1.4 Thuật toán tối ưu đàn kiến
1.4.4 Cơ sở sự hội tụ của thuật toán
Sự hội tụ của thuật tốn ACO ngồi các kết quả được kiểm chứng bằng thực nghiệm cịn có nhiều nghiên cứu khác về các đặc tính của thuật tốn như sự ảnh hưởng của vết mùi, thời gian thực thi, độ hội tụ, độ bất biến đối với những biến đổi của hàm mục tiêu của thuật tốn. Có rất nhiều các tham số được sử dụng trong các thuật toán ACO [23, 36, 39, 68,82]. Trong đó, quan trọng nhất là quy
tắc cập nhật vết mùi và tham số bay hơi. Khi bài tốn khơng có các thơng tin heuristic (β = 0), việc cập nhật mùi của đàn kiến sẽ được dịch từ mẫu lời giải
khởi tạo và mẫu đang xét trong khơng gian tìm kiếm. Q trình thăm dị khơng gian tìm kiếm sẽ được kết hợp trong phần khởi tạo của thuật tốn làm giảm các tính tốn phụ. Việc lựa chọn các các tham số α, β sẽ xác định sự ảnh hưởng của vệt mật độ mùi và thông tin tri thức. Nếu α > 0, α càng lớn việc khai thác các kinh nghiệm tìm kiếm càng chắc chắn. Ngược lại nếu α = 0 các vệt mật độ mùi không ảnh hưởng đến q trình cấu trúc lời giải cịn α < 0 hầu hết các lựa chọn có thể thực hiện bởi đàn kiến có độ mong muốn thấp hơn từ khía cạnh vệt mật độ mùi. Do đó các thay đổi của α có thể được sử dụng để dịch chuyển từ việc thăm dò sang khai thác hay ngược lại. Tham số β xác định độ ảnh hưởng của thông tin tri thức theo cách tương tự trên [36,39, 84].
Năm 2000, W.J Gutjahr đã chứng minh được tính hội tụ của thuật toán MMAS trong một số điều kiện nhất định MMAS hội tụ tới một lời giải tối ưu với độ chính xác tùy ý nhưng chưa xét đến việc sử dụng thông tin heuristic [44]. Ký hiệu P(t) là xác suất tìm thấy lời giải của thuật tốn MMAS trong vịng t phép lặp,w(t)là lời giải tốt nhất ở bước lặpt. Gutjahr sử dụng mơ hình Markov khơng thuần nhất và đã chứng minh rằng với xác suất bằng 1 ta có:
lim
t→∞w(t) =w∗, lim
t→∞P(t) = 1 lim
t→∞τij =τmax với mọi cạnh (i,j) thuộc lời giải tối ưu
Mơ hình này của Gutjahr khơng áp dụng được cho ACS. Tuy nhiên chưa có một ứng dụng cụ thể nào trên thực tế nên kết quả thuần túy chỉ có ý nghĩa lý thuyết.
Năm 2002, M. Dorigo v T. Stăutzle ó chứng minh được tính hội tụ của thuật tốn MMAS và ASC [83]. Khi MMAS khụng s dng thụng tin heuristic, Stăutzle và Dorigo đã chứng minh rằng: ∀ > 0,∃t đủ lớn P(t)> 1− do đó lim
t→∞P(t) = 1.
Kết quả này cũng đúng cho ACS. Với giả thiết tìm được lời giải tối ưu sau hu hn bc, Stăutzle và Dorigo suy ra rằng vết mùi của các cạnh thuộc lời giải tối ưu tìm được sẽ hội tụ đến τmax, cịn vết mùi trên các cạnh khơng thuộc lời giải sẽ hội tụ về τmin hoặc τ0. Năm 2008, Plelegrini và Elloro chỉ ra rằng sau một thời gian chạy, đa số vết mùi trên cạnh trở nên bé và chỉ có số ít cạnh có giá trị vết mùi là lớn vượt trội [76]. Đây là cơ sở lý thuyết vững vàng và mở ra một loạt các nghiên cứu đầy hứa hẹn của ACO. Để ước lượng xác suất tìm thấy một phương án ở bước
lặp t và đánh giá sự thay đổi của vết mùi, ta gọig là một hàm thực, xác định trên S sao cho ∀s ∈ S : 0<g(s)<∞ và g(s)>g(s0) nếu f(s)<f(s0). Ký hiệu w(t)
là lời giải tốt nhất đàn kiến tìm được đến lần lặp thứt vàwi(t)là lời giải tốt nhất trong bước lặp thứ t. Nếuwi(t) không tốt hơn w(t−1)thì w(t) = w(t−1). Ta có
thể chứng minh được các khẳng định sau là đúng.
