C. Ngõn hàng cõu hỏ
3.3.1 Dao động tự do của cụng trỡnh
Tỏc dụng vào hệ một xung lực ban đầu, hệ sẽ dao động theo phương ngang và tại thời điểm bất kỳ cỏc khối lượng m1, m2…mn sẽ thực hiện cỏc chuyển vị x1(t), x2(t)…xn(t) n(t) k(t) 2(t) mn mk m 2 m 1 Rnk(t) Rkk(t) R1k(t) R2k(t) Fkqt k mn mk m 2 m 1 n(t) k(t) 2(t)
Giả sử cho tất cả cỏc khối lượng mk (k = 1,2…n) chịu liờn kết theo phương bậc tự do, rồi lần lượt giải phúng liờn kết thứ k và cho mk chuyển vị xk(t) sinh ra, cũn tại k sẽ xuất hiện lực quỏn tớnh:
(3.12)
Phản lực toàn phần tại liờn kết k là:
(3.13)
Rkj là phản lực tại liờn kết k do chuyển vị tại liờn kết j gõy ra Rkj là phản lực tại liờn kết k khi cho liờn kết j chuyển vị 1 đơn vị Cú
Thay vào biểu thức (3.13) ta cú :
(3.14)
Do hệ chuyển động theo phương ngang nờn Rk=0 nờn ta cú:
(3.15)
[K] - ma trận độ cứng {x} - ma trận cột chuyển vị
- ma trận cột gia tốc
Nghiệm của (3.16) được cho dưới dạng :
(3.17)
Với A là ma trận biờn độ dao động riờng:
Thay (3.17) và đạo hàm cấp 2 của nú theo thời gian vào (3.16) ta cú phương trỡnh tần số dao động riờng của cụng trỡnh:
(3.18)
Giải phương trỡnh (3.18) ta sẽ cú n nghiệm với (i=1,2…,n) Chu kỳ dao động riờng
Ứng với tần số dao động riờng cụng trỡnh sẽ thực hiện một dạng dao động riờng và gọi là dạng dao động chớnh thứ i. Một cụng trỡnh cú n bậc tự do sẽ cú n tần số dao động riờng và tương ứng sẽ cú n dạng dao động chớnh.
Để xỏc định dạng dao động chớnh thứ i ta thay vừa tỡm được vào pt (3.18)
(3.19)
biờn độ dao động trong dạng chớnh thứ i Ký hiệu:
Thỡ phương trỡnh trờn được viết lại như sau:
(3.20)
Với:
Giả sử trong cụng trỡnh cú sức cản nhớt tỉ lệ bậc nhất với vận tốc, phương trỡnh dao động sẽ cú dạng:
(3.21)
Để đơn giản trong tớnh toỏn, thường giả thiết ma trận cản nhớt [C] tỉ lệ với ma trận độ cứng [K] qua biểu thức:
Hay tỉ lệ với khối lượng:
Trong đú:
a : hằng số nào đú
: yếu tố cản tới hạn trong dao động chớnh thứ i