3.1 Phương pháp CFD và các lý thuyết dòng chảy
3.1.1 Tổng quan phương pháp CFD (Computational Fluid Dynamics)
Computational Fluid Dynamics (CFD) là một lĩnh vực khoa học sử dụng các phương pháp số kết hợp với cơng nghệ mơ phỏng trên máy tính để giải quyết các bài toán liên quan đến các yếu tố chuyển động của mơi trường, đặc tính lý hóa của các q trình trong mơi trường đang xét, đặc tính sức bền của mơi trường, đặc tính nhiệt động, đặc tính động học, hay đặc tính động lực học hoặc khí động lực học, đặc tính lực, hoặc lực mơ – men và tương tác của các môi trường với nhau…, phụ thuộc vào từng đối tượng và phạm vi cụ thể của từng vấn đề, từng lĩnh vực khoa học mà CFD có thể ứng dụng được.
CFD được phát triển, ứng dụng và mang lại hiệu quả cao trong các lĩnh vực cơ học môi trường chất lưu (khí, lỏng, plasma, …) và mơi trường biến dạng, đàn hồi,… Trên thực tế, CFD được ứng dụng để mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ với vận tốc siêu thanh và dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên các vật thể bay nói chung. CFD được ứng dụng vào ngành Đại dương học để mơ phỏng tìm quy luật các dòng biển nóng, lạnh và tác động của chúng lên khí hậu tồn cầu, …CFD được ứng dụng trong y tế để mơ phỏng q trình hồn lưu máu ở hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng của các yếu tố bên trong, bên ngoài lên nhịp đập cũng như sức khỏe của nội tạng nói riêng, tồn bộ cơ thể nói chung…
3.1.2 Hệ phương trình Navier – Stockes
Hệ phương trình Navier – Stockes giúp miêu tả và tính tốn dòng chảy của các chất lỏng và khí, gọi chung là lưu chất. Những phương trình này được thiết lập trên cơ sở biến thiên động lượng trong những thể tích vơ cùng nhỏ của chất lưu. Dựa trên định luật Newton - II, hệ phương trình bảo tồn động lượng của phần tử chất lỏng không nén được chuyển động trong hệ tọa độ Descartes được viết dưới dạng chỉ số như sau: 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑡 + 𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝑥𝑗 = 𝑆𝑀𝑖− 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕𝜎𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑗 (3.1) Trong đó:
𝑢𝑖 là thành phần vận tốc theo 3 phương x,y,z
𝑝 là áp suất
𝜗 là hệ sốt nhớt động học
t là thời gian
𝑆𝑀𝑖 là 3 thành phần nguồn của phần tử chất lỏng theo 3 phương x,y,z
𝜎𝑖𝑗 = 2𝜗𝑆𝑖𝑗 là thành phần ứng suất nhớt
16
𝑆𝑖𝑗 = 1
2 (𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗+ 𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖) (3.2)
𝑢𝑖, 𝑢𝑗 là thành phần vận tốc theo phương ( i, j = x,y,z ).
Phương trình bảo tồn khối lượng cho chất lỏng nhớt, không nén được viết trong hệ tọa độ Descartes như sau:
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥 + 𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥 + 𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥 = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑑𝑖𝑣(𝑢) = 0 (3.3) Hai phương trình (3.1) và (3.2) kết hợp thành hệ phương trình Navier – Stokes cho chất lỏng nhớt, khơng nén được dùng để mô phỏng chuyển động của phần tử chất lỏng, hệ bao gờm 4 phương trình và 4 ẩn số là 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦, 𝑢𝑧 và 𝑝.
3.1.3 Hệ phương trình Reynolds Navier – Stokes trong tính toán thủy lực động lực học chất lỏng
Hệ phương trình (3.1) và (3.2) chỉ có thể giải được bằng các phương pháp tốn
học thơng thường với một số trường hợp dòng chảy tầng có điều kiện biên đơn giản như dòng phẳng Poiseuille, dòng phẳng Couette,… Đối với các trường hợp dòng có rối, các thành phần vận tốc và áp suất tại một điểm có độ lớn, phương chiều biến đổi liên tục theo thời gian, ngoài thành phần dọc chiều, dòng chảy còn có các thành phần vận tốc, áp suất ngang gây xáo trộn các phần tử chất lỏng. Vậy nên bản chất chuyển động của dòng chảy rối là dòng khơng ổn định.
