Ứng dụng đạo hàm
2.2.3.1. Hoạt động dạy học định lí: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm trên K. a. Nếu f '(x)0 với mọi xthuộc K thì hàm số f(x)đồng biến trên K. b.Nếu f '(x) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x)nghịch biến trên K.
Các kiến thức liên quan đã biết:
-Biết xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ở lớp 10.
- Biết tính đạo hàm của các hàm số trên các khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Biết xét dấu đạo hàm.
Mục tiêu của hoạt động: Học sinh tự hình thành nội dung định lí, phát biểu được định lí và tìm được các khoảng đơn điệu của hàm số thông qua những kiến thức liên quan đã biết.
Triển khai hoạt động dạy học:
Bước 1: Phát hiện, thâm nhập vấn đề
GV đưa ra tình huống: Từ đồ thị hình hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y cosx trên đoạn 3
2; 2
và của hàm số y x trên khoảng ( ; ).
Hoặc GV có thể đưa ra tình huống sau: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng: a. y 2 2 x ; b. y 1 x .
x - 0 + y‟ y 0
Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.
a.Hàm số có đạo hàm y' 2x; y'0 với mọi x 0; y'0 với mọi 0
x . Trên khoảng (; )0 hàm số có đạo hàm mang dấu dương, hàm số đồng biến. Trên khoảng 0; hàm số có đạo hàm mang dấu âm, hàm số nghịch biến. b. Hàm số có đạo hàm 2 1 y' x
; y‟<0 với mọi x.Trên khoảng ;0 và
0; hàm số nghịch biến.
GV đưa ra câu hỏi: Em có nhận xét gì về các khoảng đồng biến và khoảng
nghịch biến của hàm số và dấu tương ứng của đạo hàm?
HS sẽ phát hiện ra là: Nếu trên khoảng đó đạo hàm của hàm số mang dấu dương thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu trên khoảng đó đạo hàm mang dấu âm thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.Từ đó GV gợi ý để HS phát hiện ra nội dung của định lí là: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm trên K.
a. Nếu f '(x)0 với mọi xthuộc K thì hàm số f(x)đồng biến trên K.
b. Nếu f '(x)0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x)nghịch biến trên K. - 0 + y‟ y 0 0
Bước 2: Tìm giải pháp
GV hướng dẫn HS tìm cách chứng minh định lí.
GV nêu câu hỏi: Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng khơng?
Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay khơng?
Chẳng hạn, xét hàm số y x 3.
Hàm số có đạo hàm y'3x2; y'0với mọi x0, y'0với mọi x 0. Nhưng y'0 tại x0. Hàm số trên đồng biến với mọi x .
Do đó, GV nhấn mạnh cho học sinh nhớ rằng điều ngược lại với định lí trên khơng đúng.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV u cầu HS phát biểu và chứng minh định lí. Định lí: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm trên K.
a. Nếu f '(x)0 với mọi xthuộc K thì hàm số f(x)đồng biến trên K.
b. Nếu f '(x)0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x)nghịch biến trên K.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
+ GV chú ý cho học sinh: Giả sử hàm số y f(x) có đạo hàm trên K. Nếu 0
f '(x) (f '(x)0), x Kvà f '(x)0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
+ GV cho học sinh làm các bài tập sau để thành thạo phương pháp. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
1.y 4 3x-x2 ; 2.y2x3 6x2 6x7 ; 3.y x 4 2x2 3 ; 4. 3 1 x+1 y x ; 5. y x2 x 20. Đáp số:
1. Hàm số đồng biến trên khoảng 3 2 ;
, nghịch biến trên khoảng 3
2;
.
2. Hàm số đã cho luôn đồng biến.
3. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ; ),( ;1 0 1 )và nghịch biến trên các khoảng ( ; ),( ; ).1 0 1
4. Hàm số đồng biến trên các khoảng (; ),( ;1 1 ).
5. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; )4 , đồng biến trên khoảng 5
( ;).