Giả sử k là một trường, và G là một k-lược đồ nhóm affine. Nếu G là trơn, tức làG là nhóm đại số tuyến tính thơng thường (theo [9], [24]), ta có thể định nghĩa đối đồng điều GaloisH1(k,G)như ở mục trước. Tuy nhiên, khiG khơng là trơn thì định nghĩa đối đồng điều Galois khơng phù hợp vì, đối đồng điều Galois lúc này không thỏa mãn một điều kiện cơ bản của lý thuyết đối đồng điều: đưa dãy khớp ngắn thành dãy khớp dài trên đối đồng điều. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau. Cho dãy khớp các lược đồk-nhóm:
(∗) 1 → αp → Ga x7→x
p
−→ Ga →1,
đó,αp(ks) = 1và H1(Gal(ks/k), αp(ks))là tầm thường. Ta xét tập các đối đồng điều Galois liên kết với dãy khớp(∗) nói trên
1 → αp(k) → k x7→x
p
−→ k → H1(Gal(ks/k), αp(ks)) = 1. Vì ánh xạ k x7→x
p
−→ k khơng là tồn ánh khi trườngk khơng hồn thiện, nên dãy này không là khớp.
Như vậy, ta cần một lý thuyết đối đồng điều tổng quát hơn cho trường hợp lược đồ nhóm. Đó là khái niệm đối đồng điều phẳng mà ta sẽ xét ở đây. Chúng tơi trình bày các khái niệm này theo các tài liệu ([42], [43], [52]).
ChoG là một lược đồ k-nhóm affine. Ta xem G : A 7→ G(A), Alà k-đại số, như một hàm tử biểu diễn được (bởi một k-đại số giao hoán) từ phạm trù các k-đại số sang phạm trù các nhóm. Cho K/k là một mở rộng đại số (không nhất thiết tách được), K ⊆ k. Đặt¯ H0
f l(k,G) = H0(¯k/k,G) = G(k). Ta có các ánh xạ
d10 : K → K ⊗k K,a 7→ 1⊗a, d11 : K → K ⊗k K,a 7→ a⊗1, và các ánh xạ từ K⊗kK vàoK ⊗k K ⊗k K được cho như sau:
d02 : a⊗b 7→ 1⊗a⊗b, d12 : a⊗b 7→ a⊗1⊗b, d22 : a⊗b 7→ a⊗b⊗1. Chúng cảm sinh các ánh xạ (vẫn ký hiệu là dij) di1 : G(K) → G(K ⊗k K) và d2i : G(K ⊗k K) →G(K ⊗k K ⊗k K). Ta định nghĩa tập các1-đối xích là Z1(K/k,G) = {g ∈ G(K⊗kK)|d21(g) = d02(g)d22(g)}.
Định nghĩa 1.4.1 ([52, Chap. 17, Sec. 17.7, pp. 136-137]). Ta nói hai 1-đối xích g,g0 là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại h ∈ G(K) sao cho g0 = (d10h)g(d11h)−1. Đây là một quan hệ tương đương trên Z1(K/k,G) và tập các lớp tương đương ký hiệu là H1f l(K/k,G), và được gọi là đối đồng điều phẳng ứng với mở rộng K/k. Ta định nghĩa H1f l(k,G) = H1f l(¯k/k,G), và gọi H1f l(k,G) là đối đồng điều phẳng của lược đồ nhómG.
Thế thì,
H1f l(k,G)= lim
−−→H1f l(K/k,G),
trong đó, giới hạn được lấy trên tất cả các mở rộng hữu hạn (không nhất thiết Galois) K/k, K ⊆ k. Tập này là tập với phần tử được đánh dấu là lớp tương đương của¯ 1-đối xích hằng với giá trị1.
Trong trường hợpG là giao hốn, ta có thể định nghĩa các nhóm đối đồng điều phẳng Hqf l(k,G) ở bậc cao (xem [27], [42], [43]). Định lý sau đây cho mối liên hệ giữa đối đồng điều phẳng và đối đồng điều Galois trong một số trường hợp.
Định lý 1.4.2([52, Theorem 17.7, 17.8, pp. 136-138; Sec. 18.5, Corollary, p. 144]).
Với những định nghĩa trên, ta có các khẳng định sau:
1) ChoG là một lược đồ k-nhóm affine, và L/k là một mở rộng Galois. Khi đó,
H1f l(L/k,G) H1(Gal(L/k),G(L)). 2) ChoG là một lược đồ k-nhóm affine trơn. Khi đó,
H1f l(¯k/k,G) H1(Gal(ks/k),G(ks)).
