3.5.1 Kết quả mơ phỏng q trình giá
Dưới đây là các kết quả mô phỏng cho chuỗi giá của tài sản S(t) tại T = 1 theo thời gian với các tốc độ nhảy và độ biến động khuếch tán khác nhau
3.5.2 Kết quả mô phỏng giá của quyền chọn mua và quyềnchọn bán chọn bán
Mục này trình bày kết quả mơ phỏng cho giá của một quyền chọn mua
ˆ
θ, Cˆn và quyền chọn bán Pˆ,Pˆn trong mơ hình có bước nhảy. Trong mơ hình khơng có bước nhảy các quyền chọn mua và bán được tính theo cơng thức Black-Sholes (CBS,PBS). θˆlà ước lượng cho C(S0, T) theo cơng thức (3.13) cịn Cˆn là ước lượng cho C(S0, T) theo công thức (3.8). Theo các kết quả mô phỏng này hai ước lượng này khá gần nhau. Pˆ và Pˆn là các ước lượng cho P(S0, T) tương ứng với các ước lượng của θ,ˆ Cˆn.
ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 17.39889 27.88264 17.61741 28.10115 2.789921 13.27366 -0.00821 S0=90 23.28777 23.77152 23.14775 23.63149 6.948979 7.432721 -0.00758 S0=100 29.77125 20.25499 30.57941 21.06316 13.26968 3.753418 -0.00938 S0=110 36.94419 17.42793 37.0188 17.50255 21.24877 1.732513 -0.01043 S0=120 44.44935 14.9331 44.60394 15.08768 30.25847 0.742214 -0.00895 Bảng 3.1 Mô phỏng với n = 20000, λ=5, σ=0.2, r=0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 25.44295 35.9267 24.72431 35.20805 2.789921 13.27366 -0.02021 S0=90 31.96108 32.44482 31.8465 32.33024 6.948979 7.432721 -0.02063 S0=100 38.82413 29.30787 39.89696 30.38071 13.26968 3.753418 -0.07694 S0=110 46.10588 26.58962 45.21627 25.70002 21.24877 1.732513 -0.02432 S0=120 53.77498 24.25872 53.78361 24.26735 30.25847 0.742214 -0.02553 Bảng 3.2 Mô phỏng với n = 20000, λ=10, σ=0.2, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 36.2477 46.73144 36.19677 46.68051 2.789921 13.27366 -0.09154 S0=90 43.49587 43.97962 44.07279 44.55653 6.948979 7.432721 -0.1477 S0=100 50.99072 41.47446 53.52148 44.00522 13.26968 3.753418 -0.07558 S0=110 58.76329 39.24703 57.98358 38.46733 21.24877 1.732513 -0.0604 S0=120 66.85548 37.33922 66.88316 37.36691 30.25847 0.742214 -0.07297
Hình 3.1: Mơ phỏng q trình ngẫu nhiên có bước nhảy với tham số trong hình.
Hình 3.4: Mơ phỏng q trình ngẫu nhiên có bước nhảy với tham số trong hình.
Hình 3.7: Mơ phỏng q trình ngẫu nhiên có bước nhảy với tham số trong hình.
