0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 m−axis e(m)−axis σ=12π2
Hình 3.2: Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanhnhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π2. nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π2.
nhanh nhất của Y.M. Wang là phương pháp Picard - phương pháp nhanh nhất trong ba phương pháp được tác giả sử dụng: phương pháp Picard, phương pháp Gauss-Seidel và phương pháp Jacobi (xem [69], [70]).
Ví dụ 3.2. (Bài toán 2 trong [70]) Xét bài toán
∆2u=σ(x, y)∆u/(1 +u) +p(x, y), (x, y) ∈Ω,
u = 0, ∆u= 0, (x, y) ∈Γ, (3.1.30)
ở đây k >0là hằng số tùy ý, σ(x, y) là hàm liên tục đổi dấu và p(x, y) là hàm liên tục không âm
p(x, y) = 2π2k
2π2+ σ(x, y) 1 +ksinπxsinπy
sinπxsinπy.
Với bài toán này, hàm u(x, y) =ksinπxsinπy là nghiệm đúng và f(x, y, u, v) = σ(x, y)v
1 +u +p(x, y).
Lấy σ(x, y) = cosπxcosπy. Khi đó với mỗi k ta có thể chọn M sao cho 0 ≤
f(x, y, u, v) ≤M trong miền
D+M ={(x, y, u, v)|0≤ x, y ≤1, 0≤u≤ M
64, −M
1 2 3 4 5 6 7 8 10−20 10−15 10−10 10−5 100 m−axis e(m)−axis
Hình 3.3: Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.1.
Tức là, 167π2k(2π2 + 1) ≤ M ≤ 16π2k(2π2 −1). Thêm vào đó, nếu M < 447 thì theo Định lý 3.2, bài tốn (3.1.30) có nghiệm khơng âm duy nhất và Phương pháp lặp 3.1.1 hội tụ cấp số nhân với công bội q = 512M +18. Điều này được đảm bảo nếu
0< k <0.95.
Chúng tôi thử nghiệm số đối với Phương pháp 3.1.1a trên các lưới khác nhau và các giá trị khác nhau của k. Các kết quả tính tốn được thể hiện ở Bảng 3.2.
k Lưới 33×33 Lưới 65×65
m error m1 error1 m error m1 error1
0.1 8 1.6078e-4 8 5.1580e-8 8 4.0169e-4 8 3.2252e-9 0.4 9 6.4313e-4 9 2.0632e-7 9 1.6068e-4 10 1.2901e-8
1 8 0.0016 9 5.1580e-7 9 4.0169e-4 9 3.2251e-8
2 9 0.0032 9 1.0316e-6 8 8.0337e-4 9 6.4502e-8
3 8 0.0048 9 1.5474e-6 8 0.0012 9 9.6753e-8
Bảng 3.2: Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.2.
Từ Bảng 3.2 ta thấy sự hội tụ nhanh của Phương pháp 3.1.1a. Sự hội tụ này hầu như không phụ thuộc vào cỡ lưới và các giá trị của k, thậm chí với k lớn. Cũng như ở Ví dụ 3.1, trong ví dụ này, độ chính xác của nghiệm xấp xỉ so sánh với nghiệm đúng giảm khi k tăng.
Để so sánh tốc độ hội tụ của phương pháp lặp được đề xuất với phương pháp nhanh nhất của Y.M. Wang trong [70], chúng tôi vẽ đồ thị của sai số e(m) như ở Hình 3.3 và Hình 3.4. Đồ thị này cho thấy, phương pháp lặp được đề xuất hội tụ nhanh hơn nhiều so với phương pháp của Y.M. Wang.
Ví dụ 3.3. (Ví dụ trong [67]) Xét bài tốn
∆2u=f(x, y, u,∆u), (x, y) ∈ Ω,
u= 0, ∆u= 0, (x, y) ∈Γ,
ở đây
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−20 10−15 10−10 10−5 100 m−axis e(m)−axis
Hình 3.4: Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương pháp nhanhnhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.4. nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.4.
0 5 10 15 20 25 10−18 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 m−axis e(m)−axis 0 5 10 15 20 25 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 m−axis r(m)−axis