4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
4.5 Kết luận của Chương 4
1. NếuG là một nhóm đại số tuyến tính giao hốn thì tơpơ đặc biệt và tơpơ chính tắc trên tập đối đồng điềuH1(k,G)là rời rạc.
2. Nếuk là một trường đặc số0, đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng1 thì tơpơ đặc biệt trênH1(k,G)là rời rạc.
3. Quỹ đạoG(k)·vlà đóng Hausdorff nếu quỹ đạoG·v là đóng Zariski và thêm một trong số các điều kiện sau:
a) klà một trường hoàn thiện, đầy đủ đối với một định giá khơng tầm thường có hạng thực bằng1 và nhóm con dừngGv là trơn.
b) k là một trường đầy đủ đối với một định giá khơng tầm thường có hạng thực bằng 1và một trong các điều kiện
- Nhóm con dừngGvlà trơn, và giao hốn; hoặcG là giao hốn.
- Nhóm con dừngGv là trơn và là mở rộng của mộtk-nhóm lũy đơn trơn bởi mộtk-nhóm chéo hóa được.
c) k là một trường compắc địa phương và nhóm con dừngGvlà mộtk-nhóm reductive, trơn, liên thơng.
d) Tác động củaG là khá tách tại v.
4. Quỹ đạoG·vlà đóng Zariski nếuG(k)·vlà đóng Hausdorff và thêm một trong các điều kiện sau:
a) G = L× U, với L là một nhóm reductive, U là một nhóm lũy đơn, k là một trường hoàn thiện, đầy đủ đối với một định giá khơng tầm thường có hạng thực bằng 1.
b) G là lũy linh.
c) G là reductive với tác động củaG là tách mạnh tạiv.
5. Chỉ ra những ví dụ cho thấy, nếuklà một trường địa phương đặc số0,Gkhơng là tích trực tiếp của một nhóm reductive và một nhóm lũy đơn, hoặck là một trường địa phương đặc số p,G là reductive (hoặc giải được) với tác động của G khơng là tách mạnh tạivthì điều kiệnG(k)·vlà đóng Hausdorff khơng kéo theoG ·v là đóng Zariski.
Kết luận của luận án
Trong luận án này chúng tơi đã thu được những kết quả chính sau.
1. Chứng minh những khẳng định về tính chất hữu tỷ cho các nhóm con quan sát được, nhóm con tồn cấu, và nhóm con Grosshans.
2. Mở rộng một kết quả của F. Bogomolov cho trường hoàn thiện. Chứng minh một khẳng định về liên hệ giữa các khái niệm nhóm con tựa parabolic, dưới parabolic, trong trường hợp k là hoàn thiện. Kết quả này chứa một mở rộng của Định lý Sukhanov cho trường hoàn thiện.
3. Nghiên cứu mối liên hệ giữa tính đóng Zariski của quỹ đạo hình học và tính đóng Hausdorff của quỹ đạo tương đối. Liên hệ chúng với bài tốn trang bị tơpơ trên tập đối đồng điều Galois (hoặc phẳng) và thu được một số kết quả về tôpô trên các tập đối đồng điều này.
Một vài hướng phát triển
1. Ứng dụng của tính chất k-tựa parabolic vào nghiên cứu các nhóm con số học (theo Raghunathan).
2. Phải chăng quỹ đạoU(k)· xln đóng với U là mộtk-nhóm lũy đơn tùy ý tác độngk-cấu xạ lên đa tạp affine X và x ∈ X(k).
3. Mơ tả “đa tạp” các nhóm con Grosshans và “đa tạp” các nhóm con quan sát được.
4. Câu hỏi của F. Bruhat và J. Tits: Phải chăng T(k)T(Ov) = T(kv) với k là một trường toàn cục,T là mộtk-xuyến,vlà một định giá rời rạc trên k, Ovlà vành các số nguyênv-adic trongkv.
5. Với những giả thiết như ở 4), hãy trả lời câu hỏi tổng quát hơn: Khi nào G(k)G(Ov) = G(kv)vớiGlà một k-lược đồ nhóm.
Danh mục cơng trình của tác giả liên quan đến luận án
1. N. Q. Thắng, Đ. P. Bắc (2005), “Some rationality properties of observable groups and related questions”Illinois J. Math.49(2), pp. 431-444.
2. Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng (2008), “Relative versions of theorems of Bogomolov and Sukhanov over perfect fields”,Proc. Japan Acad., 84, Ser. A, No. 7, pp.
101-106.
3. Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng (2009), “On the topology of group cohomology of algebraic groups over local fields”, Proceedings of 4th International Confer-
ence on Research and Education in Mathematics, ISBN 978-967-344-092-4, pp. 524-531.
4. Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng (2010), “On a relative version of a theorem of Bo- gomolov over perfect fields and its applications”, J. Algebra 324 (2010) - doi:10.1016/j.jalgebra. 2010.04.020, 20 pp.
5. Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng, “On the topology of relative orbits for action of alge- braic tori over local fields”, Preprint, 8 pp.
6. Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng, “On the topology on group cohomology and the topol- ogy of relative orbits for action of algebraic groups over local fields”, Preprint, 49 pp.
7. Đ. P. Bắc, “On some topological properties of relative orbits of subsets”, Preprint, 25 pp.
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:
1. Hội nghị Quốc tế Osaka-Hanoi, Hà Nội (2005).
2. Hội nghị Đại số-Hình học-Tơ pơ Tồn quốc, Thành phố Hồ Chí Minh (2005). 3. Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập khoa Toán-Cơ-Tin học, Hà Nội
(2006).
4. Hội nghị Đại số-Hình học-Tơ pơ Tồn quốc, Vinh (2007). 5. Hội nghị Tốn học Tồn quốc, Quy Nhơn (2008).
6. Seminar của Phịng Lý thuyết số, Viện Tốn học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
7. Seminar của Phịng Đại số, Viện Tốn học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Anh
[1] A. Asok, B. Doran, F. Kirwan (2008), “Yang-Mills theory and Tamagawa numbers: The fascination of unexpected links in mathematics”, Bull. London Math. Soc.40(4), pp. 533–567.
[2] A. Asok, B. Doran, F. Kirwan, “Equivariant motivic cohomology and quo- tients” (to appear).
[3] A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. D. Mostow (1963), “Extensions of representations of algebraic linear groups”,Amer. J. Math. 85, pp. 131-144.
[4] A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. D. Mostow (1963), “On homogeneous affine spaces of linear algebraic groups”,Amer. J. Math. 85, pp. 577-582.
[5] F. Bien, A. Borel, J. Kollar (1996), “Rationally connected homogeneous spaces”, Invent. Math.124, pp. 103-127.
[6] D. Birkes (1971), “Orbits of algebraic groups”, Ann. Math.93, pp. 459-475.
[7] F. A. Bogomolov (1979), “Holomorphic tensors and vector bundles on pro- jective varieties”,Math. U. S. S. R. Izvestiya 13, pp. 499-555.
[8] F. A. Bogomolov (1978), “Unstable vector bundles and curves on surfaces”, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki), Acad. Sci. Fennica, Helsinki, pp. 517-524.
[9] A. Borel (1991), Linear Algebraic Groups, (second enlarged version), G. T.
M.126, Springer-Verlag, xi+288 pp.
[10] A. Borel, Harish-Chandra (1962), “Arithmetic subgroups and algebraic groups”,Ann. Math. 75, pp. 485-535.
[11] R. J. Bremigan (1994), “Quotient for algebraic group actions over non- algebraically closed fields”, J. reine und angew. Math., Bd.453, pp. 21-47.
[12] Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng (2008), “Relative versions of theorems of Bogomolov and Sukhanov over perfect fields”, Proc. Japan Acad., 84, Ser. A, No. 7, pp.
101-106.
[13] Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng (2010), “On a relative version of a theorem of Bo- gomolov over perfect fields and its applications”, J. Algebra 324 (2010)- doi:10.1016/j.jalgebra. 2010.04.020, 20 pp.
[14] Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng, “On the topology on group cohomology and the topol- ogy of relative orbits for action of algebraic groups over local fields”, Preprint. [15] Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng (2009), “On the topology of group cohomology of
algebraic groups over local fields”, Proceedings of 4th International Confer-
ence on Research and Education in Mathematics, ISBN 978-967-344-092-4, pp. 524-531.
[16] Đ. P. Bắc, N. Q. Thắng, “On the topology of relative orbits for action of alge- braic tori over local fields”, Preprint.
[17] F. Coiai, Y. Holla (2006), “Extension of structure group of principal bundle in positive characteristic”,J. reine und angew Math., Bd.595, pp. 1-24.
[18] I. Dolgachev (2003), Lectures on invariant theory, London Mathematical
Society Lecture Note Series 296, Cambridge University Press, Cambridge,
xvi+220 pp.
[19] B. Green, F. Pop, P. Roquette (1995), “On Rumely’s local-global Principle”,
Jber. d. Dt. Math, -Verein.97, pp. 43-74.
