chuẩn
Nếu X ~ B(n;p), khi n lớn, p không quá gần 0 cũng như khơng q gần 1 thì X có phân phối xấp xỉ chuẩn với kì vọng tốn là np và phương sai là npq (trong đó q — 1 — p). Khi đó ta có :
p(x = k) = c*pkqn~k « k — np
)
Trong đó p(x) = j=—e 2 là hàm Gauss. v27T
P{kr < X < kz) m Q(
Trong đó $(t) = —Ị e X2 dx, là hàm Laplacẹ v27T 0
Ví dụ 3.3 ĐLNN X tuân theo quy luật phân phối chuẩn với E(x) = 8,
V ar(X} = 4. Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (7, 11)
Lời giảị Do X ~ 7V(8,22) nên suy ra :
p(7 < X < 11) = $(—- $(^) = $(1,5) - $(-0,5) = $(1,5) + $(0,5) « 0,4332 + 0,1915 = 0,6247
Ví dụ 3.4 Chi tiết máy do một máy tự động sản xuất ra được coi là đạt
tiêu chuẩn nếu đường kính của chi tiết này sai lệch so với đường kính thiết kế khơng q 0,5mm. Biết rằng sai lệch này là ĐLNN phân phối chuẩn với
p, — 0, ơ — 0,2mm. Tìm tỉ lệ chi tiết máy đạt tiêu chuẩn.
Lời giảị Gọi X là sai lệch giữa đường kính của chi tiết máy được sản xuất ra
so với đường kính thiết kế, theo giả thiết ta có : X ~ 7V(0; 0,22). Vậy tỉ lệ chi tiết máy đạt tiêu chuẩn là:
P(|X-p| < 0,5) = P(|X| < 0,5) = 24>(^) = 24>(2,5) = 2.0,4938 = 0,9876
Bài tập chương 3 Ạ Phân phối nhị thức
3.1 Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập nhau, xác suất để mỗi máy bị hỏng trong khoảng thời gian T đều bằng 0,1. Tìm xác suất để trong khoảng
thời gian T :
ạ Có hai máy bị hỏng.
b. Có khơng q 1 máy bị hỏng.
c. Gọi X là số máy bị hỏng trong khoảng thời gian T. Hãy tìm E{X}, Var[X), Mod(X)
3.2 ạ Hai kiện tướng cờ ngang sức thi đấu với nhaụ Hỏi thắng 2 trong 4 ván dễ hơn hay thắng 3 trong 6 ván dễ hơn?
b. Nếu hai đấu thủ A và B thi đấu với nhau 5 ván và xác suất thắng mỗi ván của đấu thủ A là 0,6 thì khả năng để A thắng B ít hơn 3 ván là bao nhiêủ
3.3 Một hộp đựng 20 sản phẩm trong đó có 4 sản phẩm loại IỊ Rút ngẫu
nhiên từ hộp ra 5 lần mỗi lần 1 sản phẩm, rút có hồn lạị Lơ hàng được
nghiệm thu nếu trong 5 lần rút có khơng q 1 sản phẩm loại IỊ Tìm xác suất để lơ hàng được nghiệm thụ
3.4 Gieo 20 000 hạt giống, xác suất để mỗi hạt giống nảy mầm đều bằng 0,75. Gọi X là số hạt giống nảy mầm.
ạ Tìm quy luật phân phối của X.
b. Tìm E(X),Var(X).
3.5 Để tiêu diệt 1 xe tăng địch phải có ít nhất 2 viên đạn trúng xẹ Một tiểu đội bắn 10 viên đạn độc lập vào xe tăng đó, xác suất mỗi viên trúng đều bằng
0,8. Tìm xác suất để xe tăng bị tiêu diệt.
3.6 Một gia đình ni 20 con gà đẻ. Xác suất để mỗi con gà đẻ trứng một
z
ạ 12 con gà đẻ.
b. Từ 10 đến 15 con gà đẻ.
