bằng
Trước khi nghiên cứu sự ổn định của nghiệm dương của phương trình (2.38) ta phát biểu bổ đề sau sẽ được sử dụng trong phần chứng minh kết quả chính.
Bổ đề 2.1. Giả sử {xn}∞n=−3 là nghiệm dương của phương trình (2.38).
Khi đó, các khẳng định sau là đúng với n≥ 0:
(a) (xn+1 −1)(xn−3 −1) ≥ 0. (b) (xn+1 −xn−3)(xn−3 −1) ≤ 0. Chứng minh. Từ phương trình (2.38), ta có: xn+1−1 = (xn−3 −1)g(xn, xn−1, xn−2, xn−3)xαn−3 g(xn, xn−1, xn−2, xn−3)xαn−3 +f(xn, xn−1, xn−2, xn−3), và xn+1−xn−3 = (1−xn−3)f(xn, xn−1, xn−2, xn−3) g(xn, xn−1, xn−2, xn−3)xαn−3 +f(xn, xn−1, xn−2, xn−3).
Với giả thiết các hàm f, g là không âm, ta suy ra
(xn+1 −1)(xn−3 −1) ≥ 0,
và
(xn+1−xn−3)(xn−3 −1) ≤ 0.
Bổ đề được chứng minh.
Sau đây ta sẽ trình bày kết quả chính của phần này.
Định lý 2.7. Giả sử rằng α ∈ [0,∞), f, g : (0,∞)4 →(0,∞) là hai hàm dương và khả vi. Khi đó, điểm cân bằng của phương trình (2.38) là ổn định tiệm cận tồn cục.
Chứng minh. Ta phải chứng minh rằng điểm cân bằng x¯ = 1của phương trình (2.38) là ổn định tiệm cận địa phương và hút tồn cục.
Phương trình tuyến tính hóa của phương trình (2.38) xung quanh điểm cân bằng x¯= 1 là
yn+1 = 0.yn + 0.yn−1 + 0.yn−2 + g(¯x,x,¯ x,¯ x)¯
g(¯x,x,¯ x,¯ x) +¯ f(¯x,x,¯ x,¯ x)¯ yn−3,
n = 0,1, ....
(2.39)
Theo Định lý 1.2, mọi nghiệm của phương trình (2.39) có mơđun bé hơn 1. Theo Định lý 1.1, điểm cân bằng x¯ là ổn định tiệm cận địa phương. Ta còn phải chỉ ra rằng mọi nghiệm dương {xn}∞n=−3 của phương trình (2.38) hội tụ tới x¯= 1 khi n→ ∞. Cụ thể, ta cần chứng minh
lim
n→∞xn = ¯x = 1. (2.40) Từ Bổ đề 2.1, ta suy ra xn+1 −1, xn−3 −1, xn−3 −xn+1 cùng ≥ 0 hoặc cùng ≤ 0. Do vậy, với mọi giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1, x0, ta có dãy
{x4n+k}∞
n=0, k = 0,1,2,3 là dãy đơn điệu và bị chặn dưới bởi 0.
Mặt khác, nếu dãy {x4n+k}∞n=0, k = 0,1,2,3 là dãy tăng thì từ Bổ đề 2.1 b), ta suy ra
x4n+k ≤ 1, k = 0,1,2,3 với n ≥0.