Các kết quả cơ bản của đối đồng điều Galois cũng đúng cho đối đồng điều phẳng.
Định lý 1.4.3([52, Chap. 18, Sec. 18.1, pp. 140-141]). Cho1 → N → F → G → 1
là một dãy khớp các lược đồ k-nhóm affine. Khi đó, ta có ánh xạ nối G(k) →
H1f l(¯k/k,N)sao cho
1 → N(k) → F(k) →G(k) → H1f l(¯k/k,N)→ H1f l(¯k/k,F) → H1f l(¯k/k,G)
là một dãy khớp dài các tập với phần tử được đánh dấu. Hơn nữa, khiG giao hốn thì các ánh xạ trên là đồng cấu.
Trong trường hợp N nằm trong tâm của F, thìH2f l(¯k/k,N)được định nghĩa và ta cũng có một ánh xạ nối∆ : H1f l(¯k/k,G) → H2f l(¯k/k,N)được xác định như sau. Giả sử x = [h]∈ H1f l(¯k/k,G),h ∈ Z1(¯k/k,G)là một phần tử đại diện của x. Ta đặt
∆(h) = (d20g)(d22g)(d21g)−1,
với g ∈ F(¯k ⊗k k)¯ là một nghịch ảnh bất kỳ của h. Theo [42, pp. 418-421], ánh xạ F(¯k ⊗k k)¯ → G(¯k ⊗k k)¯ là toàn ánh, nên phần tử g luôn tồn tại. Hơn nữa, lớp tương đương của ∆(h) trong H2f l(¯k/k,N) không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện h cũng như việc chọn phần tử g. Ta xác định ánh xạ nối bằng cách đặt ∆(x) := [∆(h)] ∈ H2f l(¯k/k,N). Chúng ta có khẳng định sau
Định lý 1.4.4([67, Chap IV, Sec. 4.2]). Cho 1 → N → F → G → 1 là một dãy khớp các lược đồ k-nhóm đại số affine. Nếu nhóm N nằm trong tâm của F thì ta có ánh xạ nối∆ : H1f l(¯k/k,G) → H2f l(¯k/k,N)sao cho dãy các tập với phần tử được đánh dấu
1 → N(k) → F(k) → G(k) → H1f l(¯k/k,N) → H1f l(¯k/k,F) → H1f l(¯k/k,G) →∆
ChoG là một lược đồ k-nhóm affine. Ta xét (hàm tử) nhóm tự đẳng cấu của G được cho bởi: Aut(G)(R) = Aut(G(R)), với mọi k-đại số R. Khi đó ta cũng định nghĩa được đối đồng điều phẳng như đối với lược đồ nhóm affine như trên.
Cho L/k là một mở rộng đại số. Ta nói một lược đồ k-nhóm affine G0 là một L/k-dạng củaG nếu G×k L G0 ×kL. Mộtk/k-dạng cũng được gọi l௠k-dạng. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.4.5([52, Chap. 17, Theorem 17.6, p. 136]). ChoGlà một lược đồk-nhóm
affine, và L/k là một mở rộng đại số. Khi đó, có một song ánh giữa tập các lớp k-
đẳng cấu cácL/k-dạng củaG và tập đối đồng điều phẳng bậc1,H1f l(L/k,Aut(G)).
1.5 Tơpơ trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng
Ta lần lượt xét trường hợp lược đồ nhóm là giao hốn hay khơng giao hốn.
1.5.1 Trường hợp giao hốn
ChoG là một lược đồ nhóm giao hốn, affine, phẳng, kiểu hữu hạn trênk, trong đó k là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng thực bằng1. Trong nhiều vấn đề liên quan đến đối đồng điều, ta cần xét những tôpô trên nhóm đối đồng điều, sao cho ánh xạ nối là liên tục. Tất nhiên, tôpô thô khơng đem lại thơng tin gì và bị loại bỏ khỏi những nghiên cứu. Trong [27, Chap. III, Section 6], hoặc [42, Section 4], ta có thể xác định tơpơ trên nhóm đối đồng điều phẳng của một lược đồ nhóm giao hốn phẳng, kiểu hữu hạn, theo một nghĩa nào đó được cảm sinh từ tơpơ trênk. Cụ thể như sau.