3.7 Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏị Mỗi câu hỏi có 3 cách trả lời
trong đó chỉ có 1 cách đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Một sinh viên khi làm bài chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 cách trả lời cho mỗí câụ Tìm xác suất để sinh viên đó :
ạ Chỉ được 8 điểm. b. Được ít nhất 8 điểm.
3.8 Một cầu thủ bông rổ ném phạt nổi tiếng, với xác suất ném trúng rổ trong
mỗi lần ném phạt là 0,8.
ạ Nếu kết luận cầu thủ đó ném phạt 10 quả thì 8 quả trúng rổ, kết luận
đó có đúng khơng?
b. Tìm xác suất để trong 10 lằn ném có 8 lần trúng rổ.
3.9 Hai cầu thủ bóng rổ mỗi người ném 3 lần một cách độc lập vào rổ, xác
suất ném trúng rổ trong mỗi lần ném của họ lần lượt là 0,6 và 0,65.
ạ Tìm xác suất để hai người bằng điểm nhau (số quả bóng trúng rổ như nhau).
b. Người thứ nhất nhiều điểm hơn người thứ hai (số lần ném trúng nhiều hơn).
3.10 Trong thành phố-có 40% gia đình có máy tính. Chọn ngẫu nhiên 15 gia đình.
ạ Tìm xác suất để có 4 gia đình có máy vi tính.
b. Tìm xác suất để có ít nhất 2 gia đình có máy vi tính. c. TYung bình có mấy gia đình có máy vi tính.
3.11 Xác suất bắn trúng đích của một xạ thủ là 0,6. Hỏi xạ thủ đó phải bắn ít nhất bao nhiêu phát để với xác suất khơng nhỏ hơn 0,95 có thể hy vọng có ít nhất 1 phát trúng đích?
3.12 ĐLNN X có bảng phân phối xác suất :
X -1 0 2
p 0,1 0,5 0,4
{sin 2xỒ
Tìm xác suất sao cho trong 4 lần quan sát độc lập về X có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (—0,5; 2).
3.13 ĐLNN X có hàm mật độ xác suất:
nêu X G (0, —) nếu X ị (0,
Tìm xác suất để trong 4 lần quan sát độc lập về X có nhiều nhất 1 lần X 7T
nhận giá trị trong khoảng (0, ^).
3.14 Một kiện hàng gồm 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy lần lượt từ kiện hàng ra 3 sản phẩm theo phương thức có hồn lạị Lập bảng phân phối xác suất của số phế phẩm có trong 3 sản phẩm lấy rạ
3.15 Một kiện hàng trong, đó số sản phẩm loại I gấp 4 lần số sản phẩm loại IỊ Lần lượt lấy từ kiện hàng ra 3 sản phẩm, lấy có hồn lạị Tìm xác suất để cả 3 sản phẩm lấy ra thuộc cùng một loạị
3.16 Tại vòng đấu bảng giải bóng chuyền tồn quốc, đội A phải thi đấu 3 trận. Ban huấn luyện treo giải thưởng cho đội A là nếu thắng 1 trận được thưỏng 5 triệu và thua bị phạt 2 triệụ Giả sử xác suất thắng của đội A trong mỗi trận đấu là 0,6. Tính tiền thưởng trung bình của đội tại vịng bảng đó.
B. Phân phối Poisson
3.17 Trong thành phố 1 tuần trung bình có 2 vụ tai nạn giao thơng. Tìm xác suất để:
ạ Khơng có vụ tai nạn giao thơng nào trong 1 ngàỵ
b. Có ít nhất 3 vụ tai nạn giao thơng trong vịng 2 ngàỵ p "
3.18 Một lơ hàng có tỉ lệ phế phẩm là 0,01. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 80 sản phẩm từ lơ đó được:
ạ Tất cả đều tốt.
b. 1 phế phẩm.
b. Từ 1 đến 3 phế phẩm.
