Tối đa hóa độ thỏa dụng và tối thiểu hóa chi phí

Cách thứ nhất, người tiêu dùng tối đa hóa độ thỏa dụng (Max. U(q)) với điều kiện ràng buộc là ngân sách bị giới hạn, hướng này cho ra hàm cầu Marshallian, là một hàm theo giá và thu nhập. Hàm cầu này thường được gọi là hàm cầu thông thường (hàm cầu có độ co giãn khơng bù đắp - Uncompensated Elasticity), và ký hiệu là D(p, x). Cách thứ hai, người tiêu dùng tối thiểu hóa chi phí (Min. pq) với điều kiện độ thỏa dụng không đổi, giả định rằng sự thay đổi trong thu nhập của người tiêu dùng sẽ “bù đắp” cho sự thay đổi của giá cả để duy trì được độ thỏa dụng như ban đầu, cách này cho ta hàm cầu Hicksian, là một hàm theo giá và độ thỏa dụng (hàm cầu có độ co giãn bù đắp - Compensated Elasticity), và ký hiệu là H(p, U) (Hugh Gravelle & Ray Rees, 2004, trích trong Phạm Thành Thái, 2013).

(b) Cách tiếp cận xây dựng hàm cầu vi phân

Trái ngược với các cách tiếp cận tối ưu hóa đã được trình bày ở trên, cách tiếp cận xác định tổng số phương trình vi phân khơng địi hỏi xác định một dạng hàm đại số cụ thể về hàm thỏa dụng, hàm thỏa dụng gián tiếp hay hàm chi phí. Nghiệm của phương trình ma trận cơ bản được sử dụng để xây dựng một hệ các phương trình đường cầu vi phân tổng quát. Lấy vi phân tổng của phương trình (2.1) trong mục 2.4 ta được:

q n q

dqi  i x

x dpp k

(với i = 1, 2,…, n) (ii.1)

k 1 k

Phương trình (ii.1) được chuyển sang dạng hàm log bằng cách nhân hai vế với pi /x và thay wi = piqi /x ta được: wid (ln qi )  pi qi x n d (ln x)   pi qk x dq i  p ln( p k ) (ii.2) k 1 k

Tiếp tục đơn giản hóa phương trình (ii.2) sẽ tạo ra phương trình đường cầu cho hàng hóa i được biểu diễn bằng:

n w d (ln q ) d (ln Q)  ln( pk ) (ii.3) i i i  ik k 1 P

Trong đó, d(lnQ) là chỉ số lượng Divisia, và d(lnP) là chỉ số giá Frisch. Vì cách tiếp cận vi phân bắt đầu với phương trình hàm cầu Marshallian để tạo ra hệ thống các phương trình hàm cầu được thể hiện dưới dạng mối quan hệ giữa sản lượng, giá cả và thu nhập. Do đó, cách tiếp cận này tạo ra hệ thống các phương trình hàm cầu phù hợp với lý thuyết tiêu

dùng. Barten (1964) và Theil (1965) sử dụng cách tiếp cận vi phân này để xây dựng ra mơ hình Rotterdam.

Phụ lục 3: Xây dựng hàm cầu theo cách tiếp cận đối ngẫu

(a) Xây dựng hàm cầu Marshallian

Để tạo ra các phương trình hàm cầu Marshallian ta giả định rằng người tiêu dùng sẽ tối đa hóa độ thỏa dụng trong điều kiện giới hạn ngân sách. Độ thỏa dụng được giả định là một hàm đồng biến với lượng hàng hóa tiêu dùng, nhưng độ thỏa dụng biên sẽ giảm khi tiêu dùng tăng lên. Hàm thỏa dụng của người tiêu dùng cho n loại hàng hóa có liên quan với nhau có dạng sau:

(iii.4)

Trong đó: qi là số lượng tiêu dùng của hàng hóa thứ i, với i = 1, 2,…,n.

Hàm thỏa dụng được tối đa hóa với điều kiện ràng buộc về ngân sách là hàm tuyến tính.