Để giải được hệ phương trình trên trong trường hợp dòng chảy rối, người ta thường dùng một số phương pháp giải sau:
- Mơ hình dòng chảy rối cho hệ phương trình trung bình Reynold Navier Stokes (RANS)
- Mô phỏng dòng chảy rối là chuyển động của các xoáy nước (LES).
- Mơ phỏng dòng chảy rối bằng cách tính tốn trực tiếp các thơng số trung bình của dòng chảy và các thành phần dao động của vận tốc và áp suất (DNS). Trong các phương pháp trên thì phương pháp mơ hình dòng chảy rối cho hệ phương trình RANS là được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật tính tốn hiện nay. Hệ phương trình RANS được viết như sau:
Phương trình liên tục: 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤̅ 𝜕𝑧 = 0 (3.4) Trong đó:
𝑢̅, 𝑣̅, 𝑤̅ là các thành phần vận tốc trung bình thời gian theo 3 phương x,y,z. Phương trình bảo tồn động lượng:
𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑡 + 𝑢̅𝑗𝜕𝑢̅𝑖 𝜕𝑥𝑗= 𝑆𝑀𝑖− 1 𝜌 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑥𝑖+ 𝜕𝜎̅𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑗 − 𝜕(𝑢̅̅̅̅̅̅̅)𝑖′𝑢𝑗′ 𝜕𝑥𝑖 (3.5)
17 Trong đó: 𝑢′, 𝑣′, 𝑤′ là các thành phần vận tốc mạch động xung quanh các giá trị trung bình. 𝜎̅𝑖𝑗 = 2𝑣𝑆̅𝑖𝑗 với 𝑆̅𝑖𝑗 là vận tốc biến dạng trung bình và ̅̅̅̅̅̅𝑢𝑖′𝑢𝑗′ là tensơ
ứng suất Reynolds. −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅ = [𝑖′𝑢𝑗′ −𝜌𝑢̅̅̅̅′2 −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅′𝑣′ −𝜌𝑢̅̅̅̅̅̅′𝑤′ −𝜌𝑣̅̅̅̅̅̅′𝑢′ −𝜌𝑣̅̅̅̅′2 −𝜌𝑣̅̅̅̅̅̅′𝑤′ −𝜌𝑤̅̅̅̅̅̅ −𝜌𝑤′𝑢′ ̅̅̅̅̅̅′𝑣′ −𝜌𝑢̅̅̅̅′2 ] (3.6) Hai phương trình (3.4) và (3.5) kết hợp thành hệ phương trình RANS mơ phỏng chuyển động rối của phần tử chất lỏng không nén được phụ thuộc theo không gian và thời gian. Ta thế hệ phương trình này có 4 phương trình và 10 ẩn số, đó là 4 đại lương 𝑢̅, 𝑣̅, 𝑤̅, 𝑝̅ và 6 thành phần ứng suất rối Reynolds 𝑢̅ , 𝑢𝑖′ ̅𝑗′, do vậy cần phải có
thêm 6 phương trình nữa để có thể tìm được các đại lượng đặc trưng của dòng chảy là vận tốc và áp suất.
3.1.4 Các mơ hình rối
Để có thể tính tốn được hệ phương trình (3.3) và (3.4), mơ hình dòng chảy rối được phát triển để mơ tả được ứng suất rối Reynolds. Các phương trình cần được thêm vào để đóng kín hệ phương trình RANS. Mức độ phức tạp của một mơ hình dòng chảy rối được đánh giá bằng số lượng phương trình vi phân và số lượng các hằng số thực nghiệm thêm vào để mô tả dòng chảy rối. Căn cứ vào số lượng các yếu tố trên, mơ hình dòng chảy rối được phân thành bốn mức độ từ cơ bản đến phức tạp như sau:
Mơ hình đại số: đây là mơ hình đơn giản nhất của mơ hình dòng chảy rối. Mơ hình này dựa trên giả thiết của Boussinesq về hệ số nhớt rối 𝜇𝑡(giá trị này khác với hệ sốt nhớt động lực học 𝜇) để tính tốn các giá trị ứng suất nhớt Reynolds. Đại diện cho mơ hình này là mơ hình chiều dài xáo trộn.