ChoL/k là một mở rộng hữu hạn. Khi đó ta có tơpơ tự nhiên trên ⊗r
kL, cảm sinh từ tơpơ trên k. Do vậy, ta có tơpơ trên G(⊗r
kL). Đối đồng điều ˘Cech ˘Hif l(L/k,G) được xác định thông qua phức
1 → G(k) →G(L) →G(L⊗k L) → · · · →G(⊗rkL)→ · · · ,
trong đó phức chạy ra vơ cùng khi G giao hoán và dừng ở r = 3 khi G khơng giao hốn. Ta có các nhóm (tập) các đối xíchZr(L/k,G)là các nhóm (tập) con của G(⊗rkL), và được trang bị tơpơ cảm sinh từG(⊗rkL). Sau đó, ta trang bị tơpơ thương cho nhóm thương (tương ứng, tập thương) ˘Hrf l(L/k,G) := Zr(L/k,G)/Br(L/k,G) (tương ứng Zr(L/k,G)/ ∼). Tôpô trên Hrf l(k,G) := lim
−−→ H˘r
f l(L/k,G) được xác định bằng cách lấy giới hạn của tôpô trên ˘Hrf l(L/k,G). Điều này nghĩa là ánh xạ f :
Hrf l(k,G) → T là liên tục nếu và chỉ nếu ánh xạ hạn chế lên ˘Hrf l(L/k,G) cũng là liên tục.
Định nghĩa 1.5.1.1 ([27, Chap. III, Sec. 6, pp. 274-275], [42, Sec. 4]). Ta định nghĩa tơpơ nói trên là tơpơchính tắc.
Ta biết rằng, khi làm việc với phạm trù các lược đồ nhóm giao hốn, phẳng, kiểu hữu hạn, thì mọi đồng cấu nối xuất hiện trong bất kỳ dãy khớp dài các đối đồng điều phẳng đều là liên tục [27, Chap. III, Section 6].
Thực tế, ánh xạ nối Hrf l(k,A) → Hrf l(k,B), ở mức độ đối xích được cho bởi các ánh xạ đa thức, cảm sinh từ cấu xạA → B. Do đó, các ánh xạ này là liên tục.
1.5.2 Trường hợp khơng giao hốn. Tơpơ đặc biệt
Ta giả sử G là một lược đồ nhóm affine, phẳng, dạng hữu hạn bất kỳ, có thể khơng giao hốn. Hầu như chưa có kết quả về việc trang bị một cách chính tắc tơpơ trên tậpH1f l(k,G)sao cho tất cả các ánh xạ nối là liên tục (ngoại trừ [49]). Đầu tiên chúng tôi nhắc lại định nghĩa của một tơpơ trên H1f l(k,G) thơng qua phép nhúng nhómG vào mộtk-nhóm đặc biệt ([49]). Lưu ý rằng, mộtk-nhóm đại số tuyến tính H được gọi làđặc biệt(trênk) (theo nghĩa của Grothendieck và Serre [74]), nếu đối đồng điều phẳng (trùng với đối đồng điều Galois)H1f l(K,H)là tầm thường với mọi mở rộng K/k.
Cho trước phép nhúngG ,→ H củaG vào nhóm đặc biệt H, ta có dãy khớp sau trên các tập đối đồng điều:
1 →G(k)→ H(k)→ (H/G)(k)→δ H1f l(k,G) → 1,
trong đóH/Glà đa tạp tựa xạ ảnh dạng hữu hạn trênk(xem [63] hoặc [64]). Giả sử k được trang bị tơpơ Hausdorff. Vì δlà tồn ánh nên ta trang bị choH1f l(k,G)tơpơ mạnh nhất sao choδlà liên tục.
Định nghĩa 1.5.2.1([14]). Ta gọi tôpô được xây dựng như trên làtôpôH-đặc biệt.
1.5.3 Trường hợp khơng giao hốn. Tơpơ chính tắc
Cho G là một k-lược đồ nhóm affine, phẳng, khơng giao hoán, kiểu hữu hạn. Ta xác định tơpơ chính tắc trênH1f l(k,G) như sau (được dẫn ra từ trường hợp giao hoán). Để đơn giản ta giả sửGlà trơn. (Trường hợp tổng quát ta phải xét phức ˘Cech, phủ ˘Cech, là những khái niệm phức tạp hơn.) Khi đó, đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng đẳng cấu chính tắc với nhau. Đầu tiên ta xem H1(k,G) như giới
hạn trực tiếp lim
−−→K/kH1(K/k,G(K)), trong đó K chạy trên các mở rộng chuẩn tắc hữu hạn củaknằm trong một bao tách được ksnào đó củak. Ta có ánh xạ chính tắc sau fK/k : H1(K/k,G(K)) → H1(k,G) được cho từ dãy khớp các đối đồng điều
1 → H1(K/k,G(K)) → H1(k,G) → H1(K,G). Giả sửGal(K/k)là nhóm Galois của K/k. Thế thì ta có
H1(K/k,G(K)) = Z1(K/k,G(K))/ ∼ .
