(ảnh bên trái là góc nhìn một bên (trái) và ảnh bên phải là góc nhìn từ trên xuống)
Với 𝜎 = 0 cho mode phân cực TE và 𝜎 = 1 cho mode phân cực TM.
Bằng cách sử dụng xấp xỉ hàm Taylor bậc hai với điều kiện:
𝑘𝑥𝑣2 ≪ 𝑘02𝑛𝑟2 , hằng số truyền 𝛽𝑣 có thể đuợc rút gọn từ phương trình (3.1) và (3.3) là
[13]:
𝛽𝑣 = 𝑘0𝑛𝑟−(𝑣 + 1)
2𝜋𝜆
4𝑛𝑟𝑊𝑒2 (3.5)
Do đó, hằng số truyền trong một ống dẫn sóng đa mode chiết suất phân bậc cho thấy sự phụ thuộc bình phương với số mode 𝑣.
Ta định nghĩa 𝐿𝜋 là nửa chiều dài phách (half-beat length) giữa 2 mode bậc thấp nhất sẽ được tính với cơng thức [13]:
𝐿𝜋 = 𝜋
𝛽0−𝛽1≈ 4𝑛𝑟𝑊𝑒2
3𝜆0 (3.6)
Chương 3: Cấu tạo thiết bị tách/ghép mode TM và các phương pháp thiết kế
(𝛽0 − 𝛽𝑣) =𝑣(𝑣+2)𝜋
3𝐿𝜋 (3.7)
Bằng cách giả thiết rằng MMI có ít nhất một số ít mode được dẫn và các mode phát xạ của phần MMI khơng được kích thích, trường đầu vào 𝜓(𝑥, 0) là phổ hẹp đủ để khơng kích thích các mode khơng được dẫn, ta có thể khai triển được theo các thành phần của các mode được dẫn trong vùng đa mode [13]:
𝜓(𝑥, 0) = ∑ 𝑐𝑣𝜓𝑣
𝑣
(𝑥) (3.8)
Với 𝜓𝑣(𝑥) là phân bố mode bậc thứ 𝑣 và 𝑐𝑣 là hệ số kích thích mode bậc thứ 𝑣, cho bởi tích phân chồng chất sau [13]:
𝑐𝑣 =∫ 𝜓(𝑥, 0)𝜑𝑣(𝑥)𝑑𝑥
√∫ 𝜑𝑣2(𝑥)𝑑𝑥 (3.9)
Trường 𝜓(𝑥, 𝑧) truyền dọc theo trục z có thể được xem như là sự siêu xếp chồng của tất cả các mode được dẫn, nghĩa là [13]:
𝜓(𝑥, 𝑧) = ∑ 𝑐𝑣
𝑚−1
𝑣=0
𝜑𝑣(𝑥)[𝑗(𝜔𝑡 − 𝛽𝑣𝑧)] (3.10)
Lấy pha của mode cơ sở (bậc 0) là nhân tử chung ra bên ngồi của tống, tách nó và giả thiết rằng thành phần phụ thuộc ẩn, trường 𝜓(𝑥, 𝑧) trở thành [13]:
𝜓(𝑥, 𝑧) = ∑ 𝑐𝑣
𝑚−1
𝑣=0
𝜑𝑣(𝑥)[𝑗(𝛽0− 𝛽𝑣)𝑧] (3.11)
Bằng cách thế hằng số truyền từ phương trình (3.7) vào phương trình trên ta được [13]: 𝜓(𝑥, 𝑧) = ∑ 𝑐𝑣 𝑚−1 𝑣=0 𝜑𝑣(𝑥)𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋 3𝐿𝜋 𝑧] (3.12)
Dạng của trường sóng 𝜓(𝑥, 𝑧 = 𝐿) và cuối cùng kiểu của ảnh được tạo sẽ đuợc xác định bởi hệ số kích thích 𝑐𝑣 và đặc tính của nhân tử pha mode [13]:
𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋
Chương 3: Cấu tạo thiết bị tách/ghép mode TM và các phương pháp thiết kế
Có thể thấy rằng: dưới một khoảng cách chu kỳ, trường 𝜓(𝑥, 𝐿) sẽ được tái tạo lại trường đầu vào 𝜓(𝑥, 0).
3.4 Tổng quan về các loại giao thoa
Có các loại giao thoa sau:
- Giao thoa tổng quát (General interference - GI): là giao thoa độc lập với kích thích mode.
- Giao thoa hạn chế (Restricted interference - RI): là do sự kích thích mode chắc chắn tại một số vị trí mode xác định đơn lẻ.