ớ

Trong đó, pi là giá của hàng hóa i, và x là thu nhập hoặc tổng chi tiêu. Lý thuyết giả định rằng hàm thỏa dụng là khả vi; là hàm khơng giảm của lượng hàng hóa tiêu dùng và các hàng hóa có thể chia nhỏ đến vơ cùng cho nên mỗi độ thỏa dụng biên là dương.

Khi đó, ta có: ớ ) (iii.6)

Như đã trình bày ở trên, cầu hàng hóa của một người tiêu dùng là tối đa hóa độ thỏa dụng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách chi tiêu. Vì vậy, để xây dựng hàm cầu, ta giải bài tốn tối đa hóa độ thỏa dụng ở phương trình (iii.4) với ràng buộc ngân sách ở phương trình (iii.5) . Để giải bài tốn này, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.

Hàm Lagrange cho bài tốn tối đa hóa độ thỏa dụng như sau:

Tham số được gọi là nhân tử Lagrange, và được hiểu như là độ thỏa dụng biên theo thu nhập.

Lấy đạo hàm riêng phần bậc 1 của phương trình (iii.7) theo q và ta có:

với i=1, 2, …, n (iii.8)

Các đạo hàm bậc nhất ở phương trình (iii.8) và (iii.9) cho ta một hệ gồm (n+1) phương trình, giải hệ này ta tìm được (n +1) ẩn số q1, q2, ..., qn và , với n là số hàng hóa được chi tiêu. Số lượng tiêu dùng tối ưu phụ thuộc vào thu nhập và giá cả của người tiêu dùng. Do đó, các hàm cầu Marshallian có thể được viết là:

*

= Di(p1, p2,…, pn, x) = Di(x,p) ( với i = 1, 2, …, n) (iii.10)

(b) Xây dựng hàm cầu Hicksian

Hàm chi phí của người tiêu dùng là đối ngẫu với hàm thỏa dụng, để thấy được điều này, ta xét bài tốn đối ngẫu “tối thiểu hóa chi phí” để đạt mức lợi ích nhất định.

Hàm chi phí có dạng sau: n  piqi x i1 (iii.11) Trong đó:

pi: là giá của hàng hóa i

x: là thu nhập hoặc tổng chi tiêu

Hàm chi phí tối thiểu hóa với điều kiện ràng buộc về độ thỏa dụng không đổi như sau:

U* = U(q1, q2,…,qn) (iii.12)

Trong đó: qi là số lượng tiêu dùng của hàng hóa thứ i, với i = 1, 2,…, n.

Về mặt toán học để xây dựng hàm cầu Hicksian, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Hàm Lagrange cho bài toán tối thiểu hóa chi phí có dạng sau:

n L(q, ) qi pi (U U (q1 , q2 ,..., qn )) (iii.13) i1

Trong đó, tham số µ được gọi là nhân tử Lagrange. qi

Để xây dựng hàm cầu Hicksian ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange và biến đổi để giải một hệ phương trình gồm (n+1) phương trình để tìm (n +1) ẩn số q1, q2, ..., qn và µ. Kết quả là các số lượng qi là duy nhất và dương với các giá trị đã biết của giá cả và độ thỏa dụng. Số lượng tối ưu phụ thuộc vào độ thỏa dụng và giá cả. Hàm cầu Hicksian (hàm cầu bù đắp) có thể được viết là:

* = Hi(p1, p2,…, pn, U) = Hi(U,p) với i = 1, 2, …, n. (iii.14)

Trong đó, p = (p1, p2,…, pn).

(c) Độ co giãn của cầu

Từ hàm cầu Marshallian Di(p, x) công thức tính độ co giãn của cầu theo thu nhập, giá

riêng và giá chéo được xác định như sau:

(1) Độ co giãn của cầu theo thu nhập

Độ co giãn của cầu theo thu nhập đo lường mức độ thay đổi lượng cầu của một mặt hàng khi thu nhập của người tiêu dùng thay đổi với điều kiện các yếu tố khác khơng đổi. Nó cho biết khi thu nhập thay đổi 1% thì lượng cầu thay đổi bao nhiêu %. Độ co giãn của cầu theo thu nhập được tính theo cơng thức sau:

E Di ( p, x)

i

x D x

i ( p, x)

Nếu Ei < 0: mặt hàng đang xét có thể là hàng thứ cấp; nếu 0 < Ei < 1: mặt hàng đang xét có thể là hàng thiết yếu; và nếu Ei > 1: mặt hàng đang xét có thể là hàng xa xỉ.