Từ Bổ đề 2.1 a), ta có x4(n+1)+k ≤ 1, k = 0,1,2,3 với n≥ 0.Do đó, nó bị chặn trên bởi 1. Tương tự, nếu dãy {x4n+k}∞n=0, k = 0,1,2,3 là dãy giảm thì nó bị chặn dưới bởi 1. Vì vậy, ta suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
Chú ý rằng x4n+3 = g(x4n+2, x4n+1, x4n, x4n−1)x α+1 4n−1 +f(x4n+2, x4n+1, x4n, x4n−1) g(x4n+2, x4n+1, x4n, x4n−1)xα4n−1 +f(x4n+2, x4n+1, x4n, x4n−1), n= 0,1,2, .... (2.41) x4n+2 = g(x4n+1, x4n, x4n−1, x4n−2)x α+1 4n−2 +f(x4n+1, x4n, x4n−1, x4n−2) g(x4n+1, x4n, x4n−1, x4n−2)xα4n−2 +f(x4n+1, x4n, x4n−1, x4n−2), n= 0,1,2, .... (2.42) x4n+1 = g(x4n, x4n−1, x4n−2, x4n−3)x α+1 4n−3 +f(x4n, x4n−1, x4n−2, x4n−3) g(x4n, x4n−1, x4n−2, x4n−3)xα 4n−3 +f(x4n, x4n−1, x4n−2, x4n−3), n= 0,1,2, .... (2.43) x4n = g(x4n−1, x4n−2, x4n−3, x4n−4)x α+1 4n−4 +f(x4n−1, x4n−2, x4n−3, x4n−4) g(x4n−1, x4n−2, x4n−3, x4n−4)xα4n−4 +f(x4n−1, x4n−2, x4n−3, x4n−4), n = 0,1,2, .... (2.44) Lấy giới hạn hai vế các đẳng thức từ (2.41) - (2.44), ta được
a3 = g(a2, a1, a0, a3)a α+1 3 + f(a2, a1, a0, a3) g(a2, a1, a0, a3)aα 3 +f(a2, a1, a0, a3) , a2 = g(a1, a0, a3, a2)a α+1 2 + f(a1, a0, a3, a2) g(a1, a0, a3, a2)aα2 +f(a1, a0, a3, a2) , a1 = g(a0, a3, a2, a1)a α+1 1 + f(a0, a3, a2, a1) g(a0, a3, a2, a1)aα1 +f(a0, a3, a2, a1) , a0 = g(a3, a2, a1, a0)a α+1 0 + f(a3, a2, a1, a0)
g(a3, a2, a1, a0)aα0 +f(a3, a2, a1, a0) .
Từ đó, ta suy ra ak = 1, k = 0,1,2,3.
2.3.3 Ví dụ minh họa
Trong mục này, chúng ta xét một vài ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết. Hình ảnh đồ thị của các phương trình được chạy trên phần mền MATLAB R2016a. Ví dụ 2.1. Với α = 0 và các hàm g(xn, xn−1, xn−2, xn−3) =xnxn−1, f(xn, xn−1, xn−2, xn−3) = xn+xn−1 +xn−3. Phương trình (2.38) có dạng xn+1 = xnxn−1xn−3 +xn+ xn−1 +xn−3 xnxn−1 + xn+xn−1 +xn−3 . (2.45)
Dễ thấy f, g là các hàm dương khả vi nên điều kiện của Định lý 2.7 được thỏa mãn. Do đó, điểm cân bằng x¯ = 1 của phương trình (2.45) là ổn định tiệm cận toàn cục với mọi giá trị ban đầu. Đồ thị của nghiệm
xn của phương trình (2.45) với các giá trị ban đầu khác nhau được biểu diễn trong Hình 2.1, Hình 2.2 và Hình 2.3.
Hình 2.1: Đồ thị của nghiệm xn của phương trình (2.45) với x−3 = 1.5, x−2 = 0.2, x−1 = 2 và x0 = 0.5.
Hình 2.2: Đồ thị của nghiệm xn của phương trình (2.45) với x−3 = 0.1, x−2 = 3, x−1 = 0.3 và x0 = 4.
Hình 2.3: Đồ thị của nghiệm xn của phương trình (2.45) với x−3 = 5, x−2 = 1.2, x−1 = 3 và x0 = 0.1. Ví dụ 2.2. Với α = 2 và các hàm g(xn, xn−1, xn−2, xn−3) = xn−2 + 1, f(xn, xn−1, xn−2, xn−3) =xnxn−1. Phương trình (2.38) có dạng xn+1 = (xn−2 + 1)x 3 n−3 +xnxn−1 (xn−2 + 1)x2 n−3 +xnxn−1. (2.46)
Ta thấy các hàm f, g thỏa mãn Định lý 2.7 nên điểm cân bằng x¯ = 1
của phương trình (2.46) là ổn định tiệm cận toàn cục với mọi giá trị ban đầu. Đồ thị của nghiệm xn của phương trình (2.46) với các giá trị ban đầu khác nhau được biểu diễn các trong Hình 2.4 và Hình 2.5.
Hình 2.4: Đồ thị của nghiệm xn của phương trình (2.46) với x−3 = 2.4, x−2 = 1.9, x−1 = 1.4 và x0 = 0.9.
Hình 2.5: Đồ thị của nghiệm xn của phương trình (2.46) với x−3 = 0.001, x−2 = 3.9, x−1 = 0.4 và x0 = 2.9.
