Phƣơng pháp dạy học giải quyết vấn đề khái niệm toán học

2.1.1. Những yêu cầu khi dạy học khái niệm toán học

Trong việc dạy học Tốn ở trường phổ thơng điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của tồn bộ kiến thức Tốn học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Q trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh.

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần đạt được các yêu cầu sau:

+ Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.

+ Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó khơng, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.

+ Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm. + Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.

+ Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.

Các yêu cầu trên có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, song khi dạy học khái niệm không phải lúc nào cũng đạt được các yêu cầu trên với mức độ như nhau đối với từng khái niệm. Vì vậy khi dạy học khái niệm phải căn cứ vào từng khái niệm mà đặt ra các yêu cầu khác nhau khi dạy học khái niệm đó.

2.1.2. Quy trình dạy học giải quyết vấn đề khái niệm toán học

- Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa.

- Đưa ra một khái niệm đã biết có liên quan đến khái niệm cần định nghĩa. - Xuất phát từ nội bộ Toán học hoặc thực tiễn xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần định nghĩa.

Bước 2: Tìm giải pháp

- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.

- Thêm vào nội hàm của khái niệm đã biết một số đặc điểm mà ta quan tâm.

- Khái qt hóa q trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.

Bước 3: Trình bày giải pháp

Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm hoặc định nghĩa khái niệm nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Nhận dạng và thể hiện khái niệm.

- Phát biểu lại định nghĩa bằng những lời lẽ của mình hoặc diễn đạt định nghĩa bằng những dạng ngơn ngữ khác nhau và phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa.

- Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học.

2.1.3. Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề một số khái niệm toán học thuộc phần ứng dụng của đạo hàm.

2.1.3.1. Hoạt động dạy học khái niệm cực đại,cực tiểu.

Các kiến thức liên quan đã biết:

- Biết tính đạo hàm của các hàm số trên các khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Biết tìm tập xác định của hàm số.

- Biết xét dấu đạo hàm.

-Biết xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ở lớp 10.

Mục tiêu của hoạt động: Học sinh tự hình thành khái niệm và định nghĩa được khái niệm thông qua những kiến thức liên quan đã biết.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề

GV đưa ra tình huống: Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có GTLN, GTNN. a. y=x2+1 trong khoảng ( ; ). b. y= 3 2 3 x (x ) trong các khoảng 1 3 2 2;       và 3 4 2;      .

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây:

x - 0 + y‟ y 1   2 Bước 2: Tìm giải pháp

GV gợi ý cho học sinh xác định khoảng đơn điệu của hàm số .

a. Vì y'0 với x0;) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0  )

và y'0 khi x ( ; 0) nên hàm số đồng biến trên khoảng (; )0 . x - 1 3 + y‟ y 4 3  0 

y'0 tại x 0. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 0. Giá trị lớn nhất 1

y  .

b. y' x 2 4x3 đổi dấu khi qua các điểm x 1 và x3. 0

y' tại x1 và x3. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Người ta nói hàm số ở câu a) có cực trị tại x 0. Hàm số ở câu b) có cực trị tại

1

x  và x 3.

GV gợi ý HS phát hiện nội dung của định nghĩa khái niệm cực đại, cực tiểu.

Bước 3: Trình bày giải pháp

GV hướng dẫn HS trình bày khái niệm cực đại, cực tiểu.

Cho hàm số y f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là

; b là ) và điểm x0 a; b .

- Nếu tồn tại h0sao cho f(x) f(x ) 0 với mọi x (x h;x h) 0 0 và 0

x x thì ta nói hàm số f(x)đạt cực đại tại x0.

-Nếu tồn tại h0sao cho f(x) f(x ) 0 với mọi x (x h;x h) 0 0 và 0

x x thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT), còn điểm M(x ;f(x ))0 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f '(x )0 0.