2. Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYÉN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2016
HÀ NỘI NĂM HỌC 2016 - 2017
Khĩa ngày:
(Đề thi cĩ 01 trang) Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề
Bài 1. (2 điểm). Cho hai biểu thức 7 8 A x = + và 2 24 9 3 x x B x x − = + − − , với x≥0,x≠9 . a) Tính giá trị của biều thức A khi x=25
b) Chứng minh rằng 8 3 x B x + = + . c) Tìm x để biểu thức P A B= . cĩ giá trị là số nguyên.
Bài 2. (2.0 điểm). Giải bài tốn sau bàng cách lập phurong trình hoạc hệ phurong trình Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích bằng
2720m 720m
. Nếu tăng chiểu dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m
thì diện tích mảnh vườn khơng đổi. Tính chiểu dài và chiều rộng của mảnh vườn. Bài 3. (2 điểm ). 1) Giải hệ phương trình 3 2 4 1 2 2 1 5 1 2 x x y x x y − = − + + = − + 2) Cho đường thẳng 2 : 3 1 d y= x m+ − và parabol 2 ( ) :P y=x .
a) Chứng minh rằng d luơn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt với mọi m
b) Gọi x x1, 2 là hồnh độ các giao điểm của d và ( )P . Tìm m để (x1+1) (x2+ =1) 1 .
Bài 4. (3.5 điểm). Cho đường trịn ( )O và điềm A nằm ngồi ( )O . Kẻ tiếp tuyến AB với ( )(O B là tiếp điểm) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điềm I ( I khác C, I khác O ). Đường thẳng AI cắt ( )O tại hai điểm D E D, ( nằm giữa A và E ). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.
1) Chứng minh rằng bốn điểm A B O H, , , cùng nằm trên một đường trịn.
2) Chứng minh rằng
AB BD AE = BE
3) Đường thẳng d di qua E song song với AO d, cắt BC tại điềm K. Chứng minh rằng / /
HK DC
.
4) Tia CD cắt AO tại điềm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.
Bài 5. (0.5 điểm). Với các số thực x y, thỏa mãn x− x+ =6 y+ −6 y
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= +x y . ………………………………………HẾT…………………………………………. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 16 : 2016-2017
Câu 1. Cho hai biểu thức và với .
a) Tính giá trị của biểu thức khi . b) Chứng minh .
c) Tìm để biểu thức cĩ giá trị nguyên.
Lời giải. a) Với (thỏa mãn ) Ta cĩ . b) Với ta cĩ c)Ta cĩ mà Với . Với .
Câu 2. Giải bài tốn sau bằng cách lâp phuơng trình hoăc hẹử phuơng trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích . Nếu tăng chiều dài thêm và giảm chiều rộng thì diện tích mảnh vườn khơng đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Lời giải.
Gọi chiều dài hình chữ nhật là: . Suy ra, chiều rộng hình chữ nhạì̀t là: . Theo bài ra, ta cĩ phương trình:
Giải phương trình này ta được:
Vậy chiều dài hình chữ nhật là , chiều rộng hình chừ nhật là .
Câu
a) Giải hệ phương trình
b) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol . (a) Chứng minh luơn cất tại hai điểm phân biệt với mọi .
(b) Gọi và là hồnh độ các giao điểm của và . Tìm để . Lời giải.
a) Đặt với
Khi đĩ hệ phương trình trở thành: (thōa mãn) Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm . b)
(a) Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:
Ta xét biệt thức với mọi . Vậy luơn cất tại hai điểm phân biệt với mọi .
(b) Với là hồnh độ giao điểm của và nên là hai nghiệm của phương trình (1). Theo định lí vi-ét ta cĩ
Để .
Câu 4. Cho đường trịn và một điểm nằm ngồi đường trịn. Kẻ tiếp tuyến với đường trịn ( là
tiếp điểm) và đường kính . Trên đoạn thẳng lấy điểm khác khác . Đường thẳng cất tại hai điểm và nằm giữa và ). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
a) Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường trịn. b) Chứng minh .
c) Đường thẳng đi qua điểm song song với cắt tại điểm . Chứng minh . d) Tia cất tại điểm , tia cắt tại điểm . Chứng minh tứ giác là hình chữ nhạt.
Lời giải.
a) Vì là tiếp tuyến của .
Vì là dây cung của mà là trung điểm của nên . Xét tứ giác cĩ tứ giác nội tiếp.
b) Vi là tiếp tuyến của tại (gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dãy cung và gĩc nội tiếp cùng chắn cung ) Xét và cĩ và chung .
c) Vì tứ giác nội tiếp nên (hai gĩc cùng chấn một cung) (1)
Mà (hai gĩc so le trong) (2)
Từ (1) và . (3)
tứ giác nội tiếp
Vì tứ giác nội tiếp (hai gĩc cùng chấn cung ) Từ (3) và ta cĩ mà hai gĩc nằm ở vị trí đồng vị . d) Kẻ tiếp tuyến thứ hai với với .
Xét tứ giác cĩ mà hai gĩc đối nhau tứ giác nội tiếp (gĩc nội tiếp cùng chắn cung ) Mà trền cĩ (gĩc nọi tiểp cùng chắn cung )
hay .
Mà hai gĩc ở vị trí đối nhau trong tứ giác nội tiếp. (gĩc nội tiếp cùng chấn cung )
Trên cĩ (gĩc nội tiếp cùng chấn cung ) Mà (hai gĩc đối đĩnh) (1).
Cĩ là tiếp tuyến của là tia phân giác của gĩc Xét và cĩ (cmt) và chung
Từ và
Mà qua nên là đường kính của cĩ hai đường chéo và bằng nhau và cất nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nĩ là hình chữ nhật.
Câu 5. Với các số thực thỏa mãn , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thuúc . Lời giải.
Bổ đề .
Thật vậy bổ đề tương đương vơii (đúng theo bất đẳng thức cō-si) Áp dụng ta cĩ
Dẻ thấy Ta cĩ
Từ và suy ra . Dáu " xảy ra khi Khi .
Vậy giá trị lớn nhất của là 6 khi và giá trị nhỏ nhất của là 4 khì hoăcc .
…………………………………HẾT……………………………….