Trong đó k là độ cứng của lị xo
Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên quả cầu là:
(2.52) Viết phương trình động lực học đối với quả cầu:
(2.53) Chiếu phương trình một lên chiều chuyển động, ta được
ma rv kx (2.54) Hay 2 2 d x dx m kx r dt dt (2.55) Hay 2 2 0 d x r dx k x dt m dt m (2.56) Ta đặt 2 0 k m và r 2 m (2.57) Vậy phương trình (2.56) trở thành: 2 2 0 2 2 0 d x dx x dt dt (2.58) Phương trình (2.56) được gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần.
Khi 0 thì phương trình (2.48) có nghiệm dưới dạng: 0 t os( ).
x A ec t (2.59) Đó chính là biểu thức li độ của dao động tắt dần, hằng số là tần số góc của dao động tắt dần. Công thức liên hệ giữa là:
2 2
0
(2.60)
Khi đó chu kì của dao động tắt dần là
2 2 0 2 2 T (2.61) Ta đặt AA e0 t (2.62)
Khi đó A chính là biên độ của dao động tắt dần, ta thấy A giảm dần theo thời gian theo quy luật hàm mũ
0 0 0 0 0 1 os( ) 1 os( ) t t t t t c t A e A e c t A e hay A e x A e
Nghĩa là đồ thị của x theo t là một đường cong nằm nội tiếp giữa hai đường cong A e0 t,A e0 t (hình 2.7). Về mặt lí thuyết mà nói, khi t thì biên độ A giảm đến khơng.
2.2.3.3. Dao động duy trì
a. Khái niệm
Muốn giữ cho biên độ dao động của vật khơng đổi mà khơng làm thay dổi chu kì riêng của nó, người ta dùng một hệ thống nhằm cung cấp cho nó sau mỗi chu kì một phần năng lượng đúng bằng phần năng lượng tiêu hao do ma sát. Dao
động của vật được duy trì theo cách này gọi là dao động duy trì.
b. Ví dụ.
Dao động của con lắc đồng hồ là dao động duy trì. Với loại đồng hồ cũ dùng dây cót, khi lên dây cót, ta đã tích lũy vào dây cót một thế năng nhât định. Dây cót liên hệ với quả lắc bằng một hệ thống bánh răng và những cơ cấu thích (2.63) (2.64) (2.65) (2.64) Hình 2.7. Đồ thị dao động tắt dần 0 t A e 0 t A e x t O cos A
hợp. Mỗi khi con lắc đạt tới li dộ cực đại, sau một nữa chu kì dao động, thì dây cót lại dãn ra một chút và một phần năng lượng của nó qua những cơ cấu trung gian được truyền tới quả lắc. Năng lượng đó đủ để bù lại phần năng lượng tiêu hao do ma sát. Vì vậy quả lắc đồng hồ vẫn tiếp tục dao động lâu dài với tần số và biên độ như cũ. Trong đồng hồ để bàn và đeo tay, con lắc xoắn giữ vai trò của quả lắc đồng hồ treo tường.
2.2.3.4. Dao động cưỡng bức.
Khi tác dụng ngoại lực tuần hoàn lên hệ, hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm chứng tỏ rằng trong giai đoạn đầu, dao động của hệ khá phức tạp. Nó là sự tổng hợp của hai dao động: dao động riêng tắt dần dưới tác dụng của nội lực và dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn. Sau một thời gian đủ lớn dao động tắt dần coi như khơng cịn nữa, khi đó dao động của hệ là dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn.
Dao động cưỡng bức có biên độ khơng đổi và có tần số bằng tần số của lực cưỡng bức.
Biên độ của dao động cưỡng bức không chỉ phụ thuộc vào biên độ của lực cưỡng bức mà còn phụ thuộc vào cả độ chênh lệch giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số riêng của hệ dao động. Khi tần số của lực cưỡng bức càng gần với tần số riêng của hệ thì biên độ dao động cưỡng bức càng lớn.