Các tính chất sau đây sẽ được sử dụng trong việc đối chiếu [13]:
𝑣(𝑣 + 2) 𝑐ℎẵ𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑣 𝑐ℎẵ𝑛, 𝑣(𝑣 + 2)𝑙ẻ 𝑣ớ𝑖 𝑣 𝑙ẻ (3.14)
𝜓𝑣(−𝑥) = 𝜓𝑣(𝑥)𝑘ℎ𝑖 𝑣 𝑐ℎẵ𝑛, 𝜓𝑣(−𝑥)
= −𝜓𝑣(𝑥)𝑘ℎ𝑖 𝑣 𝑙ẻ (3.15)
3.4.1 Giao thoa tổng quát -GI
Cơ chế giao thoa tổng quát là độc lập với sự kích thích mode, tức là khơng giới hạn vào hệ số kích thích mode 𝑐𝑣. Ta xem xét các trường hợp sau đây:
3.4.1.1 Các đơn ảnh
Từ phương trình (3.13) ta thấy rằng trường 𝜓(𝑥, 𝐿) sẽ là một ảnh của 𝜓(𝑥, 0) nếu [13]:
𝑒𝑥𝑝 [𝑗𝑣(𝑣 + 2)𝜋
3𝐿𝜋 𝐿] = 1 ℎ𝑜ặ𝑐 (−1)
𝑣 (3.16)
Điều kiện này cho ta kết quả [13]:
𝐿 = 𝑝(3𝐿𝜋) 𝑣ớ𝑖 𝑝 = 0,1,2 … (3.17)
Hệ số 𝑝 biểu thị bản chất định kỳ của hình ảnh dọc theo ống dẫn sóng đa mode.
3.4.1.2 Các đa ảnh
Ngồi các đơn ảnh thì các đa ảnh nhận tại các vị trí có khoảng cách là nữa độ dài của các khoảng cách đơn ảnh, do có sự chụp ảnh đối xứng gương (mirrored images). Đa ảnh do vậy có được ở các khoảng cách [13]:
Chương 3: Cấu tạo thiết bị tách/ghép mode TM và các phương pháp thiết kế
𝐿 =𝑝
2(3𝐿𝜋) 𝑣ớ𝑖 𝑝 = 1,3,5 … (3.18)
Đối với cấu trúc 𝑁 đầu vào sẽ được tạo dạng ở khoảng cách [13]:
𝐿 = 𝑝
𝑁(3𝐿𝜋) (3.19)
3.4.2 Giao thoa hạn chế -RI
Cơ chế giao thoa phụ thuộc vào sự kích thích mode trong ống dẫn sóng. Trong phần này, chỉ trình bày khả năng và cách thức để tạo ra các bộ ghép MMI mà chỉ vài mode được kích thích trong vùng MMI bởi trường đầu vảo. Cơ chế giao thoa như vậy gọi là giao thoa hạn chế. Sự kích thích có chọn lọc này có liên quan đến nhân tử pha mode 𝑣(𝑣 + 2). Đại lượng này cho phép cơ chế giao thoa mới với chu kỳ ngắn hơn. Có hai trường hợp xét đến sau đây:
3.4.2.1 Giao thoa theo cặp
Để ý rằng [13]:
𝑣(𝑣 + 2) ≡ 𝑚𝑜𝑑(3)𝑣ớ𝑖 𝑣 ≠ 2,5,8,11 … (3.20)
Rõ ràng chiều dài chu kỳ của nhân tử pha mode sẽ giảm đi 3 lần nếu [13]:
𝑐𝑣 = 0, 𝑣ớ𝑖 𝑣 = 2,5,8,11 … (3.21)
Do đó các đơn ảnh (trực tiếp và đảo ngược) của trường đầu vào 𝜓(𝑥, 0) sẽ nhận được tại các khoảng cách [13]:
𝐿 = 𝑝(𝐿𝜋)𝑣ớ𝑖 𝑝 = 0,1,2 … (3.22)
Điều đó chứng tỏ rằng: các mode 𝑣 = 2,5,8,11 … khơng được kích thích trong ống dẫn sóng đa mode. Tương tự ta thu được hai ảnh đứng sẽ được tìm thấy tại 𝐿 = (𝑝
2𝐿𝜋) với p lẻ.
Tổng quát cho hệ thống 𝑁 ảnh đứng sẽ được tạo ra tại khoảng cách [13]:
𝐿 = 𝑝
𝑁(𝐿𝜋)𝑣ớ𝑖 𝑝 = 0,1,2 … (3.23)
Chương 3: Cấu tạo thiết bị tách/ghép mode TM và các phương pháp thiết kế
3.4.2.2 Giao thoa đối xứng
Một bộ chia quang 𝑁 cũng có thể được tạo ra bằng phương pháp giao thoa tổng quát 𝑁 ảnh đứng ở trên. Tuy nhiên, bằng cách chỉ các mode đối xứng chẵn, bộ chia 1 đến 𝑁 có thể được chế tạo với ống dẫn sóng 4 lần ngắn hơn.
Chú ý rằng [13]:
𝑣(𝑣 + 2) ≡ 𝑚𝑜𝑑(4)𝑣ớ𝑖 𝑣 𝑐ℎẵ𝑛 (3.24)
Rõ ràng các chiều dài chu kỳ của pha mode sẽ giảm 4 lần nếu [13]:
𝑐𝑣 = 0, 𝑣ớ𝑖 𝑣 = 1,3,5,7 … (3.25)
Do đó, ảnh đơn của trường đầu vào 𝜓(𝑥, 0) sẽ được nhận tại [13]:
𝐿 = 𝑝(3𝐿𝜋
4 )𝑣ớ𝑖 𝑝 = 0,1,2 … (3.26)
Tổng quát 𝑁 ảnh đứng sẽ được nhận tại các khoảng cách [13]:
𝐿 = 𝑝
𝑁(
3𝐿𝜋
4 )𝑣ớ𝑖 𝑝 = 0,1,2 … (3.27)
Với: 𝑝 ≥ 0, 𝑁 ≥ 1 là các số ngun khơng có chung ước số.