Mệnh đề 1.1. Các khẳng định sau là đúng.
(a) Bài tốn tổng qt có lời giải tối ưu.
(b) Với mỗi kết quả thực nghiệm, các giá trịf(w(t)) hội tụ khit → ∞
(c) Gọi S∗ là tập lời giải của bài toán, g∗ (g∗ =f(s) : s ∈ S∗) là giá trị tối ưu thì với mọi cạnh (i,j)∈E của đồ thị G = (I,J,E)ta có đánh giá sau:
0< τmin =min{τ0, τ1,g(w(1))} ≤τi,j ≤max{τ0, τ1,g(w(1))}=τmax (1.8)
Chứng minh: Khẳng định (a) là hiển nhiên vì tậpS hữu hạn nên luôn tồn tại phương án tối ưuX∗ với giá trị tối ưu làf∗. Khẳng định (b) suy từ tính đơn điệu giảm của dãy f(w(t)) và dãy này bị chặn bởi g∗.
Khẳng định (c) dễ dàng chứng minh nhờ quy nạp theo t. Ta có ở mỗi lần cập nhật mùi, cường độ vết mùi của các cạnh (i,j) được cập nhật theo quy tắc
τi,j ←(1−ρ)τi,j+ρ∆τi,j, trong đóτmin ≤τi,j,∆τi,j ≤τmax. Giả sửτ1 <g(w(t))∀t thì τmax =g∗.
Ký hiệu ps(t) là xác suất đểm con kiến tìm được lời giải s ở bước lặp t thỏa mãn ∀s ∈S. Ước lượng xác suất tìm thấy lời giải [83] được phát biểu như sau:
Định lí 1.1 (Ước lượng xác suất tìm thấy phương án). ∀s ∈S và∀t, ta ln có:
ps(t)≥pmin >0 (1.9)
trong đó pmin = 1−exp(−mk∗hτhα min nhτhα
max ) với k∗(i) = min{hi,jhi,k : j,k ∈ V} là hệ số lệch heuristic của đỉnh i, k∗ =min{k∗(i) : i ∈ V} là hệ số lệch heuristic của bài toán và V là tập các đỉnh của phương án.
Kí hiệu P(t) là xác suất tìm được lời giải trong t bước lặp (hay w(t) ∈S∗). Định lý về đảm bảo tính hội tụ của thuật tốn [83] được phát biểu như sau:
Định lí 1.2. Với mọi >0 bé tuỳ ý, tồn tại T sao cho ∀t >T, ta ln có:
P(t)>1− (1.10)
Định lí 1.3 (Sự hội tụ của τi,j(t) của quy tắc cập nhật mùi ACS). Giả sử cạnh
(i,j)thuộc vào lời giải chấp nhận đượcs nào đó và tồn tạiT sao cho (i,j)6∈w(t)
với t ≥ T thì τi,j(t) hội tụ theo xác suất tới τ1 khi ta sử dụng quy tắc cập nhật mùi ACS.
