Kế hoạch giảng dạy phƣơng trình mũ và phƣơng trìnhlogarit

vi. 1.5.6. Phƣơng pháp 6 : Phƣơng pháp 5W1H

1.8. Kế hoạch giảng dạy phƣơng trình mũ và phƣơng trìnhlogarit

chƣơng trình tốn Trung học phổ thơng

1.8.1. Chuẩn mơn học

Sau khi học xong nội dung phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit học sinh cần đạt đƣợc:

Kiến thức

- Phát biểu đƣợc định nghĩa, nêu đƣợc tính chất của phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit.

- Biết đƣợc khi nào phƣơng trình mũ có nghiệm, vơ nghiệm cũng nhƣ điều kiện xác định của phƣơng trình logarit.

- Giải thích đƣợc các phép biến đổi cơ bản của phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit.

- Hiểu rõ đƣợc các phƣơng pháp thƣờng dùng và các phƣơng pháp đặc biệt để giải các bài toán về phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit ở dạng cơ bản hay nâng cao.

Kỹ năng

- Giải chính xác đƣợc các phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit ở dạng cơ bản và một số dạng thƣờng gặp.

- Sử dụng thành thạo các công thức mũ và logarit để biến đổi các phƣơng trình đã cho về dạng quen thuộc.

- Trình bày lời giải các bài tốn giải phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit và các bài tốn thực tế liên quan một cách chính xác, khoa học.

- Vận dụng linh hoạt các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit vào giải một số bài tập nâng cao cũng nhƣ bài toán thực tế.

Tư duy và thái độ

- Rèn luyện cho học sinh tƣ duy logic, tƣ duy sáng tạo, khả năng nhạy bén và năng động trong các tình huống, cùng với phƣơng pháp làm việc khoa học - Giáo dục cho học sinh tính cần cù, cẩn thận, chính xác, kỷ luật, khơng ngại khó và tích cực tìm ra cái mới.

- Tích cực, chủ động suy nghĩ, tìm những lời giải hay, độc đáo.

Năng lực

- Rèn luyện năng lực làm việc nhóm, năng lực sáng tạo… - Phát triển năng lực năng lực tự học, tự nghiên cứu…

1.8.2. Khung phân phối chương trình

Bảng 1.1. Khung phân phối chương trình

Nội dung bắt buộc/ số tiết Tổng

số tiết Lý thuyết Bài tập Thực hành Ôn tập Kiểm tra

35,36, 37 (3 tiết) 38 (1 tiết) 39 (1 tiết) 40 (1 tiết) 41 (1 tiết) 7

1.9. Thực trạng dạy học phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit ở lớp 12 nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh 12 nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh

1.9.1. Chương trình và sách giáo khoa

Trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo dục, chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit đƣợc trình bày trong 4 tiết của chƣơng 2- Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số logarit, có 3 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập. Bài tập tự luận và trắc nghiệm có 9 bài, nhƣng khơng có bài tập ứng dụng vào thực tiễn. Trong sách bài tập có 10 bài làm thêm.

1.9.2. Một số nhận xét của cá nhân

Về sách giáo khoa: Nhìn chung, nội dung chủ đề phƣơng trình mũ và

phƣơng trình logarit đƣợc bố trí và sắp xếp rất hợp lý, hệ thống bài tập phù hợp với đa số học sinh. Song số bài tập nâng cao để rèn luyện tƣ duy sáng tạo của học sinh thì chƣa nhiều và chƣa phong phú. Cụ thể nhƣ sau:

- Sách giáo khoa đã trình bày đầy đủ, chi tiết cách giải phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit cơ bản, cũng nhƣ cách giải một số phƣơng trình mũ, loogarit đơn giản. Ở đó, khơng đề cập đến các phƣơng trình địi hỏi phải biến đổi các biểu thức lũy thừa và logarit phức tạp.

- Mặc dù, sách giáo khoa đã đƣa ra cách giải logarit hóa đối với phƣơng trình mũ và cách giải mũ hóa đối với phƣơng trình logarit, nhƣng hệ thống bài tập lại khơng có để vận dụng. Ngồi ra, sách giáo khoa cũng khơng xét đến các phƣơng trình có chứa tham số, điều này cũng dễ hiểu vì nó giúp học sinh giảm tải bớt kiến thức. Nhƣng điều đó cũng làm cho hệ thống bài tập thiếu phong phú và khả năng phát triển tƣ duy sáng tạo không nhiều.