Mơ hình một phương trình: Những mơ hình dựa trên giả thuyết của Boussinesq những phát triển thêm một phương trình để mơ tả đại lượng động năng rối 𝑘 =
1
2 𝑢̅̅̅̅̅̅ = 𝑖′𝑢𝑗′ 1
2 [𝑢′2+ 𝑣′2+ 𝑤′2 ]. Mơ hình của Prantdl và Kolmogorov hay mô
hình Spalart – Allmaras là những mơ hình rối phổ biến thuộc dạng này.
Mơ hình hai phương trình: mơ hình này gờm hai phương trình. Một phương trình mơ tả đại lượng 𝜇𝑡 được thông qua đại lượng hệ số phân tán rối 𝜀 hay hệ số phân tán riêng 𝜔 và một phương trình mơ tả đại lượng động năng rối k. Những phương trình này có thể được suy ra từ những thực nghiệm hoặc cũng có thể nhận được từ lý thuyết. Hai mơ hình k - 𝜀 và mơ hình k – 𝜔 là hai mơ hình phố biến trong mơ hình rối với hai phương trình. Ngồi ra còn có thể kể đến những mơ hình khác thuộc dạng này như mơ hình ứng suất đại số, mơ hình ứng suất Reynolds khơng tuyến tính.
Mơ hình bậc hai: với mơ hình này, tất cả các thành phần của ứng suất rối Reynolds được mơ tả bằng các phương trình vi phân từng phần như mơ hình ứng suất chuyển động, mơ hình đại số ứng suất Reynolds…
18
3.1.5 Tởng quan về lý thuyết lớp biên
Trong động lực học chất lỏng, theo định luật lớp biên thì vận tốc trung bình của dòng chảy tỷ lệ với logarit của khoảng cách từ điểm đó đến tường hoặc ranh giới của vùng chất lỏng. Định luật này thường áp dụng để xác định tính chất dòng chảy gần biên (thường < 20% chiều cao dòng chảy). Với y+ là chỉ số thể hiện độ dày của lớp lưới đầu tiên:
𝑦+ = 𝑦 𝑥 𝑢𝜏
𝑣 (3.7)
𝑢𝜏 = √𝜏𝜔
𝜌 (3.8)
Trong đó:
𝑢𝜏 là vận tốc ma sát có thể được sử dụng để xác định vận tốc không thứ nguyên.
𝜏𝜔 là ứng suất cắt tại biên, là khoảng cách từ phần tử đang xét đến biên.
y+ của lớp biên đầu tiên là rất quan trọng vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến mơ tả dòng chảy gần tường.
Vận tốc không thứ nguyên được cho bởi công thức: 𝑢+ = 𝑢
𝑢𝑡 (3.9)
Hình 13: Các vùng khơng gian định nghĩa dịng chảy
Trong định luật lớp biên, xác định ra 3 vùng không gian cần lưu ý thể hiện đặc trưng của dòng chảy gần lớp biên:
Viscous Sublayer là vùng không gian được xác định nhỏ hơn 5 đơn vị lớp biên (5 lớp lưới đầu tiên gần tường) theo đó yêu cầu giá trị y+ < 5 để nắm bắt đúng hiện tượng. Lớp này chịu ảnh hưởng bởi nhớt gần tường nên có thể coi ứng suất cắt của chất lỏng bằng ứng suất cắt tại lớp biên (𝜏𝜔). Tại vùng này thì ứng suất gây ra bởi nhớt sẽ quyết định vận tốc dòng chảy, do đó:
u+ = y+ (3.10) Buffer Layer nằm trong khoảng từ 5 đến 30 đơn vị lớp biên (5 đến 30 lớp lưới gần tường) yêu cầu y+ trong khoảng từ 5 đến 30, thường được coi là vùng đệm hay vùng chờng chéo vừa thể hiện tính chất lớp biên, lại vừa có rối như vùng chất lỏng xa lớp biên.
