1.1. Định nghĩa về dàn
Một dàn là một nhóm con rời rạc của khơng gian vec-tơ Euclide. Tính chất rời rạc có nghĩa ∃𝜀 > 0, ∀𝑣 ∈ 𝐿, 𝐿 ∩ 𝑤 ∈ ℝ𝑛 | 𝑣 − 𝑤 < 𝜀 = 𝑣
Đặt 𝑏1… 𝑏𝜔 là các vec-tơ độc lập tuyến tính, với 𝑏𝑖 ∈ ℝ𝑛. Dàn 𝐿 được thác triển từ cơ sở 𝑏1… 𝑏𝜔 là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính nguyên của cơ sở 𝑏1… 𝑏𝜔 . 𝐿 có nhiều cơ sở, nhưng tất cả cơ sở này đều sinh ra cùng một dàn 𝐿. Ta viết:
𝐿 = 𝛼𝑖𝑏𝑖
𝜔
𝑖=1
∀𝛼𝑖 ∈ ℤ, 𝑏𝑖 ∈ ℝ𝑛
Hạng 𝜔 của 𝐿 là số vec-tơ trong cơ sở 𝑏𝑖 , 𝜔 ≤ 𝑛. Nếu 𝜔 = 𝑛, 𝐿 được gọi là dàn hạng đủ.
Chuẩn Euclide là chuẩn xác định bởi: 𝑛𝑜𝑟𝑚 𝑥 = 𝑥 = 𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2
Định nghĩa về định thức của dàn rất phức tạp. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp đặc biệt, nó đủ đơn giản: chẳng hạn, nếu 𝐿 là hạng đủ, ta có tính chất quan trong sau
det 𝐿 = det 𝐴,
với 𝐴 là ma-trận cấp 𝜔 mà hàng thứ 𝑖 là 𝑢𝑖.
1.2. Rút gọn cơ sở dàn
Cho dàn 𝐿 thác triển từ 𝑏1… 𝑏𝜔 . Rút gọn cơ sở trên 𝐿 là tìm 𝑏1′ … 𝑏𝜔′ có thể tích, det(L), nhỏ hơn cơ sở ban đầu. Có 3 phép tốn chính:
53 - Thay 𝑏𝑖 bằng −𝑏𝑖
- Cộng/trừ vào 𝑏𝑖 một tổ hợp tuyến tính nguyên của 𝑏𝑗 1≤𝑗 ≤𝑚,𝑗 ≠𝑚
Rút gọn cơ sở có thể được giải bằng bài tốn vec-tơ ngắn nhất trong trường hợp đặc biệt nào đó (vì tổng qt, đây là bài tốn khó !). Thực vậy, bằng cách rút gọn cơ sở, vec-tơ ngắn nhất trong một dàn hạng 2 có thể được xác định trong thời gian đa thức. Với bậc cao hơn, hiện tại, thuật toán LLL được xem là phương pháp tố nhất để tìm vec-tơ ngắn nhất.
1.2.1. Rút gọn cơ sở dàn Lagrange-Gauss
Cho dàn 𝐿 và cơ sở 𝑏1, 𝑏2 . Giả sử 𝑏1 < 𝑏2 . Ta muốn thay 𝑏2 bằng 𝑏2 − 𝑢. 𝑏1. Như vậy, ta cần chọn 𝑢 sao cho 𝑏2 − 𝑢. 𝑏1 ngắn nhất có thể. Từ trực quan hình học như hình vẽ, ta có thể chọn 𝑢 = 𝑏1. 𝑏2 / 𝑏1. 𝑏1 . Nếu 𝑢 ≤ 0.5, ta gọi 𝑏1, 𝑏2 là 1 cơ sở rút gọn.
Hình 1.1. Hình ảnh trực quan về cơ sở của dàn hạng 2
Định lý 1.1. Nếu một cơ sở 𝑏1, 𝑏2 của 𝐿 được rút gọn, 𝑏1sẽ là vec-tơ ngắn nhất của 𝐿.
Chứng minh. Giả sử 𝛼 là vec-tơ ngắn nhất của 𝐿. Ta có, 𝛼 = 𝑐1𝑏1 + 𝑐2𝑏2, 𝑐𝑖 ∈ ℤ 𝛼 2 = 𝑐1𝑏1 + 𝑐2 𝑏2∗− 𝑢. 𝑏1 2
54
𝛼 2 = 𝑐1 − 𝑐2𝑢 2. 𝑏1 2 + 𝑐22 𝑏2∗ ≥ 𝑐1 − 𝑐2𝑢 2 +3