- Trong sách giáo khoa khơng xét phƣơng trình logarit mà ẩn có mặt đồng thời ở cơ số và trong biểu thức lấy logarit. Nhƣng trong một số ví dụ và bài tập tác giả có đƣa ra bài tốn về phƣơng trình, trong đó ẩn nằm ở cơ số của logarit, chẳng hạn nhƣ logx2. Tuy nhiên nó khơng gây ra phức tạp cho học sinh vì đó chỉ là cách viết khác của log2x, (x > 0, x 1).

Về phương pháp giảng dạy của giáo viên, cách học của học sinh.

- Đa số giáo viên nhiệt tình, truyền đạt kiến thức đầy đủ chính xác, song chƣa thật sự linh hoạt, mềm dẻo khiến cho học sinh khơng hứng thú nhiều. Điều đó làm cho tƣ duy sáng tạo của học sinh không phát huy đƣợc nhiều. - Giáo viên chƣa thực sự tạo điều kiện và thời gian để học sinh hoạt động, suy nghĩ, phát hiện và giải quyết vấn đề, trao đổi, thảo luận. Điều này cũng một phần vì lƣợng kiến thức khá lớn cho một tiết học 45 phút, nên giáo viên

cố gắng truyền đạt hết, một phần vì cơ sở vật chất một số trƣờng chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu.

- Hầu hết giáo viên chỉ chủ động dạy hết bài và hƣớng dẫn hoàn thành bài tập, chƣa tập trung phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.

- Hiện tại cũng có nhiều học sinh rất tích cực suy luận, tìm tịi các bài tốn hay, lời giải phong phú. Nhƣng bên cạnh đó vẫn cịn tình trạng học sinh ỉ lại chờ đợi sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn.

- Đa số học sinh khi tìm ra đƣợc một phƣơng án giải quyết bài toán là dừng lại, mà khơng nghiên cứu, tìm hiểu, sáng tạo cách giải khác, hoặc tìm mối liên hệ với các bài tốn liên quan. Điều đó chứng tỏ hoạt động học tập của học sinh chƣa thể hiện đƣợc các đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo.

Nhƣ vậy, nhìn chung đa số các thầy cơ đều nhận thức đƣợc tầm quan trọng của việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh nhƣng lại chƣa thật sự tạo điều kiện để học sinh phát huy, bộc lộ khả năng của mình. Ngồi ra, do ảnh hƣởng của lối dạy truyền thống, nặng nề về truyền thụ tri thức dẫn đến cách tổ chức dạy học thụ động, khơng phát huy đƣợc tính tích cực học tập cũng nhƣ tiềm năng sáng tạo của học sinh. Cũng chính từ quan điểm đó đã tạo cho học sinh thói quen học tập thụ động, thiếu sáng tạo.

Kết luận chƣơng 1

Trong chƣơng này, luận văn đã làm rõ các khái niệm về tƣ duy, về tƣ duy sáng tạo, các yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo, một số phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo, một vài thủ thuật rèn luyện tƣ duy sáng tạo, đồng thời chỉ ra một số phƣơng hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học bộ mơn tốn.

Việc bồi dƣỡng phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học là rất cần thiết. Tƣ duy sáng tạo sẽ mở rộng quá trình sáng tạo, đề xuất nhiều phƣơng án độc đáo, sáng tạo, và triển khai các hệ thống cần thiết cho việc thực hiện giải pháp. Một giáo viên sáng tạo sẽ không bao giờ thiếu những phƣơng pháp hay để truyền đạt kiến thức cho học sinh một cách hiệu quả nhất: nhƣ lớp học đảo ngƣợc, thảo luận nhóm, sử dụng các video clip minh họa...

Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên phải chú ý thƣờng xuyên tập dƣợt cho học sinh suy luận có lý (thơng qua quan sát, tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, so sánh, quy nạp …) thơng qua đó học sinh có thể tự mình tìm tịi, dự đoán đƣợc những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đốn đƣợc các kết quả, tìm đƣợc cách giải của một bài toán, phƣơng pháp chứng minh một mệnh đề hay một định lý. Nói cách khác, mỗi giáo viên cần phối hợp linh hoạt các thủ thuật, các phƣơng pháp… nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh.

CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THƠNG QUA GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ

PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT

Việc giải phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit đã có những phƣơng pháp giải cụ thể, song ngƣời học cần lựa chọn ra những phƣơng pháp giải phù hợp cho mỗi loại phƣơng trình, mỗi loại bài tốn. Chính vì vậy khi dạy phần này giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy cơ bản: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa.

