bài tốn (2.1.59) là khơng âm. Ngồi ra, nghiệm này là dương. Do đó, nghiệm w(x) =u(x) +P(x) của bài tốn (2.1.58) là dương.
Chú ý rằng trong [4], các tác giả chỉ có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1.58) trong miền
S =n(x, w) : 0≤ x≤1,|w| ≤1.005222o
nhưng khơng chỉ ra được tính duy nhất của nghiệm. Trong khi đó, theo Định lý 2.5 và Định lý 2.6, bài tốn (2.1.58) có nghiệm dương duy nhất trong miền
S =n(x, w) : 0≤x ≤1, 0≤w−P ≤ 2.0053 384 o , tức là, S =n(x, w) : 0 ≤x≤ 1, 0≤ w≤ 1.005222o. Ví dụ 2.8. Xét bài tốn trong [4, Ví dụ 7.2] ( w(4)(x) =w(x)1/2sinew(x)+e−x2, a < x < b, w(a) =A1, w(b) =B1, w0(a) =A2, w0(b) =B2. (2.1.60) Đặt u(x) = w(x) −P(x), ở đây P(x) là đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện biên trong (2.1.60). Khi đó bài tốn này trở thành
u(4)(x) =u(x) +P(x) 1/2 sineu(x)+P(x)+e−x2, a < x < b, u(a) =u(b) = 0, u0(a) =u0(b) = 0.
(2.1.61)
Ta có
Trong miền
DM =n(x, u, y, v, z) |a ≤x ≤b, |u| ≤ C4,0(b−a)4M,
|y| ≤C4,1(b−a)3M, |v| ≤C4,2(b−a)2M, |z| ≤ C4,3(b−a)Mo
ta có
|f(x, u, y, v, z)| ≤qC4,0(b−a)4M +K +e−a2,
ở đây K = maxa≤x≤b|P(x)|. Ta thấy rằng, với bất kỳ các số hữu hạn b−a, A1, A2, B1, B2 đều tồn tại hằng sốM >0 sao cho điều kiện (2.1.47) trong Định lý 2.4 được thỏa mãn. Do đó bài tốn (2.1.61) có ít nhất một nghiệm, tức là, bài tốn (2.1.60) có ít nhất một nghiệm.
Chú ý rằng trong [4], tác giả thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1.60) cũng với điều kiện b−a, A1, A2, B1, B2 là các số hữu hạn.
Ví dụ 2.9. Xét bài tốn trong [4, Ví dụ 7.4]
(
u(4)(x) =u(x) sinu2(x), a < x < b,
u(a) = 0, u(b) = 0, u0(a) = 0, u0(b) = 0. (2.1.62)
Ta có f(x, u, y, v, z) =usinu2. Trong miền DM =n(x, u, y, v, z) |a ≤x ≤b, |u| ≤ C4,0(b−a)4M, |y| ≤C4,1(b−a)3M, |v| ≤C4,2(b−a)2M, |z| ≤ C4,3(b−a)Mo ta có |f(x, u, y, v, z)| ≤C4,0(b−a)4M = (b−a)4M 384 .
Do đó điều kiện (2.1.47) trong Định lý 2.4 được thỏa mãn nếu (b−a) ≤ 4.4267.
Với điều kiện này của (b−a) ta thu được
|fu0| =|sinu2+ 2u2cosu2| ≤1 + 2(C4,0(b−a)4M)2 ≤1 + 2M2.
Vì vậy ta có thể chọn K0 = 1 + 2M2, K1 =K2 =K3 = 0. Khi đó điều kiện (2.1.50)
ở Định lý 2.5 được thỏa mãn nếu 0 < M < 0.0035. Như vậy bài tốn (2.1.62) có
nghiệm duy nhất u(x)≡ 0 khi (b−a) ≤ 4.4267.
Chú ý rằng trong [4], tác giả cũng thu được kết luận tương tự đối với bài toán (2.1.62).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012