(2) Độ co giãn của cầu theo giá riêng

Độ co giãn của cầu theo giá riêng đo lường mức độ thay đổi lượng cầu của một hàng hóa khi giá của nó thay đổi với điều kiện các yếu tố khác không đổi. Độ co giãn theo giá riêng cho biết khi giá thay đổi 1% thì lượng cầu của hàng hóa đó thay đổi bao nhiêu %.

Độ co giãn của cầu theo giá riêng được tính theo cơng thức sau:

Eii Di ( p, x) pi pi Di ( p, x) qi

Nếu Ei i

1: cầu co giãn nhiều theo

giá; nếu

Ei i

1: cầu co giãn đơn vị; nếu 0  Eii



1 : cầu co giãn ít theo giá; nếu

giãn hoàn toàn theo giá.

Ei i

0 : cầu hồn tồn khơng co giãn;

và nếu

Ei i

 :

cầu co (3) Độ co giãn của cầu theo giá chéo

Độ co giãn của cầu theo giá chéo đo lường mức độ thay đổi lượng cầu của một hàng hóa khi giá các hàng hóa khác thay đổi, với điều kiện các yếu tố khác không thay đổi. Độ co giãn chéo cho biết khi giá của một mặt hàng liên quan thay đổi 1% thì lượng cầu của hàng hóa đang xét thay đổi bao nhiêu %. Độ co giãn của cầu theo giá chéo giữa hàng hố i và j

được tính theo cơng thức sau:

Eij Di ( p, x) p j pi Di ( p, x)

Nếu Eij < 0: i và j là hai hàng hóa bổ sung; nếu Eij > 0: i và j là hai hàng hóa thay thế; và

nếu Eij = 0: i và j là hai hàng hóa độc lập.

(d) Các tính chất của hàm cầu

Theo Deaton và Muellbauer (1980) hàm cầu có 4 tính chất quan trọng gồm: (1) tính cộng dồn; (2) tính đồng nhất; (3) tính đối xứng; và (4) tính nghịch chiều. Đây là 4 tính chất để kiểm định tính xác thực giá trị về mặt lý thuyết của các hàm cầu ước lượng trong nghiên cứu thực nghiệm cầu tiêu dùng.

(1) Tính cộng dồn (adding - up): Tính chất cộng dồn được đảm bảo nếu tổng chi tiêu ước lượng cho các hàng hóa khác nhau bằng tổng chi tiêu của người tiêu dùng tại một thời điểm nhất định.

(2) Tính đồng nhất: Nếu cả mức giá và thu nhập thay đổi với một tỷ lệ tương ứng thì lượng cầu vẫn khơng thay đổi.

(3) Tính đối xứng của các đạo hàm chéo theo giá (ảnh hưởng thay thế chéo) của hàm cầu bù đắp (hàm cầu Hicksian).

(4) Tính nghịch chiều, dùng để chỉ các hàm cầu bù đắp (hàm cầu Hicksian) có dạng dốc xuống.

Phụ lục 4: Các dạng hàm cầu mơ hình phương trình đơn

(a) Các dạng hàm log kép

Mơ hình nghiên cứu dạng phương trình đơn được xem là mơ hình nghiên cứu về cầu tiêu dùng xuất hiện đầu tiên, đây là dạng hàm cầu tuyến tính theo các tham số, trong đó dạng hàm log kép là dạng hàm phổ biến nhất (Deaton và Muellbaue, 1980, trích trong Phạm Thành Thái, 2013). Mơ hình này được xây dựng như sau:

Gọi qit là số lượng được tiêu dùng của hàng hóa i tại thời điểm t, pjt là giá của hàng hóa j tại thời điểm t và Xt là mức chi tiêu tại thời điểm t, hàm log kép có dạng

ln qit i eij ln pit

 ei ln Xt Ut

j

(iv.15)

Các tham số ước lượng được có thể được giải thích như là độ co giãn của cầu theo giá và độ co giãn theo thu nhập. Với j là các hàng hóa mà chúng được giả định có mối quan hệ với hàng hóa i.