Trong chƣơng này tác giả sẽ trình bày một số cách giải phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit cùng với các ví dụ minh họa, xây dựng phƣơng trình mũ, logarit và ứng dụng của logarit trong một số bài tốn phổ thơng cũng nhƣ bài toán thực tế dựa trên việc định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo đã trình bày ở chƣơng một.

2.1. Phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit cơ bản

2.1.1. Phương trình mũ cơ bản

 Có dạng : ax

= b (a > 0, a 1)

Nhận xét: Do ax

> 0 với mọi số thực x nên: Với b > 0, ta có ax

= b  x = logab

Với b 0, phƣơng trình vơ nghiệm.  Dạng tổng quát

Dạng 1. af(x)

= b (a > 0, a1)

Nhận xét: Do af(x)

> 0 với mọi số thực x nên: Với b > 0, ta có af(x)

= b  f(x) = logab

Với b 0, phƣơng trình vơ nghiệm.

Dạng 2. af(x)

= ag(x) (a > 0, a1)

 f(x) = g(x). .

Ví dụ 2.1. Giải các phương trình mũ sau a) 4x + 4 x+ 1 = 10. b) 2 2 1 3x  x 9. c) (1,5)5x – 7 = 2 1 ( ) 3 x .

Phân tích. Thoạt nhìn, với câu (a) học sinh có thể bị bất ngờ vì chƣa

giống dạng cơ bản, vì vậy học sinh cần linh hoạt sử dụng công thức đã học am+n =am.an và biến đổi về dạng cơ bản. Với câu (c) học sinh cần quan sát, phân tích tìm mối quan hệ giữa hai cơ số 1,5 và 2

3, thấy rằng 1,5 = 3 2= 1 2 3        . Nhƣ vậy bài tốn đã có hƣớng giải quyết.

Lời giải. a) 4x + 4 x+ 1 = 10  5.4x = 10  4x = 2  x = log4 2 = 1 2 . Vậy phƣơng trình có nghiệm x = 1

2 . b) 2 2 1 3x x 9  2 2 1 2 3x  x 3  x2 + 2x -1 = 2  x =1 và x = -3.

Vậy phƣơng trình có nghiệm x =1, x = -3. c) (1,5)5x – 7 = 2 1 ( ) 3 x  3 5 7 3 1 ( ) ( ) 2 2 x   x  5x – 7 = -x – 1  x = 1.

 Nhận xét

- Với phƣơng trình (b) ta có thể lấy logarit hai vế với cơ số 3 ta sẽ đƣợc phƣơng trình và nghiệm nhƣ trên. Cụ thể nhƣ sau

2 2 1 3x  x 9 log (33 x2 2x1) log 9 3  x2 + 2x -1 = 2  x2 + 2x -3 = 0  x = 1 và x = -3.

- Từ nhận xét trên, ta có thể đặt ra câu hỏi: Nếu lấy logarit hai vế với một cơ số a bất kỳ (a>0, a1) liệu có đƣợc khơng ? và câu trả lời là hoàn toàn đƣợc. - Nhƣ vậy ta có thể giải quyết các phƣơng trình phức tạp hơn dạng .

af(x) = bg(x) (a>0, a1, b>0, b1).

bằng cách lấy logarit hai vế với cơ số nào đó, chẳng hạn cơ số a, ta đƣợc af(x) = bg(x)  f(x) = loga g x( ).

Ví dụ 2.2. Giải các phương trình mũ sau

a) 1 4 3 4 (0, 75) 3 x x         . b) 3 2 2 4 2 2 1 3 9x  x 27 x  x  . c) 5x2 2x. d) 7x+1 – 3x = 3x- 1 + 7x. Hướng dẫn

a) Làm tƣơng tự ví dụ 1(c), hoặc lấy 2 vế với một cơ số bất kỳ dƣơng khác 1. b) Biến đổi cùng về cơ số 3 hoặc lấy logarit hai vế với cơ số 3(hoặc cơ số 9, hoặc một cơ số bất kỳ dƣơng khác 1).

c) Từ nhận xét trên ta có 2 5x 2x

  x 2 log 25 x

Hoặc có thể biến đổi về phƣơng trình cơ bản nhƣ sau 2 5 5 2 25 2 x x  x       . d) Ta có thể chuyển các hạng tử đồng dạng về một vế và rút gọn, để đƣa về dạng đã biết. 7x+1 – 3x = 3x- 1 + 7x 1 1 7 3 7 7 3 3 4 6.7 .3 3 7 2 3 9 2 log . 9 x x x x x x x x                       

 Nhận xét: Nhƣ vậy qua các ví dụ trên đã góp phần rèn luyện cho học sinh

những thao tác phân tích và tổng hợp, so sánh và tƣơng tự ...của tƣ duy. Đồng thời, nó rèn luyện và phát triển một số cấu trúc của tƣ duy sáng tạo.

