Grid size m e(m)
17× 17 7 7.0083e-16
33× 33 7 6.9996e-16
65× 65 7 6.9909e-16
1 2 3 4 5 6 7 10−16 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 m−axis error−axis
Hình 3.14: Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.8.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10−3 x−axis y−axis u−axis
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương 3, tiếp tục phát triển các kỹ thuật của chương 2, Luận án nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải hai bài tốn biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa và phương trình song điều hịa loại Kirchhoff. Cụ thể, các kết quả đạt được như sau:
- Đối với cả hai bài toán, với một số điều kiện đơn giản, dễ kiểm tra, Luận án chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Đặc biệt, đối với bài tốn biên cho phương trình song điều hịa, Luận án cịn xét được tính dương của nghiệm.
- Đề xuất các phương pháp lặp tìm nghiệm của hai bài tốn, chứng minh sự hội tụ của các phương pháp lặp với tốc độ cấp số nhân. Đặc biệt, đối với bài toán biên cho phương trình song điều hịa, Luận án cịn chỉ ra tính đơn điệu của dãy nghiệm xấp xỉ.
- Xây dựng các ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết và thể hiện sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm, trong đó có một số ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của nghiệm khơng được bảo đảm bởi phương pháp của một số tác giả khác do các điều kiện trong các định lý của họ khơng được thỏa mãn, trong khi đó, theo kết quả của Luận án, nghiệm của bài toán là tồn tại và duy nhất.
KẾT LUẬN CHUNG
Với một cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đó là đưa bài tốn ban đầu về phương trình tốn tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm phi tuyến trung gian, sau đó áp dụng các định lý điểm bất động đối với toán tử này, Luận án đã nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn. Cụ thể, các kết quả chính của Luận án bao gồm:
1. Thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đề xuất phương pháp lặp giải một số bài tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các loại điều kiên biên khác nhau. Ngoài ra, đối với bài tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên tổ hợp, Luận án cịn xét thêm tính dương của nghiệm.
2. Đối với bài tốn biên cho phương trình song điều hịa và phương trình song điều hịa loại Kirchhoff, thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm, ngồi ra đối với bài tốn biên cho phương trình song điều hịa, Luận án cịn chỉ ra tính dương của nghiệm.
3. Đưa ra các ví dụ số minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có một số ví dụ được phân tích cho thấy ưu thế của phương pháp trong Luận án so với phương pháp của các tác giả khác.
4. Thực hiện các thực nghiệm tính tốn minh họa cho sự hội tụ của phương pháp lặp.
Hướng phát triển
1. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường cấp cao với các điều kiện biên khác.
2. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn và cấp cao hơn với một số loại điều kiện biên khác và hàm vế phải phức tạp hơn.
3. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với hệ phương trình vi phân cấp bốn và cấp cao hơn với các điều kiện biên phức tạp.
Danh mục các cơng trình đã cơng bố của Luận án
[A1] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2018), Existence results and itera- tive method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type,
Computers and Mathematics with Applications, 76, pp. 11-22 (SCI).
[A2] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), The unique solvability and approximation of BVP for a nonlinear fourth order Kirchhoff type equation,
East Asian Journal on Applied Mathematics, 8(2), pp. 323-335 (SCIE). [A3] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2019), Solving the Dirichlet problem
for fully fourth order nonlinear differential equation, Afrika Matematika, 30,
pp. 623–641 (ESCI, SCOPUS).
[A4] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), Existence results and numer- ical method for a fourth order nonlinear problem, International Journal of
Applied and Computational Mathematics, 4:148, DOI 10.1007/s40819-018- 0584-9 (SCOPUS).
[A5] Dang Quang A, Truong Ha Hai, Nguyen Thanh Huong, Ngo Thi Kim Quy (2017), Solving a nonlinear biharmonic boundary value problem, Journal of
Computer Science and Cybernetics, 33(4), pp. 309–324 (Tạp chí Tin học và Điều khiển học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam).
[A6] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2016), Existence results and iterative methods for solving a nonlocal fourth order boundary value problem, Journal
of Mathematical Applications, 14(2), pp. 63-78 (Tạp chí Ứng dụng Tốn học - Hội Toán học Việt Nam).
