Trong mục này, chúng tơi đưa ra các ví dụ biểu diễn các dạng khác nhau của dáng điệu tiệm cận của điểm cân bằng dương của hệ phương trình (3.3). Ví dụ 3.1. Cho α1 = 0.1, β1 = 90, a1 = 45, b1 = 9, α2 = 0.1, β2 = 2, a2 = 5 và b2 = 2. Khi đó, hệ phương trình (3.3) có dạng xn+1 = 0.1 + 90e −yn 45 + 9xn , yn+1 = 0.1 + 2e−xn 5 + 2yn . (3.19)
Điểm cân bằng dương duy nhất của hệ phương trình (3.19) là
(x, y) = (1.396890,0.113769).
Kiểm tra thấy rằng, điều kiện (3.9) thỏa mãn. Mặt khác, thay các hệ số vào điều kiện (3.14), ta được 0.796969 < 1 nên điểm cân bằng (x, y) là ổn định tiệm cận tồn cục với mọi giá trị ban đầu. Trong Hình 3.1 và Hình 3.2, cho ta thấy rõ hơn tính ổn định tiệm cận tồn cục của điểm cân bằng.
(a) Đồ thị của nghiệmxn của hệ (3.19)
(b) Đồ thị của nghiệmyn của hệ (3.19)
(c) Điểm hút của hệ (3.19)
(a) Đồ thị của nghiệmxn của hệ (3.19)
(b) Đồ thị của nghiệmyn của hệ (3.19)
(c) Điểm hút của hệ (3.19)
Ví dụ 3.2. Cho α1 = 66, β1 = 35, a1 = 1.7, b1 = 80, α2 = 23.8, β2 = 350, a2 = 55 và b2 = 14. Khi đó, hệ phương trình (3.3) có dạng xn+1 = 66 + 35e −yn 1.7 + 80xn , yn+1 = 23.8 + 350e−xn 55 + 14yn , (3.20)
với các giá trị ban đầu x0 = 1.3 và y0 = 0.6.
Hệ phương trình (3.20) có điểm cân bằng dương duy nhất là
(x, y) = (0.930991,1,961589).
Tuy nhiên, ta thấy ngay điều kiện (3.9) không thỏa mãn. Hơn nữa, thay các hệ số vào điều kiện (3.14), ta được 4568.026976 > 1 nên điểm cân bằng (x, y) là khơng ổn định. Trong Hình 3.3, ta sẽ thấy rõ hơn nghiệm của hệ phương trình (3.20) khơng hội tụ về điểm cân bằng.
(a) Đồ thị củaxn của hệ (3.20)
(b) Đồ thị củayn của hệ (3.20)
(c) Bức tranh pha của hệ (3.20)