VìZ1(K/k,G(K))là một tập con của
C1(K/k,G(K)) := Map(Gal(K/k),G(K))' G(K)n,
trong đón = [K : k], nên ta có thể trang bị cho nó tơpơ cảm sinh từ tơpơ trên tích trực tiếp G(K)n. Đặt θK : Z1(K/k,G(K)) → Z1(K/k,G(K))/ ∼ là ánh xạ thương. Vì thế ta xác định tơpơ trên H1(K/k,G(K)) là tơpơ thương, cảm sinh từ tơpơ trên Z1(K/k,G(K)). Khi đó ta trang bị tơpơ trênH1(k,G)như giới hạn của các tơpơ vừa xác định. Nói riêng ra, một tập conU ⊆ H1(k,G)là mở nếu và chỉ nếu fK/k−1(U)mở trongH1(K/k,G(K))với mọi K. Điều này tương đương:
(∗) H1(k,G) = S
K/k fK/k(H1(K/k,G(K))),
và tập con U là mở trong H1(k,G) nếu và chỉ nếu giao của nó với các tập con Im(fK/k) = fK/k(H1(K/k,G(K)))đều là mở trong
fK/k(H1(K/k,G(K))), với mọiK.
Ta gọi tơpơ này là tơpơ “chính tắc” (vì nó được xác định hồn tồn nội tại theo G). KhiG giao hốn thì tơpơ này chính là tơpơ chính tắc đã được nói ở trên. Trường hợp tổng quát cho các lược đồ k-nhóm affine được xây dựng tương tự. Như đã đề cập ở [49], khiG là nhóm trơn, tơpơ H-đặc biệt khơng phụ thuộc vào H. Hơn nữa, ta có khẳng định sau.
Mệnh đề 1.5.3.1. (a) ([49])NếuG là một lược đồ nhóm trơn, và với các giả thiết như ở trên, thì tơpơ đặc biệt trên H1(k,G) khơng phụ thuộc việc chọn phép nhúngGvào nhóm đặc biệt.
(b) ([14]) Hơn nữa, nếu G là một lược đồ nhóm trơn, giao hốn, liên thơng, thì tơpơ chính tắc trênH1(k,G) trùng với tơpơ đặc biệt.
Chương 2
Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans
Cho G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường đóng đại số k. Khi đó, một cách tự nhiên, G tác động lên vành các hàm chính quy của nó thơng qua phép tịnh tiến phải(rg · f)(x) = f(x·g), với x,g ∈ G, f ∈ k[G]. VớiH là một k-nhóm con đóng củaG, ta đặt
H0 = k[G]H := {f ∈ k[G]|rh · f = f,với mọih ∈ H}.
Như vậy, k[G]H chính là k-đại số con các hàm H-bất biến của k[G]. Hơn nữa, nếu Rlà mộtk-đại số con của k[G], ta đặt
R0 = {g ∈G|rg · f = f,với mọi f ∈ R}.
Khi đó, với bất kỳ nhóm con đóng H củaG ta có H ⊆ (H0)0 = H00 ⊆ G.
Trong một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễn, các tác giả A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. Mostow [3, p. 134] đã đưa ra khái niệm các nhóm con quan sát được. Ta nói một nhóm con đóng là quan sát được nếu mọi biểu diễn hữu tỷ hữu hạn
chiều củaHđều mở rộng được lên thành biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều của tồn bộ nhómG. Nói cách khác, điều này có nghĩa là mọi H-mơđun hữu tỷ hữu hạn chiều đều là mộtH-môđun con của mộtG-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều. Trong [3], các tác giả đã đưa ra một số điều kiện tương đương để một nhóm là quan sát được. Sau đó, F. Grosshans đã tìm thêm được một số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] và những tài liệu dẫn ở đó). Nhờ vậy, chúng ta biết rằng điều kiện để một nhóm là quan sát được tương đương với đẳng thứcH = H00. Hiện tại, người ta biết thêm một
số điều kiện tương đương (ít nhiều dễ kiểm tra) để một nhóm là quan sát được và các kết quả này được tổng hợp trong Định lý 2.1.1.
