Khái niệm về phương trình

c) Phép chia đa thức

3.2.1. Khái niệm về phương trình

Định nghĩa 1: Cho hai biểu thức chứa biến f(x1, x2, …, xn) và g(x1, x2, …, xn) cùng

xác định trên trường K.

- Nếu phải tìm các bộ n số (a 1, a2, …, a n) ∈ K sao cho các giá trị tương ứng của hai biểu thức thoả mãn đẳng thức

f(a 1, a2, …, a n) = g(a 1, a2, …, a n) (1)

thì ta nói, ta có phương trình 34

f(x1, x2, …, xn) = g(x1, x2, …, xn) (2)

là phương trình n ẩn các biến x1, x2, …, xn được gọi là các ẩn. f(x) = g(x)

- Một bộ n số (a 1, a2, …, a n) thoả mãn f(a 1, a2, …, a n) = g(a 1, a2, …, a n) được gọi là nghiệm của (2). Tập nghiệm của phương trình (2) ký hiệu là S.

- Nếu S = ∅ thì ta nói phương trình (2) vô nghiệm.

- Nếu S chỉ có một phần tử thì ta nói rằng phương trình (2) có nghiệm duy nhất.

- Nếu S có vô số phần tử thì ta nói rằng phương trình (2) có vô số nghiệm. - Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức đại số thì phương trình (2) là phương trình đại số, trái lại thì phương trình (2) là phương trình siêu việt.

- Đặc biệt nếu f(x) và g(x) đều là các đa thức thì phương trình (2) được gọi là phương trình đa thức hay phương trình đại số nguyên.

- Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f(x) và g(x) là đại số vô tỷ thì phương trình (2) là phương trình vô tỷ.

Ví dụ:

-Phương trình đa thức: x3 + 3x2 -1 = x4 - 4x3 + 2. - Phương trình phân thức: .

- Phương trình vô tỷ: = 2x + 1.

- Phương trình siêu việt: 2x + x -5 = 0.

3.2.2. Phương trình tương đương – Phương trình hệ quả

Định nghĩa 1: Cho hai phương trình

f1(x1, x2, …, xn) = g1(x1, x2, …, xn) (3) f2(x1, x2, …, xn) = g2(x1, x2, …, xn) (4)

với n ẩn x1, x2, …, xn cùng xác định trên trường số K. Hai phương trình (3) và (4) được gọi là tương đương trên K nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nói cách khác, hai phương trình (3) và (4) được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của phương trình này (3) đều là nghiệm của phương trình kia (4) và ngược lại.

3535 35

Nếu phương trình (3) tương đương với phương trình (4) thì ta viết: (3) ⇔ (4). Như vậy (3) ⇔ (4) khi và chỉ khi S3 = S4.

Ví dụ: Phương trình x/2 +1/3 = x tương đương với phương trình 3x + 2 = 6x.

Phương trình x3 - 1 = 0 tương đương với phương trình x5 - 1 = 0.

Chú ý 1:

- Mọi phương trình vô nghiệm trên K đều tương đương với nhau.

Ví dụ: Trên trường R, phương trình x2 + 1 = 0 tương đương với phương trình

x4 + 1 = 0.

- Trong các phép biến đổi phương trình, đáng chú ý nhất là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình. Ta gọi là các phép biến đổi tương đương. Phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phương trình tương đương với nó.

Định lý 1: Cho phương trình f(x1, x2, …, xn) = g(x1, x2, …, xn) xác định trên trường

số K và y = h(x1, x2, …, xn) là một hàm số xác định trên K. Khi đó, trên K phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:

f(x1, x2, …, xn) + h(x1, x2, …, xn) = g(x1, x2, …, xn) + h(x1, x2, …, xn)

f(x1, x2, …, xn).h(x1, x2, …, xn) = g(x1, x2, …, xn).h(x1, x2, …, xn) nếu h(x1, x2, …, xn) ≠ 0 với mọi x1, x2, …, xn ∈ K.

Hệ qua 1: Ta có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình

nhưng ta phải đổi dấu nó.

Hệ qua 2: Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng vế phải bằng 0.

Hệ qua 3: Ta có thể nhân hai vế của phương trình với một số khác 0 tuỳ ý. Ví dụ: Giải phương trình x3 = 1

⇔ x3 - x2 = 1 - x2. ⇔ x3 - x2 + x2 - 1 = 0.

⇔ x2(x - 1) + x2 - x + x - 1 = 0. 36

⇔ x2(x - 1) + x(x - 1) + x - 1 = 0. ⇔ (x - 1)( x2 + x + 1) = 0.

⇔ x - 1=0. ⇔ x = 1 Vậy S = {1}.

Định nghĩa 2: Phương trình (4) được gọi là phương trình hệ quả của (3) trên

trường số K nếu mỗi nghiệm của (3) đều là nghiệm của (4). Ta viết: (3) ⇒ (4). Như vậy, (3) ⇒ (4) khi và chỉ khi S3 ⊂ S4.

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ

quả của phương trình đã cho.

Chú ý 2:

- Có thể chứng minh được rằng: Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế ta được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

- Nếu sau khi biến đổi ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho

thì sau khi giải phương trình hệ quả, ta phải thử các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Ví dụ: Giải phương trình:

1 |x – 1| = x - 3 2

Bài giải:

a) Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả. |x – 1|2 = (x - 3)2

⇒ x2 - 2x + 1 = x2 - 6x + 9. ⇒ x = 2

3737 37

Thử lại x = 2 vào phương trình đã cho ta thấy x = 2 không phải là nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô ngiệm.

b) Điều kiện: x ≥ -2. Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả. x + 2 = x2 - 8x + 16

⇒ x2 - 9x + 18 = 0 ⇒ x = 3 hoặc x = 6

Các phép toán trên đa thức