2.3.1 Kì vọng tốn
Định nghĩa 2.1 Xì vọng tốn của ĐLNN X kí hiệu là E(X) (hoặc ịi) và
dược định nghĩa bởi công thức:
' _n_
52 xiPi nếu X là DLNN rời rạc.
i=l
+OO
f xf(x)dx
>-oo
nếu X là DLNN liên tục.
Ỷ nghĩa: Kì vọng tốn của ĐLNN X đặc trưng cho giá trị trung bình của X.
Kì vọng tốn có các tính chất sau: 1) E(C} — c,c = const
2) E(CX) = CE(X), c = const
3) E(x + y) = E(X) + E(Y)
2.3.2 Mốt (mode)
Mốt của ĐLNN X, kí hiệu là Mod(X') được định nghĩa như sau:
Đối với ĐLNN rời rạc X thì Mod(X') là giá trị của X tại đó có xác suất lớn nhất.
Đối với ĐLNN liên tục X thì Mod(x) là giá trị của X tại đó hàm mật đọ xác suất đạt giá trị cực đạị
2.3.3 Phương sai
Định nghĩa 2.2 Phương sai của DLNN X kí hiệu là VarỌC) (hoặc ơ2) được
xác định bởi công thức: Var(X) = E[(X - ậ)2] Trong đó ụ, = E(XỴ Như vậy: ¿(Xi - p)2pi = £ x?Pì - p? i=l i=l Var(X) = < +oo +oo / (x — /z)2/(x)dx = f x2f(x)dx — ụ.2 oo — oo nếu X là ĐLNN rời rạc nếu X là ĐLNN liên tục
Ý nghĩa: Phương sai của ĐLNN X đặc trưng cho độ phân tán của X so
với kì vọng của nó: phương sai càng lớn thì độ phân tán càng nhiều, phương sai càng nhỏ thì độ phân tán càng ít.
Phương sai có các tính chất sau: 1) Var(C) = 0,(7 = const
2) Var(CX) = c2Var(X), c = const
3) Nếu X và Y là độc lập thì: Var(x + y) = Var(X) + Var(Ỵ}.
2.3.4 Độ lệch tiêu chuẩn
Độ lệch tiêu chuẩn của ĐLNN X kí hiệu 5e(X) (hoặc ơ) là căn bậc hai của phương sai:
Se(X) = ựVar(X)
Ví dụ 2.1 Một hộp có 15 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra
3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm có trong 3 sản phẩm lấy ra, tìm quy luật phân phối của X.
«0,461 « 0,009
X 0 1 2 3
p 0,399 0,461 0,131 0,009
Ví dụ 2.2 Một xạ thủ được phát 4 viên đạn và yêu cầu bắn lần lượt từng
viên cho đến khi trúng bia hoặc hết cả 4 viên đạn thì dừng. Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn mà xạ thủ đó sử dụng. Biết rằng xác suất bắn trúng bia của mỗi lần bắn đều bằng 0,7.
Lời giảị Gọi X là số viên đạn xạ thủ đó sử dụng. X có thể nhận các giá trị
là 1, 2, 3 và 4.
Gọi Ai là biến cố viên thứ i bắn trúng (ỉ = 1,4), ta có: P(X = l) = P(A1) = 0,7
P(x = 2) = P(ÃM2) = P(Z1)P(>12) = 0,3.0,7 = 0,21
P(X = 3) = PÕVÃiXa) = P(Ã)P(Â2)P(>13) = 0,3.0,3.0,7 = 0,063 P(X = 4) = P(Ãl.Ã2.Ã3.A4 +Ã.Â2.Ã3.Ã4) = P(Ã.X2.Ã3) = 0,33 = 0,027.
Vậy quy luật phân phối xác suất của X là:
X 1 2 3 4
p 0,7 0,21 0,063 0,027
Ví dụ 2.3 Một giáo viên tiến hành gọi từng sinh viên lên bảng làm bài tập
một các độc lập cho đến khi có sinh viên giải được bài tập (hoặc cả lớp khơng giải được) thì thơị Gọi X là số lần gọi sinh viên, tìm quy luật phân phối xác suất của X. Biết rằng xác suất giải được bài tập của mỗi sinh viên là 0,6 và lớp có n sinh viên.
