HÀ NỘI NĂM HỌC 2012 - 2013
Khĩa ngày:
(Đề thi cĩ 01 trang) Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề
Bài I (2,5 đ ) 1/ Cho biểu thức 4 2 x A x + = +
. Tính giá trị của biểu thức khi x=36
2/ Rút gọn biểu thức 4 16 : 4 4 2 x x B x x x + = + ÷ + − + (với x≥0,x≠16 )
3/ Với các biểu thức A và B nĩi trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B. (A-1) là số nguyên.
Bài II ( 2, 0 đ) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trìhh hoặc hệ phurơng trình :
Hai người cùng làm chung một cơng việc trong 12
5
giờ thì xong . Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hồn thành cơng việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong cơng việc?
Bài III (1, 5đ) 1/ Giải hệ phương trình : 2 1 2 6 2 1 x y x y + = − = 2/ Cho phương trình 2 (4 1) 3 2 2 0 x − m− x+ m − m=
( ần x ). Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn điều kiện
2 2
1 2 7
x +x = .
Bài IV (3, 5đ). Cho đường trịn ( ; )O R đường kính AB. Bán kính CO vuơng gĩc với AB M, là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC M( khác A và C), BM cắt AC tại H . Gọi K là hình chiếu của
H
trên AB.
1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh
·ACM =·ACK .
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE =AM
. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuơng cân tại C.
4) Gọi d là tiếp tuyến của đường trịn tại ( )O tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao
cho hai điểm P C, nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
AP MB R MA
× =
. Chứng minh đường thẳng PB đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK .
Bài V(0,5 )d . Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x≥2y
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức 2 2 x y M xy + = ……………………………………..HẾT……………………… HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 12 : 2012-2013 Câu
a) Cho biếu thức . Tính giá trị của biểu thức khi . b) Rút gọn biểu thức với ).
c) Với các biểu thức và nĩi trên, hãy tìm các giá trị nguyên của để biểu thức là số nguyên. Lời giải.
a) . b) . c) .
Câu 2. Giải bài tốn sau bằng cách lập phưong trình:
Hai người cùng làm chung một cơng việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hồn thành cơng việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hơi nếu làm một mình thì mổi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong cơng việc?
Lời giải.
Gọi theo thứ tự là thời gian để người thứ nhắt, người thứ hai hồn thành cơng việc khi làm một mình.
Khi đĩ là cơng việc người thứ nhất hồn thành trong 1 giờ, là cơng việc người thứ hai hồn thành trong 1 giờ. Theo giả thiết ta cĩ hệ phương trình
Vậy người thứ nhắt làm một mình cần 4 giờ, người thứ hai làm một mình cằn 6 giờ.
Câu
a) Giải hệ phương trình
b) Cho phương trình: (ẩn ). Tìm để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thoả mãn . Lời giải.
a)
b) với mọi cho nên phương trình luơn cĩ hai nghiệm phān biệt. Theo định lý Vi-ét ta cĩ .
Câu 4. Cho đường trịn và đường kính . Bán kính vuơng gĩc với là điểm bất kì trên cung nhỏ
a) Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng .
c) Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng tam giác là tam giác vuơng cân tại . d) Gọi là tiếp tuyến cùa đường trịn tại điểm . Gọi là một điểm nằm trên sao cho hai điểm nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ và .
Chứng minh rầng đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải
a Ta cĩ cho nên túú́ giác nội tiếp. b) Các tứ giác và nọ̄i tiếp suy ra .
c) Hai tam giác và cĩ và cho nên hai tam giác bằng nhau, suy ra (1) và (2). Từ (1) và (2) suy ra tam giác vuơng cân tại .
d) Ta cĩ (1). Dẽã̃ thấy hai tam giác vuơng và đồng dạng cho nền (2). Từ (1) và (2) suy ra .
Câu 5. Với là các số dương thoả mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải.
Đạt .
Xét hiệu vởi mọi . Vāy giá trị nhỏ nhất của bằng khi . ……………………………..HẾT……………….