[20] F. Grosshans (1973), “Observable groups and Hilbert’s fourteenth problem”,
Amer. J. Math. 95, pp. 229-253.
[21] F. Grosshans (1997), Algebraic homogeneous spaces and invariant theory,
Lecture Notes in Math.1673, Springer-Verlag, vi+148 pp.
[22] W. Hesselink (1978), “Uniform instability in reductive groups”, J. reine und angew Math., Bd. 303/304, pp. 74-96.
[23] E. Hewitt, K. Ross (1963), Abstract harmonic analysis, vol. 1, Grundlehren
[24] J. E. Humphreys (1981),Linear Algebraic Groups, (second edition), G. T. M.
9, Springer-Verlag, xvi+253 pp.
[25] G. Kempf (1978), “Instability in invariant theory”, Ann. Math. 108(2), pp.
299-316.
[26] J. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, 33,
Princeton University Press, Princeton, N. J, xiii+323 pp.
[27] J. Milne (2006), Arithmetic duality theorems, Second edition. BookSurge,
LLC, Charleston, SC, viii+339 pp.
[28] G. Mostow (1956), “Fully reducible subgroups of algebraic groups”,Amer. J. Math. 78, pp. 200-221.
[29] S. Mukai (2003),An introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Stud-
ies in Advanced Math., Ser81, Cambridge University Press, Cambridge, 2003,
xx+503 pp.
[30] D. Mumford (1965),Geometric Invariant Theory, Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete (2)34, Springer-Verlag, vi+145 pp.
[31] D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan (1994),Geometric Invariant Theory (ex- panded version), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34,
Springer-Verlag, xiv+292 pp.
[32] V. P. Platonov, A. Rapinchuk (1994), Algebraic Groups and Number The- ory(English translation), Pure and applied mathematics139, Academic Press,
xi+614 pp.
[33] B. Poonen, Rational points on varieties, available at http://math. berkerley.edu/∼poonen.
[34] V. L. Popov, E. B. Vinberg (1994), Invariant Theory, Algebraic Geometry
IV, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol.55, Springer-Verlag, Berlin,
315 pp.
[35] M. Raghunathan (1976), “On congruence subgroups problem”,Publ. Math. I. H. E. S.46, pp. 107-161.
[36] M. Raghunathan (1974), “A note on orbits of reductive groups”,Proc. Indian Math. Soc.38, pp. 65-70.
[37] S. Ramanan, A. Ramanathan (1984), “Some remarks on instability flag”,To- hoku Math. J.36(2), pp. 269-291.
[38] R. W. Richardson (1977), “Affine coset spaces of reductive algebraic groups”,
Bull. London Math. Soc. 9, pp. 38-41.
[39] W. Ferrer Santos, A. Rittatore (2005), Actions and invariants of algebraic groups, Pure and Applied Mathematics (Boca Raton) 269, Chapman &
Hall/CRC, Boca Raton, FL, xvi+454 pp.
[40] J. -P. Serre (1997),Galois cohomology, Translated from the French by Patrick
Ion and revised by the author, Springer-Verlag, Berlin, x+210 pp.
[41] J. -P. Serre (1964), Lie groups and Lie algebras, Harvard Lecture Notes, W.
Benjamin, cf. also Lecture Notes in Math., vol. 1500, Springer-Verlag, cor-
rected fifth printing 2006, viii+168 pp.
[42] S. Shatz (1964), “Cohomology of Artinian group schemes over local fields”,
Ann. Math. 79, pp. 411-449.
[43] S. Shatz (1972),Profinite groups, Arithmetic and Geometry, Annals of Math.
Studies, Princeton Univ. Press, vol. 67, Princeton.
[44] C. S. Seshadri (1977), “Geometric reductivity over arbitrary base”, Adv. in Math. 26, pp. 225-274.
[45] A. A. Sukhanov (1990), “Description of the observable subgroups of linear algebraic groups”, Math. U. S. S. R. Sbornik65(1), pp. 97-108.
[46] B. Sury (2000), “An elementary proof of the Hilbert-Mumford criterion”,
Electronic Journal of Linear Algebra7, pp. 174-177.
[47] N. Q. Thắng, Đ. P. Bắc (2005), “Some rationality properties of observable groups and related questions”Illinois J. Math. 49(2), pp. 431-444.
[48] N. Q. Thắng (2008), “On Galois cohomology of semisimple algebraic groups over local and global fields of positive characteristic”, Math. Z., Bd.259, pp.
457-470.
[49] N. Q. Thắng, N. D. Tân (2008), “On the Galois and flat cohomology of unipo- tent groups over local and global function fields”, J. Algebra 319, pp. 4288-
[50] J. Tits (1967), Lectures on Algebraic Groups, mimeographed lecture notes.