2.2.3.5. Cộng hưởng.
Với biên độ F0 của ngoại lực đã cho, khi khảo sát biên độ của dao động cưỡng bức, thấy rằng biên độ A của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào sự chênh lệch giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ. Khi tần số của lực cưỡng bức có giá trị gần bằng giá trị tần số riêng của hệ thì biên độ của dao động cưỡng bức càng lớn. Biên độ của dao động cưỡng bức đạt giá trị lớn nhất khi tần số của lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động.
“Hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần số f
của lực cưỡng bức tiến đến bằng tần số riềng f0 của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng”
Điều kiện xảy ra hiện tượng cộng hưởng:
f = f0. (2.66)
2.2.4. Tổng hợp dao động. Phương pháp giản đồ Fresnel: 2.2.4.1. Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. 2.2.4.1. Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Giả sử có một chất điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn tâm O, bán kính A, theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc . (hình 2.8)
Gọi P là hình chiếu của điểm M lên trục Ox trùng với đường kính của đường trịn và có góc trùng với âm O của đường trịn. Ta thấy điểm P dao động trên trục Ox quanh gốc tọa độ O. Xét dao động của điểm P trên trục Ox có đặc điểm gì.
Giả sử tại thời điểm ban đầu (t=0), điểm M ở vị trí M0, được xác định bằng góc (rad). Sau thời gian t giây, chất điểm chuyển động đến vị trí M, khi đó chất điểm quay được một góc . Tại thời điểm t vị trí của chất điểm
Hình 2.8. Hình chiếu của chuyển động trịn đều trên trục Ox là dao động điều hòa
O A M M P t
được xác định bởi góc (rad). Khi đó tọa độ xOP của điểm P có phương trình là: cos( ) xOM t (2.67) hay xAcos(t) (2.68) Trong đó A, , là các hằng số.
Vì hàm sin hay cosin là một hàm điều hòa, nên dao động của điểm P được gọi là dao động điều hòa.
Bây giờ, ta xét véc tơ gắn với chất điểm, khi chất điểm quay quanh trục Ox theo chiều dương với vận tốc góc thì cũng quay quanh trục Ox theo chiều dương với vận tốc góc . Khi đó hình chiếu của véc tơ xuống trục Ox tại thời điểm t bất kì cũng được biểu diễn bằng một dao động điều hịa giống như các phương trình (2.67) và (2.68).
2.2.4.2. Phương pháp giản đồ véctơ của Fresnel.
2.2.4.3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số
Trong thực tế ta thường gặp trường hợp một vật đồng thời tham gia nhiều dao động điều hòa cùng phương.
O 1 2 x Hình 2.9. Biểu diễn hai dao động trên giản đồ Fresnel
Nguyên tắc chung:
- Chọn trục Ox theo phương ngang
- Vẽ có góc trùng với góc tọa độ O, và có độ dài tỉ lệ với biên độ A, và hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu một góc là . quay quanh trục Ox theo chiều dương với tốc độ góc bằng tần số góc của dao động điều hịa.(Hình 2.9)
Trước hết, ta xét trường hợp một vật đồng thời tham gia hai dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số góc. Giả sử hai dao động điều hịa này có dạng:
1 1 1 2 2 2 os( ) os( ) x A c t x A c t
a. Biểu thức của dao động tổng hợp:
(2.70)
Trước hết ta chọn trục ox theo phương ngang làm gốc sau đó biểu diễn: + Dao động x1 bằng có:
- chiều dài tỉ lệ với biên độ A1 - tại thời điểm t = 0,
- quay theo chiều dương với vận tốc góc bằng + Dao động x2 bằng véc tơ có:
- chiều dài tỉ lệ với biên độ A2 - tại thời điểm t = 0:
- quay theo chiều dương với vận tốc
Sau đó, vận dụng quy tắc hình bình hành ta vẽ là tổng của hai véc tơ và . Vì hai véc tơ và quay theo chiều dương cùng với vận tốc góc nên hình bình hành OA1AA2 khơng bị biến dạng và quay theo chiều dương với tốc độ gốc . Vì tổng hình chiếu của hai véc tơ và bằng hình
1 2 O x 1x A y 2 x A Ax 1 y A 2 y A y A Hình 2.10. Tổng hợp hai dao động (2.69a) (2.69b)
chiếu của véc tơ tổng lên trục Ox, và cũng quay theo chiều dương với tần số gốc , nên véc tơ biểu diễn phương trình của dao động điều hịa tổng hợp:
Acos( t+ )
x (2.71)
Trong đó A là biên độ của dao động tổng hợp, là pha ban đầu của dao động tổng hợp (tại t = 0, )
“Vậy, dao động tổng hợp của hai dao động điều hào cùng phương, cùng tần số
là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó”.
