HÀ NỘI NĂM HỌC 2011 - 2012
Khĩa ngày:
(Đề thi cĩ 01 trang) Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề
Bài 1. (2, 5 diểm). Cho
10 5 25 5 5 x x A x x x = − − − − + , với x≥0 và x≠25 . 1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi x=9 .
3) Tìm x để 1 3
A<
Bài 2. (2, 5 điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập phuoong trình hoạc hệ phurơng trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đĩ chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hồn thành kể hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài 3. ( 1, 0 điểm). Cho parabol
2( ) :P y =x ( ) :P y =x và đường thẳng 2 ( ) :d y=2x m− +9 . Đề Số 11
1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol ( )P và đường thẳng ( )d khim=1 .
2) Tìm m đề đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm nẳm về hai phía của trục tung. Bài 4. (3, 5 điểm). Cho đường trịn tâm O, đường kính AB=2R
. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường trịn ( )O tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường trịn ( )O ( E khơng trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điềm E và vuơng gĩc với
EI
cắt hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt tại M N, . 1) Chứng minh AMEI làì̀ tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh · · ENI =EBI và · 90 MIN = ° . 3) Chứng minh AM BN. = AI BI× .
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa E của đường trịn ( )O . Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E I, , F thẳng hàng.
Bài 5. (0,5
diểm). Với x>0
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 1 4 3 2011 4 M x x x = − + + . ……………………………………….HẾT…………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Đề Số 11(2011-2012) Câu 1. Cho , với và .
a) Rủt gon biểu thức . b) Tìm giá trị của khi . c) để .
Lời giải.
a) Vởi và , ta cĩ
b) Với c) .
Kết hợp với kiều kiện xác định ta cĩ .
Câu 2. Giải bài tốn sau bằng cách lập phuơng trình hoăcc hệ phương trình:
chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hồn thành kế hoạch sĩm hơn thời gian quy định 1 ngày và chờ thêm được 10 tấn. Hơi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Lịi giải.
Gọi (tấn), : số tấn hàng mỡi ngày. Gọi (ngày), : số ngày.
Theo đèì̀ bài ta cĩ
Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày.
Câu 3. Cho parabol và đường thẳng .
a) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol và đường thẳng khỉ .
b) Tìm đễ đường thẳng cắt parabol tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Lời giải.
a) Phương trình hồnh độ giao điểm của - Với
Vạyy tọa đọã̃ giao điểm của và là .
b) Phương trình hồnh độ giao điểm của và là . Yều cầu bài tốn tương đương với phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt trái đấu
Vậy .
Câu 4. Cho đường trịn tâm , đường kính . Gọi và lần lượt là hai tiếp tuyến của đường trịn tại
hai điểm và . Gọi là trung điểm của và là điểm thuộc đường trịn khơng trùng với và . Đường thẳng đi qua điểm và vuơng gĩc với cất hai đường thẳng lần lượt tại .
a) Chứng minh là tứ giác nọ̄i tiếp. b) Chứng minh và .
c) Chứng minh .
d) Gọi là điểm chính giữa của cung khơng chứa của đường trịn . Hãy tính diện tích của tam giác theo khi ba điểm thẳng hàng.
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp:
Xét tứ giác cĩ 2 gĩc vuơng là và gĩc (đối nhau), nên MAIE làì̀ tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính .
b) Tương tự, ta cĩ là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính . Vậy (vì cùng chấn cung .) Tương tự (vì cùng chấn cung .)
Mà vuơng tại , suy ra c Do .
d) Gọi là điểm đối xứng của qua . Ta cĩ . (Vì tứ giác là hình thang và cĩ là đường trung bình)
Ta cĩ .
Từ (1) và (2) ta cĩ
là nghiệm của phương trình .
Từ đĩ, suy ra và và là các tam giác vuơng cân và
Câu điểm . Với , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải.
Ta cĩ . Đẳng thức xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của là
.......................................HẾT…………………………..