[A7] Quang A Dang, Nguyen Thanh Huong (2013), Iterative method for solving a beam equation with nonlinear boundary conditions, Advances in Numerical
Analysis, Volume 2013, Article ID 470258, 5 pages.
[A8] Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường (2017),Lược đồ sai phân giải bài tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính cấp cao, Kỷ yếu
Hội nghị Quốc gia lần thứ X về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’10), Hà Nội, trang 358-368.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt:
[1] Đặng Quang Á (2009), Giáo trình phương pháp số, Nhà xuất bản Đại học
Thái Nguyên.
[2] Ngô Thị Kim Quy (2017), Phương pháp lặp giải bài tốn biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn, Luận án Tiến sĩ Toán học,
Thư viện Quốc gia Việt Nam. [B] Tài liệu Tiếng Anh:
[3] O. Adeyeye, Z. Omar (2017), "Solving Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems Using a Numerical Approach: th-Step Block Method", Int. J. Diff. Equ., 2017, Article ID 4925914, 9 pages.
[4] R.P. Agarwal, Y.M. Chow (1984), "Iterative methods for a fourth order bound- ary value problem", J. Comput. Appl. Math., 10, 203-217.
[5] R.P. Agarwal (1986), Boundary Value Problems for Higher Order Differential Equations, World Scientific, Singapore.
[6] E. Alves, E. Toledo, L.P. Gomes, M.S. Cortes (2009), "A note on iterative solutions for a nonlinear fourth order ode", Bol. Soc. Paran. Mat., 27(1), pp.
15-20.
[7] P. Amster, P.P.C. Alzate (2008), "A shooting method for a nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 68, pp. 2072–2078.
[8] P. Amster, P.D. Nápoli (2006), "An application of the antimaximum principle for a fourth order priodic problem",Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 3,
pp. 1-12.
[9] Y. An, R. Liu (2008), "Existence of nontrivial solutions of an asymptotically linear fourth-order elliptic equations", Nonlinear Anal., 68, pp. 3325-3331.
[10] P.K. Anh (1982), "On the structure of solution sets of nonlinear periodic BVPs", Ukrain. Math. J., 34(2), pp. 250-255.
[11] P.K. Anh, T.D. Hong (1986), "An approximate method for a nonlinear periodic BVP", Acta Math. Vietnam, 11(2), pp. 156-171.
[12] U.M. Ascher, R.M.M. Mattheij, R.D. Russell (1995), Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations, Soc. Indust. Appl.
Math, Philadelphia.
[13] Z. Bai, W. Ge, Y. Wang, (2004), "The method of lower and upper solutions for some fourth-order equations", J. Inequal. Pure and Appl. Math., Volume
5, Issue 1, Article 13.
[14] Z. Bai (2007), "The upper and lower solution method for some fourth order boundary value problems", Nonlinear Anal., 67, pp. 1704-1709.
[15] R.F. Brown (2014), A topological introduction to nonlinear analysis, Springer.
[16] R.L. Burden, J.D. Faires (2011), Numerical Analysis, Ninth Edition,
Brooks/Cole.
[17] Q.A. Dang (2006), "Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic type equation", J. Comput. Appl. Math., 96, pp. 634-
643.
[18] Q.A. Dang, Q.L. Dang, T.K.Q. Ngo (2017), "A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems", Numer. Algor., 76(2), pp.
427-439.
[19] Q.A. Dang, T.L. Vu (2010), "Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary value problem", Comput. Math. Appl., 60(1), pp. 112–121.
[20] Q.A. Dang, T.L. Vu, Q.L. Dang (2010), "Iterative method for solving a fourth order differential equation with nonlinear boundary condition", Appl. Math. Sci., 4, pp. 3467–3481.
[21] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term", Nonlinear Anal.: Real World Appl., 36, pp. 56-68.
[22] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2018), "New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem", Bol. Soc. Paran. Mat., 36(4), pp. 209-
223.
[23] Q.A. Dang, T.K.Q. Ngo (2016), "Numerical solution of a fully fourth order nonlinear problem",Advances in Information and Communication Technology,
Proceedings of the International Conference, Springer, Volume 538, pp. 413- 430.
