Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm ma-trận giả nghịch đảo trên trường số thực và số phức với các kết quả quan trọng đã được chứng minh trong hầu hết tài liệu đại số đại cương. Sau đó, chúng tơi xây dựng thuật tốn cho ma-trận giả nghịch đảo trên trường hữu hạn 𝕫p, với p là số nguyên tố.
Định nghĩa 2.1. Ma-trận (vuông hay chữ nhật) A, trên trường ℝ hay ℂ, gọi là giả khả
nghịch nếu tồn tại ma-trận A+
thỏa đồng thời 4 điều kiện sau:
AA+A = A (1)
A+AA+ = A+ (2)
(AA+)T = AA+ (3)
(A+A)T = A+A (4)
trong đó, T ký hiệu phép chuyển vị ma-trận. Ma-trận A+ gọi là ma-trận giải nghịch đảo của A, (và A cũng được gọi là ma-trận giả nghịch đảo của A+ như mệnh đề sau chứng minh).
Mệnh đề 2.1. Ma-trận giả nghịch đảo nếu có là duy nhất. Mệnh đề 2.2. Xét ma-trận A trên trường ℝ,
30
A+ = (ATA)-1AT (5)
(2) Nếu các hàng của A độc lập tuyến tính, AAT khả nghịch, và
A+ = AT(AAT)-1 (6)
Để tạo nhanh ma-trận giả khả nghịch, chúng tôi sử dụng khái niệm ma-trận tự trực giao [xem 4], được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2. Ma-trận C là tự trực giao nếu CCT = 𝕆, ma-trận không.
Mệnh đề 2.3.
(1) Cho ma-trận Qkxm trên trường đặc số 2. Thì ma-trận P = [Q : Q] là ma-trận tự trực giao.
(2) Cho ma-trận Qkxm trên trường đặc số p sao cho tồn tại trong GF(p) thỏa 2 = - 1. Thì ma-trận P = [Q : Q] là ma-trận tự trực giao.
(3) Cho ma-trận Qkxm trên trường đặc số p. Ma-trận P = [Q : Q : Q : Q] với 2 +
2 + 2 + 2
= 0 1, là ma-trận tự trực giao.
(4) Cho ma-trận vuông Qkxk, ma-trận Ckxm là ma-trận tự trực giao, và ma-trận vuông trực giao Amxm. Ma-trận P = QCA là ma-trận tự trực giao.