Các nhà kinh tế đã phát hiện ra có sự khác biệt về hành vi trong ngắn hạn và dài hạn. Houthakker và Taylor’s (1966) cho rằng tiêu dùng hiện tại phụ thuộc vào tiêu dùng ở thời ký trước đó, nên hàm log kép và được viết như sau:

ln qit i ci ln qit1 eij ln

pit ei ln Xt Ut

j

(iv.16)

Đến những năm 1970, các nghiên cứu cầu tiêu dùng dựa trên dữ liệu chuỗi thời gian được quan tâm, một dạng hàm log kép mới được đề xuất. Ý tưởng cơ bản của mơ hình này là một mơ hình tự hồi quy theo các độ trễ dựa, có thể được viết như sau:

r s s ln qit i cik ln qitk  eijl ln pitl  eil ln Xtl Ut (iv.17) k 1 i l0 l0

Trong đó r và s là số lượng các độ trễ, và có địi hỏi là chúng được chọn đủ lớn để giải thích cho tất cả tính động.

Nhìn chung, hệ thống hàm cầu dạng log kép có ưu điểm là dễ ước lượng, các hệ số hồi qui được giải thích là độ co giãn của cầu. Tuy nhiên, các hàm cầu này có nhược điểm là khả năng dự báo kém và xảy ra hiện tượng tự tương quan khi ước lượng. Hơn nữa, việc chỉ sử

dụng mơ hình phương trình đơn sẽ bỏ qua tác động của các hàng hóa liên quan đến lượng cầu của hàng hóa đang xét khi giá của những hàng hóa liên quan thay đổi.

(b) Phân tích Stone

Mơ hình của Stone (1954) là mơ hình hàm cầu dạng logarithmic.

ln qi i Ai ln x Eij ln p j Ui

j

(iv.18)

Trong đó, Ai là độ co giãn theo thu nhập (tổng chi tiêu) và Eij là độ co giãn riêng (i = j) và độ co giãn chéo theo giá (i ≠ j).

Sau này hàm cầu này được điều chỉnh thành dạng hàm như phương trình (v.19) khi dụng phương trình Slutsky và thừa nhận ràng buộc đồng

nhất (E* 0) . ln q A ln x  E* ln P p j  Ui P (iv.19) ij j

Với P là chỉ số giá chung, và j là các hàng hóa thay thế và bổ sung có liên quan với hàng hóa i.

Ưu điểm của phân tích Stone là có thể ước lượng được hiệu ứng thu nhập và hiệu ứng thay thế với một hệ số co giãn cố định, áp đặt tính đồng nhất và cho phép kiểm tra ràng buộc âm cho các hệ số co giãn theo giá riêng. Nhược điểm của phân tích Stone là nó khơng bắt nguồn từ một hàm hữu dụng hợp lý, ngoại trừ trường hợp hiếm khi gặp là khi độ co giãn của cầu theo thu nhập và theo giá riêng thống nhất với nhau và độ co giãn theo giá chéo bằng không. Như vậy nó khơng được đảm bảo về mặt lý thuyết cầu. Phân tích này được Stone sử dụng và có ảnh hưởng đáng kể trong phân tích tiêu dùng sau chiến tranh thế giới lần thứ 2.

Phụ lục 5: Các mơ hình hàm cầu hệ thống

(a) Working-Lesser

Mơ hình này do Working (1943) và Leser (1963) đề xuất, đây là một trong những dạng hàm cầu thường được sử dụng trong nghiên cứu cầu tiêu dùng. Mơ hình Working – Leser tổng qt có thể được viết như sau:

i j

n wi 0 i ln x  ij ln p j Ui i1 (v.20) Trong đó: i: sản phẩm thứ i, với i = 1, 2,…, n.

wi : Phần chi tiêu cho sản phẩm i trong tổng chi tiêu.

x: Tổng chi tiêu của tất cả các mặt hàng có trong mơ hình.