Lời giảị X có thể nhận các giá trị là 1, 2, 3 ... TỊ
Gọi Ai là biến cố sinh viên thứ i giải được bài tập (ị = 1,4) > ta có: F(x = i) = F(A) = o;6
P(X = 2) = P(Ã^2_) = P(^7)P(A2) = 0,4.0,6
P(x = 3) = PCÃiÃM = P(Ã)P(Ã^)P(>13) = (0,4)2.0,6 P(X = n) = P(Aỵ.A2.Ậ.. Ạn^ì)
= P(Ã).P(ỹh).PÕ4l)... ,P(Ãn-i) = (0,4)n_1 Vậy quy luật phân phối xác suất của X là:
X 1 2 3 n
p 0,6 0,4.0,6 (0,4)2.0,6 (0.4)"-1
Ví dụ 2.4 Cho ĐLNN có bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2
p 0,12 0,46 0,42
ạ Tìm F(rr)
b. Tìm Mod(x) c. Tìm E(X)
d. Tìm độ lệch tiêu chuẩn của X.
Lời giảị 0 ạ F(z) = 0,12 0,12 + 0,46 = 0,58 nếu X < 0 nếu 0 < X < 1 nếu 1 < X < 2 0,12 + 0,46 + 0,42 = 1 X Tổng quát: Cho nếu X > 2 X X1 X! Xi Pi P1 P2 P3 Pn
0 thì F(x) - i ípì j=l 1 nếu X < Xi nếu Xị < X < Xi+1 nếu X > xn b. Mod(X) = 1 vì p(x — 1) = 0,46 là lớn nhất. c. n = E(x) = £ xiPi = 0.0,12 + 1.0,46 + 2.0,42 = 1,3 i d. Var(X) = £ x?Pi - M2 = 02.012 + l2.0,46 + 22.0,42 - 1,32 = 0,45 Khi đó: ơ = y/Var(X} « 0,67
Ví dụ 2.5 Cho ĐLNN có bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2 3
D 1 4 2 1
r
8 8 8 8
Tìm kì vọng tốn và phương sai của Y = 4X + E(x)
Lời giảị Ta có:
14 2 11
E(X) = 0.A + l.| + 2.| + 3.| = |
Suy ra: E(Y) = 4E(X) + E(X) - 4.^ + y = y
Var(y) = 42Var(X)=42.g = ^
Ví dụ 2.6 Cho hàm phân phối xác suất của ĐLNN X là:
nếu X < 0 1___ n _ - cos X nêu 0 < X < 7T 2 nếu X > 7T ạ Tìm hàm mật độ.
b. Tìm kì vọng tốn và phương sai của X.
ạ Theo định nghĩa: /(t) = F'(a;),2; 6 R nên: * 0 1 . - sin X 2 0 X. f(x) = nếu X < 0 nếu 0 < X < 7T nếu X > 7T b. 4-00 0 7T 4-00 £?(%) = í xf(x')dx= ị xf(x')dx + ị xf(x)dx+ Ị xf(x)dx 0 7T —oo —oo 1 ỉ _ư_ 1_____ I’ . 1____ r 1
= - / xsinxdx = — -rrcosrr +-COSI = -7T
2 J 2 lo 2 lo 2 0 4-00 7T Var(x) — Ị {x —-^Tĩ}2 Ị {x)dx — j\x —-Tĩ)2 sinxdx —oo 0 = ỉ í — (x — ~7r)2 cosxl + 2 [(x — Ìtt) cosxdx 2 L v 2 7 lo J 2 7 0 7T2 , 7T. . p Ễ 1’ 7T2 - — + (X — —) sim +COSX = — 4 2 lo lo 4
Ví dụ 2.7 Cho hàm mật độ của ĐLNN liên tục X là:
nếu X < 1 nếu X > 1 ạ Tìm a b. Tìm F(x) c. Tìm P(2 < X < 3) Lời giảị +oo ạ Từ tính chất f f(x)dx = 1
—oo suy ra: 1 =
+°° n. ĩ. a f ^dx= lim Ị-^dx = a 1 X2 €->+00 1 X2 Vậy a = 1 b. Ta có F(:r) = f f(i)dt Nếu X < 1 => F(x) = 0
X Nếu X > 1 => F(x) = f ^rdt = — — + 1 = -— v 1 ] t2 X X / ✓ 0 X — 1 Vậy F(x) = < 0 nếu X < 1 nếu X > 1 X c. P(2 < X < 3) = F(2 < X < 3) = F(3) - F(2) = Ị - ị = ị 3 2 6 Bài tập chương 2 2.1 Có hai hộp đựng bút chì: Hộp I đựng 15 bút chì đỏ, 5 bút chì xanh. Hộp II đựng 10 bút chì đỏ, 2 bút chì xanh.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bút. Gọi X là số bút chì đỏ có trong 2 bút lấy rạ
ạ Lập bảng phân phối xác suất của X. b. Tìm F(X),E(X),Var(X)
2.2 Có 3 xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp. Biết xác suất để các xe đó
chở hàng về đến xí nghiệp đúng giờ quy định lần lượt là 0,6; 0,5; 0,8. Gọi X là số xe về đến xí nghiệp đúng giờ quy định.