[24] Q.A. Dang, H.H. Truong (2016), Computational method for a fourth order nonlinear elliptic boundary value problem, 3rd National Foundation for Sci-
ence and Technology Development Conference on Information and Computer Science, Danang, Vietnam.
[25] S. Dhar, L. Kong (2018), "Existence of Multiple Solutions to a Discrete Fourth Order Periodic Boundary Value Problem via Variational Method",Diff. Equa. Dynamical Sys., pp. 1-11.
[26] E.J. Doedel (1979), "Finite difference collocation methods for nonlinear two point boundary value problems", SIAM J. Numer. Anal., 16, pp. 173-185.
[27] J. Du, M. Cui (2010), "Constructive proof of existence for a class of fourth- order nonlinear BVPs", Comput. Math. Appl., 59, pp. 903-911.
[28] Q.R. Dunninger (1972), "Maximum principles for solutions of some fourth- order elliptic equations",J. Math. Anal. Appl., 37, pp. 655-658.
[29] J. Ehme, P.W. Eloe, J. Henderson (2002), "Upper and lower solution methods for fully nonlinear boundary value problems", J. Diff. Equa., 180, pp. 51–64.
[30] V.S. Erturk, S. Momani (2007), "Comparing numerical methods for solving fourth-order boundary value problems", Appl. Math. Comput., 188, pp. 1963-
1968.
[31] H. Feng, D. Ji, W. Ge (2009), "Existence and uniqueness of solutions for a fourth order boundary value problem", Nonlinear Anal., 70, pp. 3561–3566.
[32] F. Geng (2012), "Iterative reproducing kernel method for a beam equation with third-order nonlinear boundary conditions", Math. Sci., 6:1.
[33] J.R. Graef, L. Kong, X. Liu (2016), "Existence of solutions to a discrete fourth order periodic boundary value problem", 22, pp. 1167-1183.
[34] A. Granas, J. Dugundji (2003), Fixed point theory, Springer.
[35] S. Heidarkhani, M. Ferrara, A. Salari, M. Azimbagirad (2016), "A variational approach to perturbed elastic beam problems with nonlinear boundary condi- tions", Math. Reports, 18(68), 4(2016), pp. 573–589.
[36] S. Hu, L. Wang (2014), "Existence of nontrivial solutions for fourth-order asymptotically linear elliptic equations", Nonlinear Anal., 94, pp. 120-132.
[37] H.B. Keller (1987), Numerical solution of two point boundary value problems,
Soc. Indust. Appl. Math., Philadelphia, Pennsylvania.
[38] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin (1957), Elements of the theory of functions and functional Analysis, Volume 1: Metric and Normed Spaces, Graylock press
Rochester.
[39] J. Li (2005), "General explicit difference formulas for numerical differentia- tion",J. Comput. Appl. Math., 183, pp. 29-52.
[40] Y. Li (2010), "A monotone iterative technique for solving the bending elastic beam equations", Appl. Math. Comput., 217, pp. 2200-2208.
[41] Y. Li (2016), "Existence of positive solutions for the cantilever beam equations with fully nonlinear terms", Nonlinear Anal. Real World Appl., 27, pp. 221-
237.
[42] Y. Li, Q. Liang (2013), "Existence results for a fully fourth-order boundary value problem",J. Funct. Spaces Appl., Article ID 641617, 5 pages.
[43] X. Liu, Y. Huang (2010), "On sign-changing solution for a fourth-order asymp- totically linear elliptic problem", Nonlinear Anal., 72, pp. 2271-2276.
[44] X. Liu, Z.P. Wang (2007), "Biharmonic equations with asymptotically linear nonlinearities", Acta Math. Sci., 27B, pp. 549-560.
[45] T.F. Ma (2000), "Existence results for a model of nonlinear beam on elastic bearings", Appl. Math. Lett., 13, pp. 11-15.
[46] T.F. Ma (2003), "Existence results and numerical solutions for a beam equa- tion with nonlinear boundary conditions", Appl. Numer. Math., 47, pp. 189-
196.
