ba điểm M, G, C thẳng hàng.
Vì O và G lần lượt là trọng tâm hai tam giác C’AB, CAB nên ta có
1 // ' ' 3 MO MG OG CC MC MC . (1)
Chứng minh tương tự OG’// CC’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm O, G, G’ thẳng hàng
Bước 4: Rút ra những bài học kinh nghiệm, những điểm cần chú ý
Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng qui
Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng và chứng minh đường thẳng thứ
ba đi qua giao điểm đó. Bài tốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui cuối cùng qui về chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cách 2: Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta cịn có thể chứng minh qua một điểm có hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba.
2. Các bài toán áp dụng
Bài 11. Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA, SC với SI > IA, SJ < JC, O là giao điểm của AC và BD. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.
a) Chứng minh IJ, MN, SO đồng qui, từ đó suy ra cách dựng điểm N khi biết điểm M.
b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh S, E, F thẳng hàng.
c) IN cắt AD tại P, JM cắt BC tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định khi (P) di động.
Bài 12.
Bài 13.
Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD, O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Ba đường thẳng ME, NF, SO đồng qui b) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P), có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài (P) và M là trung điểm của SC.
a) Tìm giao điểm N của SD và (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng qui
Lời giải tóm tắt:
Bài 11.
a) Gọi L là giao điểm của IJ và MN. Ta có L (SAC) vì IJ (SAC)
Mặt khác SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) nên L SO, do đó IJ, MN, SO đồng qui tại L.
Cách dựng điểm N: Nối SO cắt IJ tại L, nối ML cắt SD tại N thì N là điểm cần tìm.
b) Ta có F (SAD) vì IN (SAD) F (SBC) vì JM (SBC)
Do đó F, S, E là điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) nên chúng thẳng hàng.
c) Ta có : SI SJ IJ
IA JC không song song với AC. Gọi K là giao điểm của IJ và AC thì K cố định.
P, Q, K là ba điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (ABCD), do đó P, Q, K thẳng hàng.Vậy PQ ln đi qua điểm K cố định.
Bài 12.
a) Ta có ME là đường trung bình của tam giác SAC nên ME // AC. Tương tự NF // BD
Trong (SAC), gọi I là giao điểm của ME và SO.
Dễ thấy I là trung điểm của SO. Khi đó FI là đường trung bình của tam giác SOB. Vậy FI // BD.
Lập luận tương tự NI // BD.
Vậy NI FI hay F, I, N thẳng hàng, suy ra ba đường thẳng SO, ME, NF đồng qui tại I.