Bảng 3.3 Mơ phỏng với n = 20000, λ=20, σ =0.2, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 43.46866 53.9524 42.4192 52.90294 2.789921 13.27366 -0.13659 S0=90 51.07612 51.55986 52.03449 52.51823 6.948979 7.432721 -1.03924 S0=100 58.75274 49.23648 58.53101 49.01475 13.26968 3.753418 -0.07213 S0=110 66.99076 47.4745 68.10813 48.59187 21.24877 1.732513 -0.08514 S0=120 75.80862 46.29236 72.73185 43.21559 30.25847 0.742214 -0.18553 Bảng 3.4 Mô phỏng với n = 20000, λ=30, σ=0.2, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 58.07484 68.55858 52.3047 62.78844 2.789921 13.27366 -11.9579 S0=90 58.21821 58.70196 60.87826 61.36201 6.948979 7.432721 -0.75306 S0=100 65.79138 56.27512 64.79502 55.27876 13.26968 3.753418 -0.4092 S0=110 73.04181 53.52555 69.66975 50.1535 21.24877 1.732513 -0.15701 S0=120 80.49763 50.98137 79.99124 50.47498 30.25847 0.742214 -0.11283 Bảng 3.5 Mô phỏng với n = 20000, λ=40, σ=0.2, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 52.84673 63.33047 49.77779 60.26154 2.789921 13.27366 -0.25618 S0=90 59.08362 59.56736 55.66573 56.14947 6.948979 7.432721 -0.21319 S0=100 72.35726 62.841 67.23674 57.72048 13.26968 3.753418 -1.00509 S0=110 80.77067 61.25441 86.83983 67.32358 21.24877 1.732513 -1.02648 S0=120 88.63876 59.1225 86.79323 57.27697 30.25847 0.742214 -0.32958 Bảng 3.6 Mô phỏng với n = 20000, λ=50, σ=0.2, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 20.10625 30.58999 20.39352 30.87726 8.896535 19.38028 -0.00797 S0=90 26.22393 26.70767 26.3484 26.83214 14.06449 14.54823 -0.00862 S0=100 32.90099 23.38473 33.3189 23.80264 20.31847 10.80221 -0.00909 S0=110 40.01201 20.49575 40.74192 21.22567 27.47401 7.957751 -0.00974 S0=120 47.52805 18.01179 47.69074 18.17449 35.34689 5.830631 -0.01613 Bảng 3.7 Mô phỏng với n = 20000, λ=5, σ=0.4, r=0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 27.33798 37.82172 26.95868 37.44243 8.896535 19.38028 -0.01553 S0=90 34.01435 34.49809 33.41625 33.89999 14.06449 14.54823 -0.03069 S0=100 40.99691 31.48065 41.98823 32.47197 20.31847 10.80221 -0.03157 S0=110 48.38872 28.87246 48.27699 28.76073 27.47401 7.957751 -0.01998 S0=120 56.05707 26.54081 54.98145 25.46519 35.34689 5.830631 -0.03062 Bảng 3.8 Mô phỏng với n = 20000, λ=10, σ =0.4, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49
ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 37.33267 47.81641 35.2396 45.72334 8.896535 19.38028 -0.03422 S0=90 44.81424 45.29798 45.52028 46.00403 14.06449 14.54823 -0.07773 S0=100 52.38617 42.86991 51.17495 41.65869 20.31847 10.80221 -0.13821 S0=110 60.1591 40.64285 58.51791 39.00165 27.47401 7.957751 -0.07462 S0=120 67.66418 38.14792 70.98709 41.47083 35.34689 5.830631 -0.1851 Bảng 3.9 Mô phỏng với n = 20000, λ=20, σ=0.4, r =0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 44.56242 55.04617 44.9172 55.40094 8.896535 19.38028 -0.05907 S0=90 52.69597 53.17971 53.51127 53.99501 14.06449 14.54823 -0.19379 S0=100 60.64085 51.12459 60.6881 51.17184 20.31847 10.80221 -0.30104 S0=110 68.30239 48.78613 65.86706 46.3508 27.47401 