Cơ sở lý thuyết

CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.3. Phƣơng pháp và thuật tốn đánh giá độ an tồn hệ thống mật mã và giấu tin

2.3.2. Cơ sở lý thuyết

2.3.2.1. Một số bổ đề lý thuyết thơng tin

a. Bổ đề A.1 [16]

Cho f và g là hai hàm số thực, khơng âm xác định và khả tích đối với độ đo _ hữu hạn nào đĩ trên miền X và thỏa mãn điều kiện tích phân ∫ ( )  . Khi đĩ ta cĩ tích phân:

∫  (2.15)

Và nĩ chỉ bằng 0 khi và chỉ khi f = g, _ hầu khắp nơi trên X

Chứng minh: Ta chứng minh cho trƣờng hợp f và g là những hàm rời rạc

∑  và ∑  ;  sao cho (∑ ∑ ) .

Khi đĩ, ta sẽ chứng minh rằng ∑

 hoặc tƣơng đƣơng

∑ (2.16)

Trong đĩ, log là hàm logarit đƣợc chọn cơ số tùy ý. Để đơn giản, ta lấy logarit theo cơ số e. Giả sử x[1,1+]

Bằng khai triển Talor, ta cĩ:

(( ) ) ( ) ( ) ( ) , trong đĩ y(1,x) Từ đĩ,

∑

(∑ ∑ ) ∑ ( ) ( ) với 

Điều phải chứng minh.

b. Bổ đề A.2:

Cơ sở đánh giá độ an tồn của một Hệ thống thơng tin cĩ bảo mật

Cho f1,f2,...fn với n2 là hàm mật độ xác suất trên khơng gian X. Ký hiệu tập

hợp G={ f1,f2,...fn }; Giả sử h là hàm nào đĩ trong G. Khi đĩ: i) Nếu ∫

( ) đối với mọi j ≠ i thì h=fi, _hầu khắp nơi trên X ii) Nếu cĩ tồn tại một j ≠ i: ∫ ( ) thì h  fi, _hầu khắp nơi trên X iii) Nếu ∫ ( ) i  j thì chƣa cĩ kết luận.

Trƣờng hợp đặc biệt, nhƣng rất quan trọng là n=2. Khi đĩ

∫  , trái lại ∫  thì

Nếu ∫  thì chƣa cĩ kết luận

Trong đĩ, hàm logarit đƣợc lấy theo cơ số tùy ý. Chứng minh bổ đề A.2 cho trƣờng hợp n=2.

Do G={f1 , f2} và hG, nên . Khi đĩ ∫  hay

∫

Kết quả này trái với bổ đề A.1. Vậy h=f1, _hầu khắp nơi trong X Trƣờng hợp ∫  đƣợc chứng minh tƣơng tự.

Cuối cùng nếu ∫  , lúc đĩ  trên X nên ta khơng thể kết luận đƣợc.

2.3.2.2. Một số cơ sở lý thuyết xác xuất và thống kê

a. Bổ đề B.1:

Cho hai đại lƣợng độc lập cĩ hàm mật độ lần lƣợt là ( ) và ( ) trên

khơng gian S. Đặt

Khi đĩ, đại lƣợng ngẫu nhiên cĩ hàm mật độ là

( ) ∫ ( ) ( ) (2.17)

Chứng minh này đã đƣợc trình bày trong [87]

b. Hệ quả B.2

Cho là hai đại lƣợng ngẫu nhiên, độc lập, rời rạc: nhận các giá trị

với xác suất tƣơng ứng là ; ( ( ) )

nhận các giá trị với các xác suất tƣơng ứng là ( ( ) )

Đặt . Khi đĩ, đại lƣợng ngẫu nhiên Z sẽ nhận các giá trị

với xác suất tƣơng ứng là:

( ) ∑ với ( ) ( )

b. Hệ quả B.3

Cho hai đại lƣợng ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả B.2. Nếu một trong hai (chẳng hạn ) đại lƣợng ngẫu nhiên đĩ cĩ phân bố đều

. Chứng minh. Thật vậy, áp dụng kết quả của Hệ quả B.2, ta cĩ với j=1,2,..,k, ∑ ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) Hệ quả đƣợc chứng minh.