2.2 Dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình sai phân cấp
2.2.1 Đặt vấn đề và khái niệm mở đầu
Trong [14], L. Berg đã chỉ ra tồn tại nghiệm hội tụ về khơng của phương trình sai phân
xn+1 = xn−1
1 +xn, n = 0,1,2, ...,
với các giá trị ban đầu x−2, x−1 ∈ (0,∞).
Trong [17], L. Berg đã nghiên cứu phương trình sai phân
xn = xn−3
1 +xn−1xn−2, n = 0,1,2, ..., (2.24)
với các giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1 ∈ (0,∞). Tác giả đã chỉ ra tồn tại nghiệm của phương trình (2.24) hội tụ về khơng khi n → ∞ và xác định dạng tiệm cận của nó.
Dựa trên phương pháp tiệm cận của L. Berg, trong phần này, chúng tơi mở rộng nghiên cứu phương trình sai phân cấp ba dạng phân thức
sau đây
xn = xn−3 −(xn +xn−1)3
1 +xnxn−1 + xnxn−2 +xn−1xn−2, n = 0,1,2, ..., (2.25)
trong đó các giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1 ∈ (0,∞).
Điểm cân bằng của phương trình (2.25) là x = 0. Chúng tơi sẽ chỉ ra
dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình (2.25) hội tụ về điểm cân bằng x khi n → ∞.
Kết quả của phần này được viết trên cơ sở kết quả của bài báo số [1] trong Danh mục các cơng trình khoa học đã cơng bố của luận án.
Định lý sau đây là cơ sở để chứng minh các kết quả chính của phần này.
Định lý 2.5. (xem [79]) Giả sử f : Rk+1 → R là hàm khả vi liên tục không giảm theo mỗi biến; giả sử {yn}, {zn} là hai dãy sao cho yn < zn, ∀n≥ n0. Hơn nữa, giả sử rằng
yn−k ≤ f(yn, yn−1, ..., yn−k+1), f(zn, zn−1, ..., zn−k+1) ≤ zn−k, (2.26)
với n ≥ n0 +k −1.
Khi đó, phương trình sai phân
xn−k = f(xn, xn−1, ..., xn−k+1) (2.27)
có nghiệm {xn} thỏa mãn
yn ≤xn ≤ zn, ∀n ≥n0.
Định lý 2.5 được áp dụng như sau. Giả sử các hàm φ1, φ2, ... là thang tiệm cận khi n → ∞, tức là
(xem [13]) và tìm dạng tiệm cận
xn(a) = φ0 +a1φ1 +· · ·+aN−1φN−1 + aφN +o(φN),
với N cố định. Giả sử F(xn−k, ..., xn+1) = f(xn−k+1, ..., xn+1)−xn−k và F(xn−k, ..., xn+1) ∼ (aN −a)Φn, trong đó Φn > 0. Khi đó, ta dùng Định lý 2.5 với
yn = xn(a) khi a < aN, zn = xn(a) khi a > aN,
và xn = xn(aN) là dạng tiệm cận của nghiệmxn của phương trình (2.27).