2.1.2. Phương trình logarit cơ bản

 Có dạng : logax = b, (a > 0, a1). Điều kiện của phƣơng trình là x > 0 Phƣơng trình ln có nghiệm với mọi giá trị của b,

Và x = ab là nghiệm của phƣơng trình.  Dạng tổng quát:

- Dạng 1: loga f(x) = b, (a>0, a1)  f(x) = ab - Dang2: logaf(x) = logag(x), (a>0, a1)

 f(x) = g(x) với f(x) >0 hoặc g(x) > 0.

Nhận xét: Dạng 1 chính là trƣờng hợp đặc biệt của dạng 2 khi g(x) = ab

.  Một số kiến thức cần nhớ

- Logarit của một tích.

Cho ba số dƣơng a, b1, b2 với a  1, ta có loga(b1.b2) = logab1 + logab2.

(a, b1, b2,…, bn > 0, và a  1).

- Logarit của một thƣơng

Cho các số dƣơng a, b, b1, b2 với a  1, ta có loga 1 2 b b = loga b1 - loga b2 và 1 loga logab b  . - Logarit của một luỹ thừa

Cho hai số dƣơng a, b với a  1,   ta có loga b = .logab và loganb =

n

1

.logab. - Đổi cơ số

Cho hai số dƣơng a, b, c với a  1, c  1,   ta có loga b = log log c c b a b a a b log log  1 a b b a log

log  1 log b 1logab

a  .

Ví dụ 2.3. Giải các phương trình logarit sau

a) log3xlog9 x6.

b) logxlog(x 3) 1.

c) 3 3

2 4 8

11

log 3log log

2

x  x x  .

d) log2xlog3xlog4xlog20x.

Phân tích

- Với các phƣơng trình logarit, khi giải chúng ta cần chú ý đến điều kiện của phƣơng trình (biểu thức trong logarit ln dương) và hƣớng giải quyết vấn đề

(nên dùng công thức nào và biến đổi sao cho phù hợp, nhanh, chính xác..)

- Đối với từng phƣơng trình, cần quan sát cẩn thận các biểu thức để tìm mối liên hệ của chúng, đồng thời cũng cần nhìn một cách tổng quát để có cách giải hồn thiện hơn.

Hướng dẫn giải.

a) Tìm điều kiện của phƣơng trình, rồi dùng công thức 1 log b logab

a  biến đổi về cùng cơ số 3 hoặc cơ số 9, đƣa về phƣơng trình cơ bản.

b) Dùng quy tắc logarit của một tích, biến đổi về dạng cơ bản, chú ý đến điều kiện của phƣơng trình để loại nghiệm ngoại lai.

logx+ log(x-3) = 1 ĐK: x > 3 log[x(x-3)] = 1  x2 – 3x =10 5 2 x x        Vì ĐK x >3 nên x = -2 loại Đối chiếu điều kiện, suy ra phƣơng trình có nghiệm x = 5.

c) Dùng công thức logarit của một lũy thừa biến đổi về phƣơng trình logarit cơ bản giống câu (a).

d) Sử dụng công thức đổi cơ số loga b = log

log c c b a để đƣa về cùng cơ số, rồi rút gọn. Bài toán sẽ thuận lợi hơn khi chọn cùng cơ số 2.

2 3 4 20

log xlog xlog xlog x ĐK: x > 0.

log2x + log32.log2x + log4 2. log2x = log202.log2x

2 3 2 1 (1 log 2 log 20) 0 2 log x      (vì 1 log 23 1 log 202 0 2     )  log2x = 0  x = 1.

Đối chiếu điều kiện, suy ra phƣơng trình có nghiệm x = 1.

Chú ý. Ở trên chỉ là những gợi ý, giáo viên nên khuyến khích học sinh tìm tịi

nhiều cách giải khác nhau để tạo sự linh hoạt, khéo léo trong tƣ duy. Dù học sinh giải cách nào ngắn hay dài thì giáo viên cũng ln động viên, kích lệ các em vì mỗi cách giải đều có ƣu điểm riêng. Điều đó sẽ phát huy tính sáng tạo