ạ Lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c. Tìm kì vọng và phương sai của X
d. Tìm F(0,5 < X < 2,2)
'>2.3 Có 3 lơ đựng sản phẩm, mỗi lơ đều có 10 sản phẩm. Trong đó lơ thứ
nhất có 2 sản phẩm hỏng, lơ thứ hai có 3 sản phẩm hỏng và lõ thứ ba có 4 sản phẩm hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm hỏng có trong 3 sản phẩm lấy rạ
ạ Tìm quy luật phân phối của X.
2.4 Có hai hộp đựng bút chì mỗi hộp đều có 6 bút chì xanh và 4 bút chì đỏ. 7°Lấy ngẫu nhiên 2 bút từ hộp I bỏ sang hộp IỊ Sau đó từ hộp II lấy ra 3 bút.
Gọi X là số bút đỏ lấy ra từ hộp IỊ ạ Tìm quy luật phân phối của X. b. Lập hàm phân phối xác suất của X.
c. Tìm kì vọng tốn, phương sai của X.
2.5 Một lơ hàng gồm 8 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại IỊ Lấy ngẫu nhiên
(cùng một lúc) ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm đó.
ạ Tìm quy luật phân phối của X. b. Lập hàm phân phối xác suất của X.
2.6 Cho bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2
p 0,12 0,46 0,42
ạ Lập hàm phân phối xác suất của X. b. Tìm P(|X -E(X)| < 2).
2.7 Một người thi bằng lái xe, nếu thi trượt lại đăng kí thi lại cho đến khi
thi đạt mới thôị Xác suất thi đạt ở mỗi lần thi của người đó là Lập bảng
ó
phân phối xác suất của số lần người đó dự thị
2.8 Giả sử ĐLNN X có E(X) = n, Var(X) = ơ2. Cho ư = x chứng
minh rằng E(U) = 0, Var(u) — 1.
2.9 Cho X, Y là hai ĐLNN độc lập, VarỌQ = 3, VarịỴ) = 5, tìm Var(Z),
biết:
2.10 Trong hộp đựng 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm để kiểm tra theo phương thức khơng hồn lại, đến khi nào gặp phế phẩm thì dừng. Gọi X là số lần kiểm trạ
ạ Tìm quy luật phân phối xác suất của X. b. Trung bình cần kiểm tra bao nhiêu lần?
2.11 Chùm chìa khóa của thủ kho gồm 9 chìa trong đó có hai chìa mở được khọ Người đó thử từng chìa một để mở kho, chìa nào thử rồi thì bỏ ra ngồi khơng thử lại cho đến khi tìm được chìa mở được khọ Gọi X là số lần thử. Tìm quy luật phân phối của X.
2.12 ĐLNN X có bảng phân phối xác suất:
X -5 2 3 4
p 0,4 0,3 0,1 0,2
ạ Tìm P(|X - E(X)| < 4)
b. Lập hàm phân phối xác suất của X.
2.13 Gieo đồng thời 100 con xúc xắc (cân đối, đồng chất). Tìm kì vọng và phương sai của tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 100 con xúc xắc đó.
2.14 ĐLNN liên tục X có hàm mật độ: ạ Tìm k _ kx2(l - x) ỉ^ = X ' 0 lơ) nếu X 6 [0,1] nếu X ị [0,1] -- - T
2.15 ĐLNN liên tục X có hàm mật độ:
nếu — 2 < X < 0 nếu 0 < X < 2 nếu X ị [—2,2] Tìm kì vọng và phương sai của X.