New Haven: Yale Univ. Math. Dept.
[51] T. Venkataramana (1988), “On superrigidity and arithmeticity of lattices in semisimple groups over local fields of arbitrary characteristic”,Invent. Math.,
Bd.92, pp. 255-306.
[52] W. C. Waterhouse (1979), Introduction to Affine Group Schemes, G.T.M. 66,
Springer-Verlag, xi+164 pp.
[53] B. Weiss (1998), “Finite-dimensional representations and subgroup actions on homogeneous spaces”, Israel J. Math.106, pp. 189-207.
Tiếng Đức
[54] H. P. Kraft (1985),Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, Aspect
of Mathematics, D1 Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1984, x+308 pp.
[55] P. Slodowy (1989), “Zur geometrie der Bahnen reeler reduktiver gruppen”, Algebraische Tranformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Sem.13,
Birkhauser, Basel, pp. 133-143.
Tiếng Pháp
[56] F. Bien, A. Borel (1992), “Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques. I”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.315, pp. 649-653.
[57] F. Bien, A. Borel (1992), “Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques. II”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.315, pp. 1341-1346.
[58] A. Borel (1969),Introduction aux groupes arithmétiques, Hermann, Paris, 125
pp.
[59] A. Borel, J. Tits (1965), “Groupes réductifs”, Publ. Math. I. H. E. S. 27, pp.
55-150.
[60] A. Borel, J. Tits (1971), “Complements à l’article “Groupes réductifs””,Publ. Math. I. H. E. S. 41, pp. 253-276.
[61] F. Châtelet (1944), “Variations sur un thème de H. Poincaré”,Annales Sci. E. N. S.61, pp. 249-300.
[62] C. Chevalley (2005), Classification des groupes algébriques semi-simples,
Collected works Vol. 3, Edited and with a preface by P. Cartier. With the
collaboration of P. Cartier, A. Grothendieck and M. Lazard. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xiv+276 pp.
[63] M. Demazure et P. Gabriel (1970),Groupes algébriques, Tome I, Paris, Mas-
son, xxvi+700 pp.
[64] M. Demazure, A. Grothendieck (1970),Schémas en groupes. I-III, Séminaire
de Géometrie Algébrique Du Bois Marie (SGA3) 1962-1964, Lecture Notes in Math.151-153, Springer-Verlag.
[65] J. -C. Douai (1976), “2-Cohomologie galoisienne des groupes semi-simples”, Thèse, Université des Sciences et Tech. de Lille 1.
[66] P. Gille, L. Moret-Bailly, “Action algébriques des groupes arithmétiques” (to appear)= Appendix to paper by E. Ullmo and A. Yafaev, “Galois orbits and equidistribution of special varieties subvarieties: towards the André-Oort con- jecture” (to appear).
[67] J. Giraud (1971),Cohomologies non abélienne, Grundlehren der math. Wiss.,
Bd.179 Berlin-Gottingen-Heidelberg, ix+467 pp.
[68] J. Oesterlé (1984), “Nombre de Tamagawa et groupes unipotents en caracter- istique p”,Invent. Math.78, pp. 13-88.
[69] M. Raynaud (1981), “Fibrés vectoriels instables-applications aux surfaces
(d’après Bogomolov)”, inSurface algébriques(Orsay, 1976-78), pp. 293-314, Lecture Notes in Math.868, Springer, Berlin-New York.
[70] G. Rousseau (1981), “Instabilité dans les espaces vectoriels (d’après Bogo-
molov)”, inSurface algébriques(Orsay, 1976-78), pp. 263-276, Lecture Notes in Math.868, Springer, Berlin-New York.
[71] G. Rousseau (1981), “Instabilité dans les fibrés vectoriels (d’après Bogo-
molov)”, inSurface algébriques(Orsay, 1976-78), pp. 277-292, Lecture Notes in Math.868, Springer, Berlin-New York.
[72] G. Rousseau (1978), “Immeubles sphériques et théorie des invariants”,C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 286, n. 5, pp. A247-250.
[74] Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications, Notes polycopieés, I. H. P., Paris, 1958.
[75] J. Tits (1971), “Représentations linéaires irréductibles d’un groupe réductif sur un corps quelconque”,J. reine und angew. Math., Bd. 247, pp. 196-220. Tiếng Việt
[76] N. D. Tân (2008), Về số học và đối đồng điều Galois của nhóm lũy đơn trên trường hàm địa phương và tồn cục, Luận án Tiến sĩ tốn học.