3.5 Cơng thức Bachmann giải thích pha của trường đầu vào và ra ở các cổng của bộ MMI bộ MMI
3.5.1 Sự biểu diễn các mode riêng lẻ
3.5.1.1 Phân tích các mode riêng lẻ
Lý thuyết này được phát triển cho bất kỳ phân bố ánh sáng đầu vào 𝑓(𝑥). Phân bố đầu vào này được phân tích bên trong các mode riêng lẻ (eigenmode) của bộ MMI. Khi việc phân tích hồn thành, nhìn chung ta cần một con số hữu hạn các mode dẫn sóng giam giữ tồn bộ bên trong bộ MMI (tính cho phép tính xấp xỉ dẫn sóng mạnh). Kết quả thu được tù phép tính xấp xỉ lỗi đã được nghiên cứu và là rất ít ỏi với các cấu trúc giam hãm sóng mạnh. Khi thực hành với một số lượng giới hạn các mode riêng lẻ, phân bố đầu vào được phân tích vào trong các mode riêng lẻ, và các thành phần trường còn lại bị mất.
Kết quả này có thể được mơ tả với sự phân tích một số các mode. Lý thuyết về sự phân tích mode, việc sửa chữa các phần cịn lại cho các ứng trong trong thực tế, nơi
Chương 3: Cấu tạo thiết bị tách/ghép mode TM và các phương pháp thiết kế
mà các phân bố ánh sáng 𝑓(𝑥) là chỉ các mode dẫn sóng và ưu tiên hơn, các mode thấp hơn là được quan tâm.
Các mode dẫn sóng mạnh của bộ MMI có dạng thức[3]:
𝑄𝑖 = sin [𝜋(𝑣 + 1) 𝑥
𝑊] 𝑣ớ𝑖 𝑣 = 0,1,2 … (3.28)
Các mode truyền sóng mạnh hầu như giam giữ toàn bộ ánh sáng nên các mode ở bên của chúng sẽ chứa những số nguyên của một nữa khoảng bên trong ống dẫn sóng. Vậy nên hằng số truyền sóng ngang 𝑘𝑥𝑣 =(𝑣+1)𝜋
𝑊 . Từ cơng thức (3.1) ta có được [3]: 𝛽𝑣2 = 𝑘02𝑛𝑟2− 𝑘𝑥𝑣2 (3.29) Sử dụng phương pháp xấp xỉ từng phần, ta có được [3]: 𝛽0 ≅ 𝑛𝑟𝑘0−∆𝛽01 3 (3.30) ∆𝛽01 = 𝛽0− 𝛽1 ≅ 3𝜋 2 2𝑛𝑟𝑘0𝑊𝑒2 (3.31) 𝛽1 ≅ 𝛽0− 𝑣(𝑣 + 2)∆𝛽01 3 (3.32)
Với 𝑘0 là hằng số truyền sóng trong chân khơng, và 𝑣 là số thứ tự mode.
3.5.1.2 Phân bố trường đầu ra
Ta tính tốn ra được bộ MMI có độ dài 𝐿𝑀𝑁 [3]:
𝐿𝑀𝑁 =𝑀 𝑁 3𝐿𝜋 = 𝑁 𝑀 3𝜋 ∆𝛽01 (3.33)
Với 𝐿𝜋 là nửa độ dài phách của hai mode bậc thấp nhất. 𝑀 và 𝑁 là các số nguyên dương không liên quan đến ước số chung 𝑎. Điều này cho phép việc phân tích bất kỳ thiết bị với độ dài tuỳ ý. 𝑁 là số ảnh tự chụp (số đầu vào hoặc ra) và 𝑀 định nghĩa thiết bị có độ dài khác nhau có khả năng xảy ra với 𝑁 ảnh. Thiết bị ngắn nhất được sử dụng là 𝑀 = 1.
Chương 3: Cấu tạo thiết bị tách/ghép mode TM và các phương pháp thiết kế
3.5.2 Nguồn gốc của pha các cổng đầu vào hoặc ra với giá trị 𝑴 = 𝟏
Được cho bởi độ rộng 𝑊𝑒 và một số được chọn số ảnh 𝑁 ta sử dụng thông số tự do thêm vào 𝑎 ở các vị trí đầu vào và đầu ra với giới hạn là 0 < 𝑎 < 𝑊𝑒
𝑁. Hình 3.3 và 3.4 thể hiện cho trường hợp 𝑁 chẵn và 𝑁 lẻ tương ứng:
Hình 3. 3: Bộ MMI với ống dẫn sóng truy nhập mơ tả với trường hợp N chẵn.