3.19 Một siêu thị nhỏ trung bình 1 giờ có 60 lượt khách vàọ Tìm xác suất để trong 1 phút khơng có khách nào vàọ
3.20 Một đợt xổ số người ta phát hành 100000 nghìn vé trong đó có 50 vé trúng thưởng. Cần phải mua ít nhất bao nhiêu vé để xác suất trúng thưỏng khơng nhỏ hơn 0,95.
3.21 Một cửa hàng có 4 xe ơtơ cho th, số khách có nhu cầu thuê xe trong 1 ngày là ĐLNN X có phân phối Poisson vởi E(x) = 2. Hãy tính số ơtỗ trung bình mà cửa hàng cho thuê trong 1 ngàỵ
3.22 Giả sử số thư mà Chủ tịch thành phố nhận được trong một ngày là một ĐLNN phân phối Poisson với tham số A = 1,5. Tìm xác suất để trong một ngày ông Chủ tịch :
ạ Không nhận được thư nàọ b. Nhận được hai thư.
c. Nhận được ít nhất hai thư.
3.23 Tỉ lệ tử vong của trẻ sơ sinh ở một vùng là 0,02%. Tìm xác suất để trong 5000 trẻ sơ sinh tại vùng đó có khơng quá 3 trẻ bị chết.
3.24 Cần phải mua ít nhất bao nhiêu vé xổ số để xác suất thắng không nhỏ hơn 70%. Biết rằng đợt xổ số phát hành 50000 vé trong đó có 50 vé trúng thưởng.
3.25 Một tổng đài điện thoại của một công ty gồm 100 máy điện thoại sử dụng độc lập nhau và thường xuyên như nhaụ Tìm xác suất sao cho khi 1 máy gọi thì tổng đài bận.
3.26 Một văn phịng cho th xe ơtơ du lịch có 10 xe cho thuê. Giả sử SC người đến thuê xe ôtô trong một ngày là ĐLNN phân phối Poisson với A = 2. Tìm xác suất để trong một ngày có:
ạ ít nhất 3 xe được thuê.
b. Công ty không đáp ứng được yêu cầu cho thuê.
3.27 Tỉ lệ hạt lép của một lơ thóc giống là 3%
ạ Cần phải chọn ra ít nhất bao nhiêu hạt để xác suất có ít nhất 1 hạt lép khơng nhỏ hơn 95%?
b. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1000 hạt có từ 3 đến 5 hạt lép. c. Chọn ngẫu nhiên ra 1000 hạt giống thấy có khơng q 3 hạt lép. Tìm
xác suất để trong 1000 hạt chọn ra có đúng 3 hạt lép.
c. Phân phối chuẩn
3.28 Trọng lượng của con gà là một ĐLNN phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 1,5 kg và độ lệch tiêu chuẩn 0,4 kg. Tìm xác suất để một con gà
được chọn ngẫu nhiên có trọng lượng : ,?
ạ Nặng hơn 2 kg.
i *1 ■ •
b. Nằm trong khoảng từ 1,6 kg đến 1,8 kg.
Í.29 Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một ĐLNN X ^ầỡn
vị là phút) có phân phối chuẩn. Biết rằng 75% số ngày sinh viên đến trựềựlg
mất hơn 20 phút và 10% số ngày mất hơn 25 phút. ■///
ạ Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ -lệch tíiêu
chuẩn của X.
b. Sinh viên A cần phải xuất phát trưởc giờ học là bao nhiêu phút để xác suất bị muộn học bé hơn 0,04?
3.30 Trọng lượng của một loại sản phẩm là ĐLNN phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là p, = 500 gam và độ lệch tiêu chuẩn ơ = 2 gam.
ạ Tính xác suất để sản phẩm được chọn ngẫu nhiên có trọng lượng nằm
trong khoảng từ 494 gam đến 506 gam. b. Nếu sản phẩm đó được chia làm ba loại :
- Loại I nếư trọng lượng lớn hơn 505 gam
- Loại II nếu trọng lượng từ 489 gam đến 505 gam
- Loại III nếu trọng lượng nhỏ hơn 489 gam
Tính tỉ lệ sản phẩm từng loạị
3.31 Dường kính của chi tiết máy do một máy tự động sản xuất là ĐLNN phân phối chuẩn với /JL = 10 mm, ơ = lmm. Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 5 chi tiết máy thì có 2 chi tiết có đường kính sai lệch so với đường kính trung bình khơng q 0,5 mm.