[47] T.F. Ma (2004), "Positive solutions for a beam equation on a nonlinear elastic foundation", Math. Comput. Model., 39, pp. 1195-1201.
[48] T.F. Ma, J. Da Silva (2004), "Iterative solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions of third order", Appl. Math. Comput., 159(1),
pp. 11–18.
[49] T.F. Ma (2007), "Positive solutions for a nonlocal fourth order equation of Kirchhoff type", Discrete Cont. Dynam. Sys. (Suppl.), pp. 694–703.
[50] T.F. Ma, A.L.M. Martinez (2010), "Positive solutions for a fourth order equa- tion with nonlinear boundary conditions", Math. Comput. Simul., 80(11), pp.
[51] Y.A. Melnikov, M.Y. Melnikov (2012), Green’s Functions: Construction and Applications, De Gruyter.
[52] F. Minhós, T. Gyulov, A.I. Santos (2009), "Lower and upper solutions for a fully nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 71, pp. 281–292.
[53] R.K. Mohanty (2000), "A fourth-order finite difference method for the gen- eral one-dimensional nonlinear biharmonic problems of first kind",J. Comput. Appl. Math., 114, pp. 275-290.
[54] M.A. Noor, S.T. Mohyud-Din (2007), "A efficient method for fourth-order boundary value problems", Comput. Math. Appl., 54, pp. 1101-1111.
[55] C.V. Pao (2000), "On fourth-order elliptic boundary value problems", Proc. Amer. Math. Soc., 128, pp. 1023-1030.
[56] C.V. Pao (2001), "Numerical methods for fourth order nonlinear elliptic boundary value problems", Numer. Meth. Part. Diff. Equ., 17, pp. 347-368.
[57] R. Pei (2010), "Multiple solutions for biharmonic equations with asymptoti- cally linear nonlinearities",Bound. Value Probl., 2010, Article ID 241518.
[58] M. Pei, S.K. Chang (2011), "Existence of solutions for a fully nonlinear fourth- order two-point boundary value problem", J. Appl. Math. Comput., 37, pp.
287-295.
[59] M.H. Protter, H.F. Weinberger (1984), Maximum Principles in Differential Equations, Springer.
[60] M. Ronto, A.M. Samoilenko (2000),Numerical Analytic methods in the theory of boundary value problem, World Sci. Publ, Singapore.
[61] A.A. Samarskii (2001), The Theory of Difference Schemes, New York, Marcel
Dekker.
[62] A.A. Samarskii, E. Nikolaev (1989), Numerical methods for grid equation, vol.
1: Direct Method, Birkhauser, Basel.
[63] J. Talwar, R.K. Mohanty (2012), "A Class of Numerical Methods for the Solu- tion of Fourth-Order Ordinary Differential Equations in Polar Coordinates",
Adv. Numer. Anal., 2012, Article ID 626419, 20 pages.
[64] B. Yang (2005), "Positive solutions for a fourth order boundary value prob- lem", Elect. J. Quali. Theo. Diff. Equa., 3, pp. 1-17.
[65] S. Yardimci, E. Ugurlu (2014), "Nonlinear fourth order boundary value prob- lem", Bound. Value Prob., 2014:189.
[66] F. Wang, Y. An (2012), "Existence and multiplicity of solutions for a fourth- order elliptic equation", Bound. Value Probl., 2012, 2012:6.
[67] Y.M. Wang (2005), "On fourth-order elliptic boundary value problems with nonmonotone nonlinear function", J. Math. Anal. Appl., 307, pp. 1-11.
[68] Y.M. Wang (2006), "Convergence analysis of a monotone method for fourth- order semilinear elliptic boundary vale problems", Appl. Math. Lett., 19, pp.
332-339.
[69] Y.M. Wang (2007), "Error and stability of monotone method for numerical so- lutions of fourth-order semilinear elliptic boundary vale problems",J. Comput. Appl. Math., 200, pp. 503-519.
[70] Y.M. Wang (2007), "Monotone iterative technique for numerical solutions of fourth-order nonlinear elliptic boundary value problems",Appl. Numer. Math.,
57, pp. 1081-1096.
[71] E. Zeidler (1986), Nonlinear functional analysis and its applications, I: Fixed-