Định lí 1.4 (Đánh giá giới hạn vết mùi của ACS [83]). Với qui tắc cập nhật mùi của ACS, giả sử cạnh (i,j)∈w(t),∀t ≥T, ta ln có:
lim
t→∞τi,j (t)≥τ1+ρg(w(T))−τ1
1−(1−ρ)m+1 (1.11)
Như vậy, khi áp dụng thuật toán ACO cho các bài tốn cụ thể, có 3 yếu tố ảnh hưởng quyết định đến hiệu quả của thuật toán là:
1. Xây dựng cấu trúc đồ thị thích hợp: Việc xây dựng đồ thịG có cấu trúc để tìm lời giải cho bài tốn nhỏ một cách tuần tự khơng khó nhưng là một vấn đề với các bài tốn có kích thước lớn. Khi đó khơng gian tìm kiếm rộng địi hỏi ta phải sử dụng các ràng buộc Ω một cách hợp lý để thu hẹp phạm vi tìm kiếm.
2. Lựa chọn thơng tin Heuristic: Nếu thơng tin Heuristic được chọn tốt sẽ làm tăng hiệu quả của thuật toán. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán chúng ta khơng có thơng tin này thì có thể xem chúng có những giá trị giống nhau. Khi đó thuật tốn chỉ đơn thuần thực hiện theo phương thức tìm kiếm ngẫu nhiên, các vết mùi thể hiện định hướng của học tăng cường và thuật toán vẫn thực hiện được.
3. Chọn quy tắc cập nhật mùi: Đây là chiến lược học của thuật toán, đồ thị G và thông tin Heuristic phụ thuộc vào bài toán cụ thể nhưng quy tắc cập nhật mùi lại là yếu tố tùy biến đặc trưng cho thuật toán và ảnh hưởng lớn tới thủ tục tìm kiếm lời giải.
Hai yếu tố đầu phụ thuộc vào từng bài tốn cụ thể, cịn yếu tố thứ ba có nhiều đề xuất và nghiên cứu cải tiến, nhưng vẫn cịn có thể được nghiên cứu sâu hơn nhằm đưa ra các cải tiến hiệu quả [2]. Tương tự, để chứng minh sự hội tụ của các thuật tốn MMAS ta sẽ ước lượng xác suất tìm thấy một phương án ở bước lặp t và đánh giá sự thay đổi của vết mùi.
Định lí 1.5 (Sự hội tụ của τi,j(t) của quy tắc cập nhật mùi MMAS [76]). Giả sử cạnh (i,j) thuộc vào lời giải chấp nhận được s nào đó của MMAS và tồn tại T sao cho (i,j)6∈w(t)với t ≥T thì τi,j(t) = τ1,∀t >T+ ln
τ1
g∗ ln(1−ρ).
Định lí 1.6 (Đánh giá giới hạn vết mùi của MMAS [76]). Với qui tắc cập nhật mùi của MMAS, giả sử cạnh(i,j)∈w(t),∀t ≥T, ta ln có:
lim
t→∞τi,j (t)≥g(w(T)) (1.12)
Các lĩnh vực nghiên cứu của thuật toán ACO rất rộng tập trung vào các thuộc tính của thuật tốn cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Về lý thuyết các nghiên cứu hướng tới việc mở rộng phạm vi kết quả của các lý thuyết đã tồn tại hoặc tìm một ra nguyên lý để cài đặt các giá trị tham số [36]. Về thực nghiệm, hầu hết các
nghiên cứu tìm cách mở rộng số lượng các bài tốn có thể áp dụng thành cơng cách phân tích và tìm kiếm lời giải theo thuật tốn ACO. Hiện nay, đa số các bài toán sử dụng thuật toán ACO là các bài toán tĩnh và các bài toán tối ưu tổ hợp đã được định nghĩa là các bài toán mà các thơng tin cần thiết đều có sẵn và khơng đổi trong q trình xây dựng lời giải. Tuy nhiên, thuật tốn ACO cũng đã được áp dụng thành cơng với các bài tốn có cấu trúc động chứa các thơng tin có tính thay đổi cao như bài tốn định tuyến mạng. Các lớp bài toán đã được giải quyết bằng thuật toán ACO gồm: lập lịch, định tuyến, gán nhãn, tập con, phân lớp, xử lý ảnh, khai phá dữ liệu, học máy [82, 84]...