a) Phép cộng, trừ đa thứcĐịnh nghĩa 1: Cho hai đa thức Định nghĩa 1: Cho hai đa thức
f(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 g(x) = bmxm + bm-1xm-1 + …+ b1x + b0
với m, n ∈ N, n ≥ m. Tổng của chúng là một đa thức bậc n và được xác định bởi
f(x) + g(x) = anxn + … am+1xm+1 + (am + bm)xm + …+ (a1 + b1)x + a0 + b0.
Ví dụ: Cho f(x) = 0x4 + x3 + 5x2 - 3x + 2 g(x) = x4 - 2x3 +0x2 - 4x + 5
3131 31
Tính f(x) + g(x) = ????x4 - x3 + 5x2 - 7x + 7
Tính chất:
+ Tính chất giáo hoán: f + g = g + f;
+ Tính chất kết hợp: (f + g) + h = f + ( h + g); + Tồn tại đa thức không sao cho: f + 0 = 0 + f = f;
+ Mỗi đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 tồn tại duy nhất đa thức đối - f(x) = -anxn - an-1xn-1 - …- a1x - a0 sao cho f(x) + (-f(x)) = 0.
Định nghĩa 2: Cho hai đa thức f(x) và g(x). Hiệu của hai đa thức f(x) và g(x) là tổng của đa thức f(x) với đa thức đối của đa thức g(x), kí hiệu là f(x) - g(x).
Ví dụ: Cho f(x) = 0x4 + x3 + 5x2 - 3x + 2 g(x) = x4 - 2x3 +0x2 - 4x + 5 Tính f(x) - g(x) = - x4 +3 x3 + 5x2 + x - 3 b) Tích của hai đa thức
Định nghĩa: Cho hai đa thức
f(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 g(x) = bmxm + bm-1xm-1 + …+ b1x + b0
Tích của chúng là đa thức được ký hiệu bởi f(x).g(x) và được xác định bởi
với , k = 0, 1, 2, …, n + m. Ví dụ: 5(x2 -3x) = (3x + 2) (x2 -3x) = Tính chất: 32 32
+ Tính giao hoán: f.g = g.f + Tính kết hợp: (f.g).h = f.(g.h)
+ Tồn tại đa thức đơn vị 1 = 1 + 0.x + … + 0.xn sao cho f.1 = 1.f = f. + Phép nhân phân phối với phép cộng: f.(g + h) = f.g + f.h.ˆ