Trước hết, lưu ý rằng các kết quả sinh ma-trận giả khả nghịch trong phần trước có thể khơng còn đúng với các ma-trận trong trường hữu hạn 𝕫p nữa. Thực vậy, giả sử A là ma- trận khả nghịch các phần tử nguyên trên ℝ với |A| là một số nguyên khác không chia chẵn cho p sẽ khả nghịch trên ℝ nhưng không khả nghịch trên 𝕫p.
Để phát triển thuật tốn, chúng tơi sử dụng lại một số tính chất quan trọng của ma-trận giả khả nghịch trên 𝕫p, và sử dụng nó để xây dựng các thuật tốn sinh nhanh ma-trận giả nghịch đảo.
Mệnh đề 3.1. Cho ma-trận Anxm trên 𝕫p, với p là số nguyên tố. Nếu ma-trận giả nghịch đảo của A tồn tại thì nó là duy nhất.
Chứng minh. Thực vậy, giả sử B và C là 2 ma-trận giả nghịch đảo của A, ta có
AB = (AB)T = BTAT = BT(ACA)T = BT(ATCTAT) = ABAC = AC. BA = CA (chứng minh tương tự) BA = CA (chứng minh tương tự)
Vậy, B = BAB = BAC = CAC = C.
Mệnh đề 3.2. Trên trường 𝕫p, cho ma-trận Amxn, (3) Nếu m > n và ATA khả nghịch,
A+ = (ATA)-1AT (7)
(4) Nếu m < n và AAT khả nghịch,
A+ = AT(AAT)-1 (8)
31
Lưu ý là trên trường 𝕫p, ta cần điều kiện ATA hay AAT khả nghịch cách tường minh.
Mệnh đề 3.3. Cho ma-trận Amxn, m < n, xác định trên 𝕫p, với AAT
khả nghịch trên 𝕫p. Ta có
(iv) A+ = AT(AAT)-1 (v) AA+ = 𝕀.
(vi) A+Alà ma-trận vuông cấp n và là ma-trận chiếu.
Chứng minh.
(i) Do AAT khả nghịch, mệnh đề 3.2. cho ta A+ = AT(AAT)-1. (ii) A+ = AT(AAT)-1, suy ra AA+ = A(AT(AAT)-1) = AAT(AAT)-1 = 𝕀.
(iii) (A+A)2 = (AT(AAT)-1A)(AT(AAT)-1) = AT(AAT)-1 = A+A, hay A+A là ma-trận chiếu.
Sử dụng các mệnh đề 3.2 và 3.3, ta có thể sinh ma-trận giả nghịch đảo theo phương trình (8). Dùng mệnh đề sau, dựa trên khái niệm nghịch đảo và tự trực giao, ta có thể sinh nhanh ma-trận giả nghịch đảo.
Mệnh đề 3.4. Trên 𝕫p, cho ma-trận khả nghịch Zmxm và ma-trận tự trực giao Vmx(n-m), m < n. Ma-trận A được tạo bằng cách ghép các cột của Z và V, A = [Z V], thì AAT khả
nghịch.
Chứng minh.
𝐴 = 𝑍 𝑉 ↔ 𝐴𝑇 = 𝑍𝑇 𝑉𝑇 .
→ 𝐴𝐴𝑇 = 𝑍𝑍𝑇 + 𝑉𝑉𝑇 = 𝑍𝑍𝑇 + 𝕆.
→ det 𝐴𝐴𝑇 = det 𝑍𝑍𝑇 = det 𝑍 det 𝑍𝑇 ≠ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝). Hay 𝐴𝐴𝑇 khả nghịch.