b. Biên độ của dao động tổng hợp
Xét tam giác OA1A (hình 2.10), theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
· 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2( )( ) os ( ) ( ) 2( )( ) os( ) OA OA OA OA OA c OAA OA OA OA OA c Hay 2 2 2 1 2 2 1 2cos( 2 1) A A A A A
c. Pha ban đầu của dao động tổng hợp
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 OA OA A A sin A sin tan OA OA A cos cos y y y x x x O O A A
Ta thấy, biên độ A phụ thuộc vào các biên độ A1, A2 và vào độ lệch pha 2 1
của các dao động x1 và x2.
1 2 1 2
A A A A A
Biên độ A có giá trị nhỏ nhất Amin A1A2 khi độ lệch pha 2 1 (2n 1)
, với hai dao động ngược pha.
Biên độ A có giá trị lớn nhất Amax A1A2 khi độ lệch pha 2 1 2n
với n = 0, hai dao động cùng pha.
2.3. Phân loại bài tập chương “Dao động cơ” vật lý lớp 12 ban cơ bản
Có rất nhiều cách để phân loại bài tập vật lý. Phân loại theo nội dung kiến thức, phân loại theo các điều kiện,…. Để phục vụ cho mục đích của đề tài chúng tôi chọn phân loại bài tập theo nội dung kiến thức. Căn cứ vào đó chúng tơi xây (2.72) (2.73) (2.74)
(2.75)
dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm cho chương “Dao động cơ” lớp 12 chương trình cơ bản theo các dạng sau:
- Dạng 1: Đại cương về các đại lượng cơ bản của dao động điều hòa. - Dạng 2: Bài tập về con lắc lò xo.
- Dạng 3: Mối liên hệ giữa vật dao động điều hòa và chuyển động trịn đều (bài tốn cực trị)
- Dạng 4: Bài tập về con lắc đơn.
- Dạng 5: Bài tập về dao động tắt dần - sự tự dao động - cưỡng bức - hiện tượng cộng hưởng.
- Dạng 6: Bài tập tổng hợp dao động điều hòa. Phương pháp giản đồ Fresnel.
2.4. Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm chương “dao động cơ” vật lý 12 ban cơ bản
Đây là những câu hỏi trắc nghiệm điển hình, trọng tâm của chương “Dao động cơ” được sử dụng để dạy học sinh PT Nội Trú Đồ Sơn.
2.4.1. Để trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản được các kiến thức cơ bản
Phương trình li độ của vật dao động
điều hòa.
x = Acos( t + ).
A là biên độ có giá trị dương và là giá trị cực đại của x; đơn vị m, cm.
+ ( t + ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad. + là pha ban đầu của dao động; đơn vị rad.
+ là tần số góc; đơn vị rad/s.
+ Chu kì dao động (T); đơn vị giây (s). + Tần số dao động ( f ); đơn vị Hec (Hz). Cơng thức tính
chu kì, tần số góc,
tần số. (Hz)
, T, f chỉ phụ thuộc cấu tạo của hệ. Phương trình vận
tốc của vật dao động điều hòa.
v = x' = - Asin( t + ) = Acos( t + + )
+ Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn so với với li độ.