7.957751 -0.12215 S0=120 77.00901 47.49275 77.46015 47.94389 35.34689 5.830631 -0.20286 Bảng 3.10 Mô phỏng với n = 20000, λ=30, σ =0.4, r=0.1, T =1,a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 47.34168 57.82542 47.73063 58.21437 8.896535 19.38028 -0.09858 S0=90 58.86495 59.3487 60.76801 61.25176 14.06449 14.54823 -0.17652 S0=100 67.15514 57.63888 67.78042 58.26416 20.31847 10.80221 -0.64759 S0=110 75.4375 55.92124 76.05358 56.53732 27.47401 7.957751 -0.383 S0=120 79.74665 50.23039 74.38296 44.8667 35.34689 5.830631 -0.12498 Bảng 3.11 Mô phỏng với n = 20000, λ=40, σ =0.4, r=0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 ˆ θ Pˆ Cˆn Pˆn CBS PBS Bˆ S0=80 56.03477 66.51851 65.53719 76.02093 8.896535 19.38028 -0.56015 S0=90 62.35212 62.83586 64.97122 65.45497 14.06449 14.54823 -0.36225 S0=100 72.69338 63.17713 72.94757 63.43131 20.31847 10.80221 -1.40533 S0=110 76.16285 56.64659 74.87662 55.36036 27.47401 7.957751 -0.06037 S0=120 89.38431 59.86805 87.62783 58.11157 35.34689 5.830631 -0.25028 Bảng 3.12. Mô phỏng với n = 20000, λ=50, σ=0.4, r=0.1, T =1, a=−0.5, b= 0.49 3.6 Kết luận chương 3
Chương này đã đề cập tới việc tính giá của quyền chọn mua hoặc bán kiểu châu Âu với quá trình loga của giá cổ phiếu là quá trình khuếch tán bước nhảy. Đó là loại q trình khá phức tạp và lập lên một loại mơ hình thị trường khơng đầy đủ với vơ số độ đo martingale rủi ro trung tính. Chương này đưa ra một công thức định giá của quyền chọn loại châu Âu ứng với 1 độ đo martingale trung hòa rủi ro (giá đó cũng là giá khơng có độ
chênh thị giá). Với độ đo đó ta vẫn khơng nhận được cơng thức hiển để xác định giá. Vì tính phức tạp của cơng thức định giá tác giả đã dùng thuật tốn mơ phỏng Monte-Carlo để mơ phỏng q trình bước nhảy Poisson và chuyển động Brown trong biểu thức của q trình giá cổ phiếu nhằm tính giá trị trung bình mẫu thay cho giá trị trung bình lý thuyết.
CHƯƠNG4
DỰ BÁO TRẠNG THÁI HỘI TỤ CỦA THU NHẬP BÌNH QUÂN ĐẦU NGƯỜI CỦA VIỆT NAM
Bài toán hội tụ của một biến kinh tế là một dự báo cơ sở của mơ hình tăng trưởng tân cổ điển. Mục đích của chương này là phân tích sự hội tụ về trạng thái ổn định của GDP trên đầu người ở các tỉnh của Việt Nam trong thời kỳ 1991-2007 theo một phương pháp mới.
Phương pháp mới được đề xuất trong chương này có khác với phương pháp cổ điển trong việc sử dụng dữ liệu của thời kỳ nghiên cứu. Theo phương pháp cổ điển, dữ liệu chỉ được khai thác ở thời điểm đầu và cuối của thời kỳ nghiên cứu và do vậy không sử dụng được hết thơng tin của dữ liệu, trong khi đó phương pháp mới (được đưa ra trong 2 giải thuật của chương) khai thác tồn bộ dữ liệu trong thời kỳ nghiên cứu. Tính ưu việt của phương pháp mới cũng được nghiên cứu và được thể hiện trong các Định lý 4.2.3 và Định lý 4.2.6. Mơ hình xích Markov được áp dụng để mơ tả đặc trưng của khuynh hướng dài hạn của tăng trưởng trong thu nhập bình quân đầu người (theo tỉnh) và để kiểm nghiệm sự chính xác của phương pháp mới so với phương pháp cổ điển.
Các kết quả của chương này thu được từ các bài báo [1], [6] và [8] của tác giả.
4.1 Giới thiệu
Giả sử quan sát một biến kinh tế η = η(t, x) là một quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào các tham số t ≥ 0 (thời gian), x ∈ X (không
gian) với X là vùng (nước) được xét. Khi xem rằng đã biết các quan sát yik := η(k, xi) vào thời điểm (thời kỳ) t = k (k = 0 ÷T), tại tiểu vùng
(tỉnh) x = xi ∈ X (i = 1 ÷N) ta xét dưới đây khái niệm về sự hội tụ của một biến kinh tế y(t) := E{η(t, x)} (theo thời gian t lớn vô hạn) như là sự hội tụ của hàm y(t) về giá trị hữu hạn y(∞) ( gọi là “ trạng thái ổn định”)
lim
t→+∞y(t) = y(∞) (4.1) Hệ số tăng trưởng y(t)ˆ của biến kinh tế nói trên biểu thị tỷ lệ biến thiên ( mức độ biến thiên của 1 đơn vị ) biến y(t) trong 1 đơn vị thời gian tại thời điểm t
ˆ
y(t) ≈ y(t+ ∆t)−y(t)
∆t×y(t) (∆t ≈ 0)⇒ y(t) =ˆ y(t)˙
y(t) (4.2)
Đối với bài toán (4.1) và với y là thu nhập hoặc năng suất, ta biết rằng sự hội tụ của thu nhập và năng suất là một trong những vấn đề kinh tế được bàn cãi nhiều nhất trong những năm gần đây. Nghiên cứu sự hội tụ rất đáng được quan tâm do những hàm ý về lý thuyết và thực hành của nó. Về lý thuyết, phân tích sự hội tụ có thể giúp phân biệt giữa các lý thuyết tăng trưởng khác nhau theo các dự đốn của nó về tăng trưởng kinh tế. Mặt khác, trong thực hành, việc nghiên cứu sự hội tụ có thể hỗ trợ lập kế hoạch và đánh giá các biện pháp chính sách vùng, khi ta hiểu sâu những khác biệt kinh tế giữa các tiểu vùng của vùng này. Vì vậy sự hội tụ đã được nghiên cứu rộng rãi giữa các nước hoặc các vùng. Nhiều nghiên cứu tập trung vào sự hội tụ của thu nhập cá nhân, nhưng mặt khác sự hội tụ của GDP theo vùng cũng cho ta những thông tin quan trọng như thế. Trên thế giới, việc sử dụng các mơ hình hồi quy Barro để nghiên cứu sự hội tụ nói trên đã được đặt ra ở nhiều nước, trong đó người ta mới chỉ khai thác các số liệu ở đầu và cuối thời gian nghiên cứu. Việc khai thác toàn bộ số liệu ở mọi thời kỳ còn chưa được đặt ra. Ở Việt Nam, theo chúng tơi được biết thì phương pháp xích Markov kinh điển để xét hội tụ của thu nhập bình quân đầu người và tăng trưởng năng suất còn chưa được nghiên cứu, và do vậy chương này có thể giúp cho việc nghiên cứu sự phát triển của
kinh tế vùng của Việt Nam theo một phương pháp mới.
Mục đích của chương này là đánh giá mức độ hội tụ các tỉnh (tiểu vùng) của Việt Nam xét theo thu nhập bình quân trên đầu người trên cơ sở sử dụng bộ dữ liệu về GDP, dân số và lao động của các tỉnh từ năm 1990- 2007.
Các khía cạnh khác nhau của sự hội tụ vùng sẽ được xem xét trong chương này. Đầu tiên, chúng tôi đưa ra sự mở rộng mới của các phương pháp kinh điển Barro và Sala-i-Martin [20], [21] gọi là mơ hình hồi quy Barro mở rộng. Sau đó, phương pháp xích Markov kinh điển được sử dụng để mơ tả
đặc trưng những dao động dài hạn trong mức tăng trưởng thu nhập bình quân đầu người giữa 59 tỉnh - thành của Việt Nam và để kiểm định tính nhất quán của phương pháp này với các phương pháp mới. Điều mà các phương pháp Barro kinh điển chưa đạt được. Phương pháp xích Markov được sử dụng ở đây bởi vì nó cho phép theo dõi những chuyển động trong một phân phối và xác định các phân phối bất biến đối với thời gian ở mức gộp. Số liệu hỗn hợp, trải trên thời kỳ 1990-2007, được sử dụng trong tính tốn các phân phối bất biến đối với thời gian. Nghiên cứu này xem xét sâu hơn là liệu sự phân cực của các tỉnh về tăng trưởng có dẫn đến các cụm hội tụ khơng: nghĩa là liệu các nhóm tỉnh có chuyển động về phía có mức tăng trưởng khác nhau hay khơng? Mặt khác, sự hội tụ toàn cục xảy ra nếu tất cả các tỉnh chuyển động về phía cùng một mức tăng trưởng. Việc phân tích hội tụ trong một nước là cần thiết cho mục đích lý thuyết và hoạch định chính sách. Trong trường hợp hội tụ, các nhà hoạch định chính sách sẽ có cơ sở chính đáng để tác động lên các biến liên quan đến tăng trưởng. Thêm vào đó, các giả định nằm dưới giả thiết hội tụ rất có thể được thỏa mãn trong phạm vi một nước vì các đơn vị được nghiên cứu trong một nước chịu các ràng buộc tương tự về phát triển cơng nghệ, chính sách của chính phủ và tính lưu động của các nhân tố.