Theo chiều hướng hồn tồn ngược lại, một nhóm con đóng H ⊆ G cịn có thể thỏa mãn điều kiện H00 = G. Nếu điều này đúng,H được gọi là mộtnhóm con tồn cấu củaG. Thực tế, một dạng khác tương đương của khái niệm này ban đầu được đưa ra bởi F. Bien và A. Borel (xem [56], [57], và [21] về các kết quả gần đây). Trước đó, S. Bergman đã đưa ra khái niệm tương tự cho Đại số Lie (nhưng không cơng bố). Ngồi ra, F. Bien, A. Borel, J. Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ của tính chất H là nhóm con tồn cấu với tính chất liên thơng hữu tỷ của khơng gian thuần nhấtG/H. Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là tồn cấu được cho trong Định lý 2.2.1.
Trong mối liên hệ với bài toán số 14 của D. Hilbert, vấn đề sau đây được đặc biệt quan tâm. Giả sửX là một đa tạp affine,Glà một nhóm reductive tác động cấu xạ lên đa tạpX. Cho H là một nhóm con đóng củaG, vàG tác động lên đại số các hàm chính quy k[X]thơng qua phép tịnh tiến trái (lg · f)(x) = f(g−1 · x). Một cách tự nhiên, người ta đặt câu hỏi khi nàok[X]H là mộtk-đại số hữu hạn sinh.
Với mỗi H là nhóm con đóng củaG, ta có k[X]H = k[X]H00 (theo [20], [21]). Vì thế bài tốn trên quy về trường hợp H là nhóm con quan sát được của G. Để giải quyết bài toán này, F. Grosshans ([20], [21]) đưa ra khái niệm đối chiều 2 cho các nhóm con quan sát được. Những nhóm con thỏa mãn tính chất như vậy được gọi là các nhóm con Grosshans (xem Mục 2.3).
Trong chương này, chúng tơi tiếp tục những nghiên cứu của [3]. Cụ thể hơn, chúng tơi quan tâm đến một số câu hỏi về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con tồn cấu, và nhóm con Grosshans. Những kết quả ban đầu về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được (tương ứng nhóm con tồn cấu) thu được trong [3], và sau đó trong [21], [53] (tương ứng [53], [56], [57]). Cũng trong bài báo [53], một số ứng dụng về tác động ergodic cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng minh ở chương này một số kết quả mới về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con tồn cấu, nhóm con Grosshans mà ban đầu chỉ được chứng minh trong trường hợpklà trường đóng đại số. Kết quả chính của phần này là các Định lý 2.1.11, 2.2.4, 2.3.5.
2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả cơ bản của các nhóm con quan sát được xác định trên trường đóng đại số. Trong các phát biểu dưới đây,G0 được ký hiệu cho
thành phần liên thơng của nhómG.
Định lý 2.1.1([3], [21, Theorem 2.1, 1.12]). ChoG là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường đóng đại số k và H là một k-nhóm con đóng củaG. Khi
đó các khẳng định sau đây là tương đương:
(a) H = H00.
(b) Tồn tại một biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ : G → GL(V) và một véctơ
v ∈ V, xác định trênk, sao cho:
H = Gv = {g ∈G|ρ(g)·v = v}.
(c) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f ∈ k[G/H] sao cho các hàm này tách các điểm củaG/H.
(d) Không gian thuần nhấtG/H là mộtk-đa tạp tựa affine.
(e) Mọik-biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiềuρ : H →GL(V)đều mở rộng được thành mộtk-biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiềuρ0
:G → GL(V0), trong đóV ⊆ V0. Nói cách khác, mọi H-mơđun hữu tỷ hữu hạn chiều đều là một H-môđun con của
mộtG-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều nào đó.
(f) Tồn tại một k-biểu diễn hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một vectơ v ∈ V sao cho
H = Gv(nhóm con dừng củav) vàG/H G·v = {ρ(g)(v)|g ∈G}.(Đẳng cấu ở đây là đẳng cấu giữa các đa tạp đại số.)
(g) Trường các thương của vành các hàmG0∩H-bất biến trongk[G0]chính bằng trường các hàm hữu tỷG0 ∩H-bất biến trongk(G0).
(h) Nếu H-môđun hữu tỷ1 chiều M là một H-môđun con của mộtG-môđun hữu