19 Logarithmic layer là vùng xa lớp biên, nơi mà ứng suất rối chiếm ưu thế tác động lên dòng chảy, khi đó vận tốc dòng được cho bởi cơng thức:
y+ = 1
𝑘 𝑥 ln (𝐸𝑦+) (3.11)
Trong đó: k là hằng số Von Karman có giá trị bằng 0.41 và E = 9.8 với lớp biên nhẵn.
Ngày nay, việc sử dụng các mơ hình rối rất quan trọng trong hầu hết các bài tốn mơ phỏng CFD. Tuy nhiên một số mơ hình rối như k – 𝜀 thực hiện rất tốt việc mô tả dòng chảy rối tự do nhưng chưa thể hiện rõ bản chất các hiện tượng của dòng rối tại khu vực gần lớp biên. Việc áp dụng lý thuyết lớp biên vào bài tốn mơ phỏng phải thỏa mãn điều kiện về y+ tương ứng với mơ hình rối được sử dụng. Trong mô phỏng CFD, điều kiện y+ đối với một số mơ hình rối như sau:
- K – 𝜀 tiêu chuẩn: 10 ≤ y+ ≤ 200 - K – 𝜔 STT: y+ ≤ 1
- Spalart – Allmaras : 1 ≤ y+ ≤ 30
Để giải một bài tốn CFD, việc chọn mơ hình rối phù hợp là rất quan trọng, nó phụ thuộc vào nhu cầu của bài tốn muốn giải quyết vấn đề gì. Vì vậy, để giải quyết vấn đề lớp biên thì tối ưu nhất là chọn mơ hình rối k – 𝜔 SST hoặc Spalart –
Allmaras với điều kiện biên y+ < 5 cũng là điều kiện để nắm bắt được hiện tượng của khu vực Viscous Sublayer.
3.1.6 Tổng quan và hạn chế mô hình VOF (Volume Fraction Fluid)
Mơ hình VOF có thể mơ hình hóa hai hoặc nhiều chất lỏng bất biến bằng cách giải một tập phương trình động lượng và theo dõi phần thể tích của mỗi chất lỏng trong tồn miền. Các ứng dụng điển hình bao gờm dự đốn chuyển động của bong bóng lớn trong chất lỏng, chuyển động của chất lỏng sau khi vỡ đập và theo dõi ổn định hoặc nhất thời của bất kỳ giao diện khí-lỏng nào.
Cơng thức VOF trong ANSYS FLUENT thường được sử dụng để tính tốn một giải pháp phụ thuộc vào thời gian, nhưng đối với các vấn đề mà bạn chỉ quan tâm với giải pháp trạng thái ổn định, có thể thực hiện phép tính trạng thái ổn định. Tính tốn VOF ở trạng thái ổn định chỉ hợp lý khi giải pháp của bạn không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu và có các ranh giới dòng chảy riêng biệt cho các giai đoạn riêng lẻ. Ví dụ, vì hình dạng của bề mặt tự do bên trong cốc quay phụ thuộc vào mức độ ban đầu của chất lỏng, nên phải giải quyết vấn đề như vậy bằng cách sử dụng công thức phụ thuộc thời gian. Mặt khác, dòng nước chảy trong một kênh có một vùng khơng khí trên đỉnh và một l̀ng khí riêng biệt có thể được giải quyết bằng công thức trạng thái ổn định.
Công thức VOF dựa trên thực tế là hai hoặc nhiều chất lỏng (hoặc pha) không xen vào nhau. Đối với mỗi pha bổ sung mà bạn thêm vào mơ hình của mình, một biến được đưa ra: phần khối lượng của pha trong ơ tính tốn. Trong mỗi khối điều khiển, phân số khối của tất cả các pha tổng hợp lại. Các trường cho tất cả các biến và thuộc tính được chia sẻ bởi các pha và biểu thị các giá trị trung bình theo khối lượng, miễn
20 là phần khối lượng của từng pha được biết tại mỗi vị trí. Do đó, các biến và thuộc tính trong bất kỳ ơ đã cho nào hồn tồn đại diện cho một trong các pha hoặc đại diện cho hỗn hợp các pha, tùy thuộc vào các giá trị phân số thể tích. Nói cách khác, nếu phần khối lượng chất lỏng thứ qth trong ô được ký hiệu là αq thì có thể có ba điều kiện sau:
αq = 0 : Ô trống (trong số chất lỏng thứ qth). αq = 1 : Ô đầy (trong số chất lỏng thứ qth).