+ Vị trí biên (x = ± A), v = 0. + Vị trí cân bằng (x = 0), |v| = vmax = A. Phương trình gia tốc của vật dao động điều hòa. a = v' = x'' = - 2Acos( t + ) = - 2x
+ Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha so với vận tốc).
- Ở vị trí biên (x = A), gia tốc có độ lớn cực đại: amax = 2A.
- Ở vị trí cân bằng (x = 0), a = 0. Các công thức mở
rộng và liên hệ. Động năng, thế năng và cơ năng của dao động điều
hòa. Wđ = mv2 = m 2A2sin2( t + ). Wt = kx2 = kA2cos2( t + ). W = Wt + Wđ = k A2 = m 2A2 = hằng số. : :
2.4.2. Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm
2.4.2.1. Đại cương về các đại lượng cơ bản của dao động điều hòa
Bài 1: Dao động của con lắc đơn là một dao động tuần hoàn. Biết rằng mỗi phút
con lắc thực hiện được 360 dao động. Tần số dao động của con lắc là:
A. 1/6 Hz B. 6 Hz C. 60 Hz D. 120 Hz
Hướng dẫn giải:
- Biết tần số f là số dao động trong 1s. Theo đề bài 1 phút có 360 dao động. Nghĩa là tần số dao động điều hòa sẽ là:
(1) - Từ kết quả (1) học sinh có thể chọn phương án đúng (B).
Bài 2: Một vật dao động điều hịa có các đặc điểm sau:
- Khi đi qua vị trí có tọa độ cm thì vật có vận tốc cm/s. - Khi có tọa độ cm thì vật có vận tốc cm/s.
Tần số góc và biên độ của dao động điều hòa trên lần lượt là: A. rad/s, A = 10cm. B. rad/s, A = 2cm. C. rad/s, A = 20cm. D. rad/s, A = 10cm. Hướng dẫn giải: - Dựa vào hệ thức độc lập:
- Tại hai thời điểm có 2 giá trị của li độ và vận tốc, A và là những hằng số khơng đổi. Vì thế ta xây dựng được hai phương trình với hai ẩn A và
.
rad/s
= 10cm
Chọn A
Bài 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình 8cos(20 ) 3
x t (cm). Tốc độ và gia tốc cực đại của vật là:
A. 10cm/s và 160cm/s. B. 24cm/s và 1280cm/s. C. 160cm/s và 32m/s. D. 80cm/s và 16m/s. Hướng dẫn giải: - Xác định A và Áp dụng công thức: cm/s = 32m/s Chọn C
Bài 4: Một vật dao động điều hòa với li độ x = Acos( t + ) và vận tốc dao động là v = - Asin( t + ) thì:
A. Li độ sớm pha so với vận tốc B. Vận tốc sớm pha hơn li độ góc C. Vận tốc v dao động cùng pha với li độ D. Vận tốc dao động lệch pha /2 so với li độ Hướng dẫn giải:
- Giáo viên hướng dẫn học sinh các cách biến đổi lượng giác trong toán học. - So sánh pha dao động của x và v để nhận xét.
- Cách làm tương tự học sinh có thể tự lực làm bài tập khi so sánh pha dao động của gia tốc và li độ; gia tốc và vận tốc.
v = Acos( t + + ) mà x = Acos( t + ) Nhận xét: Vận tốc sớm pha so với li độ x.
Chọn D
Bài 5: Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo li độ trong dao động điều
hồ có dạng là:
A. đường parabol. B. đường tròn.
C. đường elip. D. đường hypebol.
Hướng dẫn giải:
- Từ phương trình của vận tốc v và li độ x hãy xác lập biểu thức về mối liên hệ giữa hai đại lượng này.
- Nhận xét dạng đồ thị của phương trình tìm được.
- Tương tự học sinh lập biểu thức mối liên hệ giữa các đại lượng khác và nhận xét về dạng đồ thị của các đại lượng.
Biểu thức liên hệ giữa vận tốc và li độ: