2.1 .Kiến trúc dãy lồng ghép
2.1.1 Biểu diễn dãy bằng biến đổ id
Về mặt lý thuyết, các dãy được biểu diễn theo cơ sở α, ví dụ như: Biểu diễn hàm vết (Trace function) đã được sử dụng rộng rãi để phân tích cấu trúc lồng ghép [24][39]. Trong phần này, ta sẽ chỉ ra rằng, cách biểu diễn đa thức khơng chỉ hiệu quả mà cịn có một số lợi thế nhất định. Để chứng minh, ta chọn trường hợp khi độ dài của chuỗi L ≠ qn- 1, với q là một số ngun tố trong đó hàm vết khơng xác định và do đó khơng thể áp dụng được lý thuyết hàm vết [40] [42]. Tuy nhiên, trong trường hợp này cách biểu diễn đa thức vẫn có thể áp dụng được [15]. Cơng cụ tốn học để chuyển đổi các chuỗi thành đa thức là biến đổi d (d - Transform). Trong luận án này, biến đổi d sẽ được sử dụng để phân tích các dãy trên trường GF(pn) .
Biểu diễn biến đổi d của một chuỗi {bn} trên GF(pn) được ký hiệu là D[bn] (hoặc F) và xác định bởi công thức
D
[[[[[[[[[[[[[[ [ 𝑛] = = ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 𝑛𝑛𝑛𝑛 , 𝑛𝑛∈ {GF)}(((((((((((((( ( (2.l) Ví dụ l: Đặt {bn}={2 2 0 2 1 1 0 1}, biểu diễn biến đổi d của {bn} là
D[bn] = 2 + 2d + 2d3 + d4 + d5 + d7.
Biến đổi ngược của D là D-1 = {bn}.
𝑛= 0
Do đó, biến đổi d của chuỗi sẽ có dạng đa thức theo biến d trên GF (p) và điều này đã được sử dụng như một quy ước trong việc phân tích tín hiệu của các hệ thống truyền dữ liệu và CDMA [15][30].
Một số tính chất của đa thức bậc n trên trường GF(p) (với p là số nguyên tố) sẽ được tóm tắt dưới đây:
• Số mũ của đa thức Q(d) là giá trị nhỏ nhất của n sao cho Q(d) chia hết cho 1-
dn, tức là, (1-dn) / Q(d) là một đa thức có bậc hữu hạn.
• Một đa thức Q(d) được gọi là bất khả quy (irreducible) nếu khơng tìm được đa thức có bậc lớn hơn 1 mà chia hết được Q(d).
• Hai đa thức gọi là ngun tố cùng nhau khi khơng tìm được đa thức có bậc lớn hơn 1 mà chia hết được cho cả hai đa thức ban đầu.
• Một đa thức bất khả quy (irreducible) bậc m là đa thức nguyên thủy (primitive – còn gọi là đa thức nguyên tố) hoặc đa thức có số mũ cực đại nếu số mũ của nó là pm- 1.
Cho một đa thức Q(d) bậc m, đa thức đối ứng của nó là dmQ(1/d) và ta biết
rằng đa thức đối ứng của một đa thức bất khả quy cũng là đa thức bất khả quy; đồng thời đa thức đối ứng của một đa thức nguyên thủy cũng là đa thức nguyên thủy.
Biến đổi d của một chuỗi tuần hồn có dạng R(d) / (1-dl), trong đó l là chu kỳ của chuỗi và R(d) là một đa thức bậc nhỏ hơn l trong d trên trường GF(p). Nói chung, có thể chỉ ra rằng, biến đổi d của chuỗi tuần hồn theo thời gian có dạng
p(d)/Q(d) trong đó cả p(d) và Q(d) đều là các đa thức trên trường Galois. Nếu p(d)
và Q(d) là nguyên tố cùng nhau, chu kỳ của chuỗi tuần hoàn được biểu thị bằng
p(d)/Q(d) chính là số mũ của Q(d).
Biến đổi d của chuỗi {bn} sinh ra từ bộ thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính (LFSR) được xác định bởi cơng thức:
𝑛(𝑛) = ((((((((((((((()
)
Trong đó g(d) có bậc n là đa thức sinh của LFSR và S(d) có bậc nhỏ hơn n xác định giá trị ban đầu của thanh ghi tương ứng với một phiên bản dịch bit vòng quanh của {bn}. Khi g(d) là đa thức nguyên thủy, chuỗi sinh ra từ LFSR được gọi là m-dãy và ta có pn-l giá trị S(d) là các trạng thái ban đầu có thể có của LFSR đó.
Các cặp biến đổi d được đưa ra trong [30]. Quy trình xây dựng dựa trên biến đổi d để tạo các dãy nhị phân phi tuyến lồng ghép được đưa ra trong [J1]. Các tác giả đã mở rộng kết quả của đối với trường hợp dãy được dùng là p-phân , trong đó chỉ ra cách áp dụng các quy trình cho các trường hợp tam phân.