Cơng thức tính độ co giãn theo chi tiêu (Ai) được biểu diễn như sau:

A 1 i  (v.21) i w  i 

Lấy đạo hàm của phương trình (vi.20) theo ln(pj) ta có độ co giãn (Eij) của cầu theo giá riêng (j = i) và theo giá chéo (j ≠ i) như sau:

E ij

i

i, j 

1,2,..., n

(v.22)

Trong đó: ij là chỉ số Kronecker (Kronecker delta), bằng 1 khi i = j và ngược lại bằng 0. Mơ hình Working – Leser được sử dụng khá phổ biến trong các nghiên cứu cầu tiêu dùng trong thực nghiệm vì nó đảm bảo được u cầu của lý thuyết cầu của hàm cầu Marshallian là tính cộng dồn và tính đồng nhất.

(b) Hệ thống chi tiêu tuyến tính (Linear Expenditure System - LES)

Hệ thống chi tiêu tuyến tính của Stone (1954) là một trong những mơ hình hàm cầu đầu tiên được xây dựng từ lý thuyết cầu (Phạm Thành Thái, 2013). Hàm cầu này có dạng sau:

qi i   i k x   pii i1 p (v.23) i Hay: k  w ij 

piqi pii i

(x  pii )

Trong đó: i 1. Tham số γi được giải thích là lượng cầu tối thiểu cần thiết (or

i

subsistence quantities). Chỉ số piγi ở mơ hình (v.24) biểu thị cho chi tiêu, chỉ số cịn lại bên phải trong mơ hình (v.24) mơ tả phần cịn lại sau khi đã chi tiêu cho những lượng cầu tối thiểu đó. Dạng hàm cầu này được hình thành từ hàm thỏa dụng có dạng:

k

U (q) i ln(qi i )

i1

Phương trình (v.24) là tuyến tính với các biến trong mơ hình nhưng khơng tuyến tính với tham số βi và γi, vì vậy nó địi hỏi sử dụng phương pháp ước lượng phi tuyến tính.

Nhìn chung, hệ thống chi tiêu tuyến tính có ưu điểm là áp đặt được các ràng buộc của lý thuyết cầu, và được xây dựng từ một hàm thỏa dụng rõ ràng. Mặt khác, hàm thỏa dụng này là khá chặt chẽ, và đã loại trừ hàng hóa bổ sung. Nó cũng áp đặt tính xấp xỉ của độ co giãn của cầu theo giá và theo thu nhập, đây là ràng buộc không theo yêu cầu của lý thuyết kinh tế. Hơn nữa, các ràng buộc kinh tế lên mơ hình khơng được nới lỏng, vì vậy, khó có thể kiểm định các ràng buộc được mặc định bởi lý thuyết cầu tiêu dùng đối với dữ liệu.

(c) Mơ hình hàm cầu Translog

Hệ thống hàm cầu translog (TL) do Christensen và đ.t.g (1975) đề xuất. Hệ thống hàm cầu translog được xây dựng bằng việc áp dụng mệnh đề Roy với một đặc trưng bậc hai dạng logarit của hàm thỏa dụng gián tiếp được viết trong điều kiện giá cả được chuẩn hóa theo chi tiêu. Hàm thỏa dụng gián tiếp logarit bậc hai được viết như sau:

lnU ( p, x)  ln( p / x) 1 2 jk ln( pk / x) ln( p j / x) (v.25) k k j

Với k, j = 1, 2,…, n. Áp dụng mệnh đề Roy cho phương trình (v.25), kết quả phương trình hàm cầu như sau:

i ik ln( pk / x) w  k i (m    mk ln( p k / x)) m k (v.26) I 0 k k

Trong đó, i = 1, 2,…, n. Mẫu số của phương trình (v.26) là tổng giá trị các tử số tương ứng với các mức chi tiêu. Phương trình này cịn có thể được viết dưới dạng: