Kỹ năng viết phương trình đường thẳng biết một điểm đi qua và hệ số

2.3. Rèn luyện kỹ năng viết phương trình các loại đường thẳng khi biết

2.3.4. Kỹ năng viết phương trình đường thẳng biết một điểm đi qua và hệ số

góc

2.3.4.1. Các kiến thức cơ bản

- Đường thẳng  đi qua điểm M x y 0; 0 và có hệ số góc k khi đó ta có phương trình của : yk x x0 y0

- Đường thẳng  có véc tơ chỉ phương u a br ; ,a0thì hệ số góc của  là

b k

a

 và ngược lại đường thẳng  có hệ số góc là k thì có một véc tơ chỉ phương ur 1;k . Như vậy bằng quy đồng và chuyển vế ta có:

+ Nếu cho : ax by  c 0 và dP thì d có phương trình

 

0,

axby c cc .

+ Cho1: yk x1 m1, 2: yk x2 m2 thì    1P 2 k1 k2. + Nếu cho : ax by  c 0 và d   thì d có phương trình

0.

bx ay c

+ Cho 1: yk x1 m1, 2: yk x2 m2 thì:    1 2 k k1 2.  1. - Đối với kỹ năng này khi dạy giáo viên cần rèn cho học sinh các kỹ năng như:

+ Viết phương trình đường thẳng khi biết tường minh điểm đi qua và hệ số góc.

+ Viết phương trình đường thẳng khi biết tường minh điểm đi qua, cịn hệ số góc người ta có thể cho dưới dạng: song song với một đường thẳng cho trước, hoặc vng góc với một đường thẳng cho trước…

2.3.4.2. Bài tập minh họa.

Bài 2.8. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của đường thẳng d đi qua điểm

3; 1

M  và có hệ số góc k=-2

Hướng dẫn. PTTQ: y 2x3 1 2x  y 6 0.

Từ k  2 ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là ur1; 2 . 

PTTS của d là 3 1 2 . x t y t         . PTCT của d là 3 1 . 1 2 x  y 

Bài 2.9. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của đường thẳng  đi qua điểm

 2;3

M và song song với đường thẳng : 4d x10y 1 0.

Hướng dẫn. Ta thấy rằng điều kiện để viết phương trình theo hệ số góc là ta

phải có hai điều kiện: Điểm mà đường thẳng đi qua và hệ số góc của đường thẳng. Đối chiếu vào đề bài thì điều kiện thứ nhất có ngay tuy nhiên hệ số góc của đường thẳng thì ta chưa nhìn thấy đâu cả. Thay vào đó ta có giả thiết đường thẳng cần lập song song với một đường thẳng cho trước. Vậy hai đường thẳng song song với nhau thì có mối quan hệ gì về hệ số góc khơng?

+ Ta đã biết với hai đường thẳng song song ta có thể chọn cùng véc tơ chỉ phương và cùng véc tơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết. Đường thẳng song song d nên  có phương trình là 4x10y c 0. Mặt khác  đi qua M 2;3 nên 8 30    c 0 c 22.

Phương trình  là 4x10y220.

Bài 2.10. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQcủa đường thẳng  đi qua điểm

 2;3

M và vng góc với đường thẳng : 4d x10y 1 0.

Hướng dẫn. Vấn đề khó khăn của bài là chưa thấy hệ số góc của đường thẳng

cần lập ở đâu mà thay vào đó là điều kiện là đường thẳng cần lập vng góc với một đường thẳng cho trước. Cũng như bài 2 liệu hai đường thẳng vng góc có mối quan hệ gì về hệ số góc khơng?

+ Ta đã biết với hai đường thẳng vng góc thì ta có thể chọn véc tơ chỉ phương của đường này là véc tơ pháp tuyến của đường kia và ngược lại.

Lời giải chi tiết. Đường thẳngvng góc với d nên phương trình đường thẳng  là 10x4y c 0. Mà  lại đi qua M 2;3 nên

20 12    c 0 c 32 . Vậy phương trình của  là 10x4y320.

Bài 2.11. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết

trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm

 1; 1 ;    1;9 ; 9;1

M   N P .

Hướng dẫn.

Ở đây tơi xin viết phương trình cạnh BC và trung trực ứng với cạnh BC

+ Đường thẳng BC đi qua M 1; 1 và nhận véc tơ PNuuur( 8;8) làm véc tơ chỉ phương. Nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC là (1;1)nr . Khi đó

phương trình của đường thẳng BC là x  y 2 0.

+ Đường trung trực của cạnh BC đi qua M 1; 1và nhận véc tơ chỉ phương của BC làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ pháp tuyến của trung trực cạnh BC là nr1;1. Phương trình trung trực của BC là   x y 0.

Tóm lại. Để viết được phương trình đường thẳng d theo hệ số góc các em học

sinh cần xác định hai điều kiện:

+ Một điểm thuộc đường thẳng d. + Hệ số góc của đường thẳng d.

Lưu ý. Hệ số góc của đường thẳng d nhiều khi đề bài sẽ không cho một cách

tường minh mà sẽ cho dưới dạng song song hoặc vng góc với một đường thẳng cho trước. Khi đó các em cần nhớ mối quan hệ về hệ số góc của hai đường thẳng song song hoặc vng góc.

2.3.4.3. Bài tập minh họa

1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k:

a)M 3; 5 , k  1; b) M2; 4 ,  k0; c) M O 0;0 ,k4. 2. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d:

a) M 2;3 ,d:4x10y 1 0; b) 2; 3 , : 1 2 3 4 x t M d y t        .

3. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng d:

a) M 2;3 ,d:4x10y 1 0; b) M1;2 , d Ox;

c)M 4;3 , d Oy.

4. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với:

a) A  2;0 , B 2; 3 ,  C 0; 1 ;  b) A  1;4 , B 3; 1 ,   C 6;2 .