Kết luận Chương 2
Nội dung của chương này nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của nghiệm của các lớp phương trình (2.1), (2.2) và (2.38). Đồng thời nghiên cứu dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình (2.25). Chúng tơi thu được một số kết quả chính như sau:
1. Chỉ ra được tính ổn định tiệm cận địa phương của điểm cân bằng của các lớp phương trình (2.1) và (2.2).
2. Xây dựng được công thức tiệm cận của nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên của phương trình sai phân cấp ba dạng phân thức (2.25). Kỹ thuật ở đây là dùng phương trình vi phân để tìm dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình sai phân. Điều này khá thú vị vì thơng thường, người ta dùng phương trình sai phân để nghiên cứu phương trình vi phân. Hơn nữa, dạng tiệm cận của nghiệm thu được có các nhân tử chứa hàm loga, khác với dạng tiệm cận của nghiệm mà TS. Mai Nam Phong [1] đã đưa ra trong Luận án của mình.
3. Chứng minh được sự ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng của lớp phương trình sai phân cấp bốn dạng phân thức (2.38). Đây là một lớp phương trình khá tổng qt vì có thể áp dụng cho một lớp hàm
f, g bất kỳ khả vi. Cuối cùng đưa ra 2 ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết với đồ thị vẽ bằng phần mềm Matlab.
Chương 3
Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của một số hệ phương trình sai phân dạng phân thức
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu hệ phương trình sai phân dạng phân thức thu hút sự chú ý của nhiều nhà tốn học, có thể xem trong [27, 28, 29, 68]. Một trong các lý do cho việc quan tâm đó là sự cần thiết phải đưa ra một số kỹ thuật được dùng để nghiên cứu các hệ phương trình nảy sinh từ các mơ hình tốn học mơ tả các tình huống cuộc sống trong sinh học, kinh tế, lý thuyết xác suất, di truyền học, tâm lý học, ... Mặc dù các hệ phương trình có dạng đơn giản nhưng thường gặp khó khăn khi nghiên cứu dáng điệu của nghiệm và thảo luận về sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của chúng.
Để làm phong phú thêm lý thuyết định tính về hệ phương trình sai phân, trong chương này chúng tôi đề xuất nghiên cứu thêm một số lớp hệ phương trình sai phân dạng phân thức. Mục 3.1 nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của nghiệm của lớp hệ phương trình sai phân cấp một dạng phân thức. Mục 3.2 nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của nghiệm của lớp hệ phương trình sai phân cấp hai dạng phân thức. Cuối mỗi phần chúng tôi sử dụng phần mềm MATLAB R2016a để vẽ đồ thị một vài ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết của các hệ phương trình đó.
3.1 Sự ổn định tiệm cận của nghiệm của hệ phương trình sai phân cấp một dạng phân thức
3.1.1 Đặt bài tốn
Trong [63], El-Metwally và các đồng tác giả đã nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận, tính tuần hồn của nghiệm dương và sự ổn định của điểm cân bằng của phương trình sai phân
xn+1 = α+βxn−1e−xn, (3.1) trong đó α, β là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x−1, x0 là các số dương.
tồn cục của phương trình sai phân
xn+1 = α−βxn
γ+ xn−1, (3.2)
trong đó các hệ số α, β, γ là không âm và các giá trị ban đầu x−1, x0 là tùy ý.
Trong [66], xuất phát từ các kết quả đối với các dạng phương trình (3.1) và (3.2), Ozturk và các đồng tác giả đã nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận, tính tuần hồn và sự ổn định của nghiệm dương của phương trình sai phân
yn+1 = α+ βe −yn
γ+ yn−1 ,
trong đó α, β, γ là các hằng số dương và các giá trị ban đầu y−1, y0 là các số dương.
Dựa trên nghiên cứu đó, trong phần này, chúng tơi mở rộng nghiên cứu tính bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm dương của lớp hệ phương trình sai phân dạng phân thức sau
xn+1 = α1 +β1e −yn
a1 +b1xn , yn+1 =
α2 +β2e−xn
a2 +b2yn , (3.3)
trong đó các tham số αi, βi, ai, bi với i ∈ {1,2} và các giá trị ban đầu
x0, y0 là các số thực dương.
Kết quả của phần này được viết trên cơ sở kết quả của bài báo số [6] trong Danh mục các cơng trình khoa học đã cơng bố của luận án.