4.2 Cơ sở lý thuyết
4.2.1 Quan điểm kinh tế của các phương pháp được sử dụngNhìn chung sự hội tụ được xem như một kết cục của lý thuyết tăng Nhìn chung sự hội tụ được xem như một kết cục của lý thuyết tăng trưởng tân cổ điển. Theo lý thuyết này, đối với một tập hợp bất kỳ các nền kinh tế, tăng trưởng kinh tế không thể tiếp tục một cách vô hạn định mà cuối cùng sẽ giảm và tốc độ tăng trưởng của các nền kinh tế trong tập hợp đó hội tụ về phía một trạng thái ổn định nào đó, khi hàm sản xuất kéo theo hiệu quả giảm theo quy mô tư bản. Nếu tập hợp các nền kinh tế này rất tương tự về mặt cơ cấu kinh tế, chúng sẽ hội tụ về cùng một trạng thái ổn định, và điều này sẽ dẫn tới giảm bớt sự cách biệt thu nhập. Trong trường hợp này, sự hội tụ là tuyệt đối. Tuy nhiên, nếu các nền kinh
tế không giống nhau, các trạng thái ổn định của chúng sẽ khác nhau, và những khác nhau trong thu nhập sẽ không nhất thiết giảm. Khái niệm này được gọi là hội tụ có điều kiện, ở đây những khác nhau về trạng thái ổn
định được biểu thị xấp xỉ bởi một số biến giải thích bổ sung (xem [20]). Trong chương này ta chỉ xem xét sự hội tụ tuyệt đối.
Trong phân tích hội tụ chuẩn, người ta nghiên cứu sự tồn tại của hội tụ chỉ sự thu hẹp cách biệt thu nhập lẫn hội tụ cho biết các nền kinh tế nghèo có tăng trưởng nhanh hơn các nền kinh tế giàu khơng. Ta nói xảy ra hội tụ tuyệt đối nếu có một tương quan âm giữa thu nhập khởi đầu và tăng trưởng thu nhập sau đó. Từ luận điểm kinh tế này, các mơ hình hồi quy Barro kinh điển đã được sử dụng rộng rãi [20], [21], trong đó người ta xem rằng: Trong thời gian nghiên cứu (0, T), tốc độ tăng trưởng của biến kinh
tế y(t) có dạng:
ˆ
y(t) =α+ βlny0 (t≥ 0) -Mơ hình Barro 1 (4.3)
ˆ
y(t) = aln 10−λlny0e−λt (t≥ 0) -Mơ hình Barro 2 (4.4) trong đó y(0) := y0 là giá trị khởi đầu của biến kinh tế; α, β (trong Mơ hình 1) và a, β (trong Mơ hình 2) là các tham số được ước lượng theo các hệ phương trình hồi quy tương ứng:
1 T ln yiT yi0 = α+ βlnyi0 +i (i = 1÷N) (4.5) (gọi là phương trình hồi quy Barro 1).
1 T log yiT yi0 = a−λlogyi0 1−e−λT1 T +i (i = 1÷N) (4.6) (gọi là phương trình hồi quy Barro 2).
trong đó i là sai số quan sát; N là số tiểu vùng (như tỉnh, thành, địa phương...) được nghiên cứu trong vùng X (như quốc gia, khu vực...); yi0 = η(0, xi)vàyiT = η(T, xi)là giá trị quan sát ở tiểu vùngxi(i = 1÷N)
của biến kinh tế vào thời điểm khởi đầu t = 0 và cuối t= T của thời gian nghiên cứu (0, T). Sau việc ước lượng các tham số trong các mơ hình hồi
quy nói trên, mơ hình "tăng trưởng tân cổ điển " được sử dụng để đưa ra những dấu hiệu đủ để cho biến kinh tế y(t) hội tụ (khi t → ∞). Tuy nhiên, để áp dụng được dấu hiệu này (khi biến kinh tế là thu nhập hoặc năng suất) cần phải kiểm tra dạng Cobb-Duglass của hàm sản xuất hoặc