0 < αq < 1: Ô chứa giao diện chất lỏng thứ qth và một hoặc nhiều chất lỏng khác.
3.1.7 Open Channel Flow
ANSYS Fluent có thể mơ hình hóa những ảnh hưởng của Open channel flow (sơng, đập và các cấu trúc xuyên qua bề mặt trong dòng chảy không bị ngăn cách) nơi mà sử dụng công thức VOF và điều kiện biên của Open channel flow. Những dòng chảy này liên quan đến sự tồn tại của một bề mặt tự do giữa chất lỏng đang chảy và chất lỏng bên trên nó (khí quyển nói chung). Trong những trường hợp như vậy, sự truyền sóng và ứng xử bề mặt tự do trở nên quan trọng.
Dòng chảy thường bị chi phối bởi lực hấp dẫn và quán tính. Tính năng này chủ yếu áp dụng cho ứng dụng hàng hải và phân tích dòng chảy qua hệ thống thốt nước.
Các luồng kênh mở được đặc trưng bởi số Froude không thứ nguyên, được định nghĩa là tỷ số giữa lực quán tính và lực thủy tĩnh.
𝑭𝒓 = 𝑽
√𝒈𝒚 (3.12)
Trong đó:
𝑉 là độ lớn vận tốc 𝑔 là trọng lượng
𝑦 là tỷ lệ độ dài (khoảng cách từ đáy của kênh dẫn đến bề mặt tự do)
Mẫu số trong công thức (1) là tốc độ lan truyền của sóng. Tốc độ sóng mà người quan sát cố định nhìn thấy được xác định là:
𝑉𝑤 = 𝑉 ± √𝑔𝑦 (3.13)
Dựa vào số Froude, dòng chảy kênh hở có thể được phân loại như sau:
Khi 𝑭𝒓 < 1, nghĩa là 𝑉 < √𝑔𝑦 (𝑉𝑤 < 0 hoặc 𝑉𝑤 > 0), dòng chảy được coi là tới hạn nơi các nhiễu động có thể di chuyển ngược dòng cũng như hạ lưu (downstream). Trong trường hợp này, các điều kiện hạ lưu (downstream) có thể ảnh hưởng đến dòng chảy ngược dòng.
Khi 𝑭𝒓 = 1 (𝑉𝑤 = 0), dòng chảy được coi là tới hạn, nơi sóng truyền ngược dòng vẫn còn đứng im. Trong trường hợp này, đặc tính của l̀ng thay đổi.
Khi 𝑭𝒓 > 1, nghĩa là 𝑉 > √𝑔𝑦 (𝑉𝑤>0) , dòng chảy được biết là siêu tới hạn khi có sự xáo trộn khơng thể đi ngược dòng. Trong trường hợp này, các điều kiện ở hạ lưu (downstream) không ảnh hưởng đến dòng chảy ở thượng nguồn (upstream).
21
3.1.8 Điều kiện biên của “Open Channel Wave”
Điều kiện biên của Open Channel cho phép bạn mô phỏng sự lan truyền của sóng, điều này rất hữu ích trong ngành công nghiệp hàng hải. Đây là điều kiện biên ngược dòng và được áp dụng cho đầu vào vận tốc của mơ hình VOF. Cấu hình sóng của sóng tới có thể được mơ tả như sau:
𝜁 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥𝑥 + 𝑘𝑦𝑦 − 𝜔𝑒𝑡+ ∈) (3.14) Trong đó: 𝜁 là chiều cao của sóng, A biên độ của sóng, ∈ các pha khác nhau, t là thời gian, 𝑘𝑥 và 𝑘𝑦 là số lượng sóng theo phương x và y, với 𝑘𝑥 = 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃 và 𝑘𝑦 = 𝑘𝑠𝑖𝑛𝜃.
Số lượng sóng k được định nghĩa như sau:
𝑘 = 2𝜋
𝜆 (3.15) Trong đó 𝜆 chiều dài của sóng tần số sóng hiệu dụng 𝜔𝑒 là:
𝜔𝑒 = 𝜔 + 𝑘𝑈 (3.16)