2.16 ĐLNN liên tục X có hàm mật độ: /(x) = 1 - cosrr 2 0 X — r 7T 7T1 nếu X e [ - nếux 2’2^ ạ Tìm P(0 < X < Ị) 4
b. Tìm hàm phân phối của X.
c. Tìm kì vọng và phương sai của X.
2.17 ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất:
F(x) = ị + ;arcsi„ĩ nếu X < — 2 nếu — 2 < X < 2 nếu X > 2 ạ Tìm P(|X| < 1) b. Tìm hàm mật độ của X.
2.18 Nhân ngày 26/3, một nhóm sinh viên quyết định tổ chức một buổi ca
nhạc có bán vé tại sân trường vào tối 26/3. số người đến xem dự kiến: Nếu thời tiết đẹp là 2000 người, nếu thời tiết xấu là 1000 ngườị Theo dự báo thời tiết thì 70% tối 26/3 thời tiết sẽ đẹp. Chi phí bao gồm : thuê sân trường 2 triệu, ban nhạc 3 triệu, các chi phí khác ỉ triệụ
ạ Nếu giá vé quy định là 20.000 VNĐ thì tiền lãi trung bình thu được là bao nhiêủ
✓ 0
b. Nếu muốn tiền lãi thu được bằng 40% doanh thu thì cần quy định giá vé là bao nhiêủ
2.19 Tỉ lệ õtô bị tai nạn trong một năm tại một công ty vận tải hành khách
theo thống kê khoảng 0,01. Ban giám đốc quyết định mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A, cho tất cả xe ôtô của công ty với mức 3 triệu VNĐ/1 xe/1 năm. SỐ tiền bảo hiểm trung bình cho mỗi xe trong 1 vụ tai nạn là 10 triệu VNĐ. Nếu tổng các chi phí cho một vụ tai nạn của công ty bảo hiểm A chiếm 30% số tiền bán bảo hiểm thì lợi nhuận trung bình của cơng ty bảo hiểm A thu được là bao nhiêu cho mỗi hợp đồng bảo hiểm.
Chương 3
Một số quy luật phân phối xác suất
3.1 Phân phối nhị thức
3.1.1 Dây phép thử Bernoulli
Một dãy gồm n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng nhau và bằng p được gọi là dãy phép thử Bernoulli (hay còn gọi là một lược đồ Bernoulli).
Nếu gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli thì X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị 0,1,2,3,..., n và :
p(x = k) = Pn(k) = ckpkqn~k, q = 1 - p, k = 0,1,2 ... n
3.1.2 Định nghĩa
ĐLNN rời rạc X đừợc gọi là phân phối theo quy luật nhị thức, kí hiệu
X ~ B(n,p) nếu nó có thể nhận một trong các giá trị 0,1,..., n với xác suất
tương ứng:
P(X = fc) = Pn(k) = ckpkqn~k, q = 1 - p, k = 0,1, 2 ... n
Chú ý 3.1 Trong trường hợp X ~ B(n,p) với n = 1 ta nói X phân phối theo
quy luật khơng — một, kí hiệu X ~ Ăjj). Khi đó bảng phân phối xác suất của
X 0 1
p Q p
3.1.3 Các số đặc trưng
Nếu X ~ B(n,p) thì E(X) = np,Var(X) = npq. Còn Mod(X) là số nguyên thỏa mãn điều kiện : np — q < ModựC) < np + p
Ví dụ 3.1 Ném 10 lần độc lập 1 quả bóng vào rổ. Xác suất ném trúng rổ
trong mỗi lần ném đều bằng 0,7. Tìm xác suất sao cho:
ạ Có hai lần trúng rổ.
b. Có ít nhất hai lần trúng rổ. c. Tìm số lần ti áng rổ trung bình.
d. Tìm số lần ném trúng rổ có khả năng nhất.
