4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
4.3.8 Trường hợp nhóm dừng là reductive
Trong phần này chúng tôi chỉ ra kết luận của Định lý 4.3.1.3 cho trường hợp các nhóm dừng là reductive và trường đang xét là compắc địa phương.
Định lý 4.3.8.1 ([14]). Cho G là một nhóm đại số tuyến tính tác động chính quy lên một đa tạp affine V, tất cả đều xác định trên k và v ∈ V(k). Khi đó nếu nhóm
con dừngGvlà một nhóm reductive liên thơng, trơn, thìG(k)·vlà đóng Hausdorff trong(G·v)(k). Do đó, nếu G· v là đóng thìG(k)·v là đóng trong V(k) theo tơpơ Hausdorff.
Chứng minh. Từ Mục 4.1 và 4.2, ta đã biết nếu char.k = 0 và Gv là nhóm trơn thì ta ln có kết luận của định lý. Giả sử char.k = p > 0. Ta sẽ chỉ ra rằng tập đối đồng điều H1(k,Gv) là hữu hạn và rời rạc bằng cách chỉ ra nếu G là một k-nhóm reductive, trơn, liên thơng, thì tập H1(k,G) là hữu hạn và rời rạc đối với tôpô đặc biệt (xem Định lý 4.1.5). NếuG là một xuyến thìG là giao hốn và ta đã biết tơpơ trênH1(k,G)là rời rạc. Ta đã biết tậpH1(k,G)là hữu hạn theo một kết quả của Tits (xem [40, Chap. III, p. 146]). Mặt khác, giả sửG là một nhóm nửa đơn. Ký hiệuG˜ là phủ đơn liên của G, và F := Ker(π : ˜G → G). Trong [65] (khơng cơng bố) và trong [48], ta có kết luận sau.
Định lý 4.3.8.2([65], [48]). ChoG là một nhóm đại số nửa đơn xác định trên một trường hàm địa phươngk. Khi đó,
1) Tồn tại mộtk-xuyến cực đạiT, đồng thời là k-không đẳng hướng.
2) Ánh xạ đối biên∆ : H1(k,G) H1f l(k,G) → H2f l(k,F)là song ánh.
Giả sửT˜ là nghịch ảnh củaT trongG. Như đã chỉ ra trong Hệ quả 4.1.4, ánh xạ˜ cảm sinh α : H1(k,T) → H1(k,G) là mở đối với tôpô đặc biệt. Sử dụng đối ngẫu Nakayama-Tate (xem [27], [43, Chap. IV, Sec. 5, pp. 230-236]), ta có biểu đồ giao hốn sau: H1(k,T) −−−−∆0→ H2f l(k,F) −−−−f→ H2(k,T˜) = 0 α y = y H1(k,G) −−−−∆→ H2f l(k,F).
Vậy α : H1(k,T) → H1(k,G) là toàn ánh. Giả sử U là một tập mở trong H2f l(k,F), V := ∆−1(U), W = α−1(V). Khi đó, W = ∆−1
0 (U)là mở trong H1(k,T) vì theo [27, Chap. III, Sec. 6],∆0là liên tục theo tơpơ chính tắc, và hơn nữa tơpơ chính tắc trùng với tơpơ đặc biệt trênH1(k,T).
Vì α là ánh xạ mở, tồn ánh, nên V là mở trong H1(k,G). Do đó, ∆ là liên tục. Theo kết quả của J. Tits [40, p. 146] đã nói ở trên,H1(k,G)là hữu hạn, nênH2(k,F) cũng là hữu hạn. Mặt khác, theo tơpơ chính tắcH2f l(k,F)lập thành một nhóm tơpơ hữu hạn với tơpơ có tính chấtT1. Do đó, tơpơ trênH2f l(k,F)là rời rạc. Vì∆ liên tục nên tơpơ trênH1(k,G)cũng là rời rạc. Vậy ta chứng minh xong trường hợp nửa đơn. Giả sửG là một k-nhóm reductive liên thơng tùy ý. Ta có phân tích G = T ·H, trong đó T là một k-xuyến nằm trong tâm, H = [G,G]là nhóm dẫn xuất củaG. Ta có dãy khớp
1 → T → G → H1 → 1, trong đó H1 G/T. Từ đây, ta có dãy khớp
H1(k,T)→β H1(k,G) →γ H1(k,H1).
Ta thấy β là mở và γ là liên tục, và theo những điều vừa chứng minh, H1(k,T) và H1(k,H1)là hữu hạn và rời rạc đối với tơpơ chính tắc.
Vậy theo lập luận của Mục 4.3.4.1, {1} là tập vừa mở, vừa đóng trong H1(k,G)