Lời giảị Gọi X là số lần ném trúng rổ, khi đó X là ĐLNN rời rạc có thể nhận
các giá trị: 0,1,2,..., 10
Do các lần ném là độc lập và xác suất ném trúng trong môi lần đều bằng 0,7 suy ra : X ~ B(10; 0,7)
P(X = k) = cto(0,7)fe(0,3)10_fc, k = 0,1,2,.... 10
ạ P(X = 2) = c?o(0,7)2(0,3)8 « 0,0014467
b. P(X > 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - (0,3)10 - 10.0,7.(0,3)9 «
0,999856
c. E(X) = np = 10.0,7 = 7. Vậy trung bình có 7 lần trúng rổ.
d. Ta có 7 — 0,3 < ModỌC) < 7 + 0,7. Suy ra ModỌC) = 7. Vậy số lần ném trúng rổ có khả năng nhất là 7 lần.
3.2 Phân phối Poisson
3.2.1 Định nghĩa
ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy luật Poisson nếu nó có the nhận một trong các giá trị 0,1,2,..., n,... với các xác suất tương ứng:
p-x Xk
P(X = k) = -^~, k = 0,1,2...
trong đó A > 0 là tham số.
Nếu X có phân phối Poisson với tham số A ta kí hiệu X PW-
3.2.2 Các số đặc trưng
Nếu X ~ P(A) thì F(X) = A,Var(X) = Ạ Cịn Mod(X) là số nguyên thỏa mãn điều kiện : A — 1 < Mod(X) < A
3.2.3 Mối liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối Poisson Poisson
Giả sử X ~ B(n,p). Khi n lớn, p khá bé thì X có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với tham số A = np. Khi đó:
P(X = k) = ckpkqn~k «
Ví dụ 3.2 Một trạm điện thoại tự động trung bình một giờ có 240 lần gọị
Tìm xác suất để trong 1 phút:
ạ Khơng có lần nào gọị
b. Có từ 2 đến 3 lần gọị
Lời giảị Gọi X là số lằn gọi điện thoại trong 1 phút.
240 Ta có X ~ F(A) với A = E(X) = ^ = 4
60 e-44°
ạ P(X = 0) = = e-4 « 0,01832
e_442 e-443
3.3 Phân phối chuẩn
3.3.1 Định nghĩa
ĐLNN liên tục X được gọi là phân phối theo quy luật chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
(z ~m)2
/(t) = —=e 2cr2 , X e R
ơy27r trong đó: ịi, ơ > 0 là các tham số.
Nếu X là ĐLNN phân phối chuẩn ta kí hiệu : X ~ N(ịi, ơ2)
3.3.2 Các số đặc trưng
Cho X ~ N(ji, <T2), khi đó E(X) = ịi, Var(X) = ơ2, Mod(X) = Ị1.
3.3.3 Xác suất trên một khoảng
Định lí 3.1 Nếu X ~ N(/i,ơ2), khi đó:
p(a < X < b) =
I t 2
trong đó <ĩ>(i) = - !_ f êdi, gọi là hàm Laplace (có bảng giá trị ỏ phần v27T 0
phụ lục).
Hệ quả 3.1.1 Nếu X ~ N(ụ,,ơ2), khi đó:
P(|X-/z| <e) = 2<ĩ>(ệ)
Nếu đặt e = t.ơ thì P(|X — ụ] < tơ) — 2$ (í)
Trong trường hợp t = 3, ta có P(|X — ^1 < 3ơ) = 2<ĩ>(3) « 0, 9973 Từ đó ta có:
Hệ quả 3.1.2 (Quy tắc 3ơ); Nếu X ~ N(ji,ơ2) thì hầu như chắc chắn (với
3.3.4 Mối liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân phối chuẩn chuẩn
Nếu X ~ B(n;p), khi n lớn, p không quá gần 0 cũng như khơng q gần 1 thì X có phân phối xấp xỉ chuẩn với kì vọng tốn là np và phương sai là npq (trong đó q — 1 — p). Khi đó ta có :
p(x = k) = c*pkqn~k « k — np
)
Trong đó p(x) = j=—e 2 là hàm Gauss. v27T
P{kr < X < kz) m Q(
Trong đó $(t) = —Ị e X2 dx, là hàm Laplacẹ v27T 0
Ví dụ 3.3 ĐLNN X tuân theo quy luật phân phối chuẩn với E(x) = 8,
V ar(X} = 4. Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (7, 11)
Lời giảị Do X ~ 7V(8,22) nên suy ra :