3.32 Doanh thu một ngày của một cửa hàng là một ĐLNN phân phối chuẩn với doanh thu trung bình là 52 triệu đồng và độ lệch tiêu chuẩn là 2 triệu đồng. Một ngày được coi là bán đắt hàng nếu có doanh thu lớn hơn 55 triệu đồng. Tìm xác suất để trong 3 ngày bán hàng thì có 1 ngày bán đắt hàng.
3.33 Bắn 100 viên đạn vào một mục tiêụ Biết xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều bằng 0,7. Tìm xác suất để có :
ạ 65 viên trúng.
b. Từ 65 đến 70 viên trúng.
3.34 Tuổi thọ của một loại TV là một ĐLNN phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 7 năm và độ lệch chuẩn về tuổi thọ là 2 năm. Tìm xác suất để trong 1000 TV loại này có ít nhất 700 chiếc có tuổi thọ nằm trong khoảng từ 5 năm đến 9 năm.
x-3.35 Tuổi thọ của một loại sản phẩm điện tử là một ĐLNN phân phối chuẩn
với tuồi thọ trung bình là 4 năm và độ lệch chuẩn về tuổi thọ là 2 năm. Giá mua một sản phẩm là 5000000 đồng, giá bán một sản phẩm là 5100000 đồng. Nếu bảo hành thì phải chi 300000 đồng cho việc bảo hành.
ạ Nếu quy định thời hạn bảo hành là 2 năm thì tiền lãi trung bình khi bán một sản phẩm là bao nhiêụ
b. Muốn cho tiền Ịãi khi bán một sản phẩm là 70000 đồng thì cần quy định thời gian bảo hành là bao nhiêủ
3.36 Theo thống kê trong số những người hâm mộ bóng đá ở Hà Nội có tới 60% hâm mộ giải ngoại hạng Anh. Tìm xác suất để khi điều tra ngẫu nhiên 400 người hâm mộ bóng đá ở Hà Nội có từ 250 đến 350 người hâm mộ giải bóng đá ngoại hạng Anh.
3.37 Năm 2008 có 100 đơn xin làm việc tại trường ĐHTM của các sinh viên vừa mới tốt nghiệp. Tìm xác suất để số sinh viên nữ của trường vừa tốt nghiệp có đơn xin làm việc tại trường từ 55 đến 65 sinh viên. Biết tỉ lệ sinh viên nữ tốt nghiệp ĐHTM là 60% •
3.38 Độ dài chi tiết máy do một máy tự động sản xuất là một ĐLNN phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1 mm. Chi tiết máy được coi là đạt tiêu chuẩn nếu độ dài chi tiết máy sai lệch vổi độ dài trung bình về giá trị tuyệt đối khơng vượt q 2 mm.
ạ Tìm tỉ lệ chi tiết máy đạt tiêu chuẩn.
b. Tìm xác suất để trong 100 chi tiết chọn ra ngẫu nhiên có 6 chi tiết khơng
đạt tiêu chuẩn.
3.39 Độ dài chi tiết máy do một máy tự động sản xuất là một ĐLNN phân phối chuẩn với độ dài quy định là ịi = 20mm và độ lệch tiêu chuẩn là ơ = 0, 2 mm. Chi tiết được coi là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nếu độ dài của nó sai lệch với độ dài quy định khơng vượt quá 0,3 mm.
ạ Tìm tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.
b. Chọn ngẫu nhiên ra 100 chi tiết, tìm xác suất để có từ 75 đến 85 chi tiết đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.
3.40 Kho hàng xuất khẩu của công ty gồm 100 kiện hàng. Mồi kiện hàng có 100 sản phẩm, biết tỉ lệ phế phẩm ở mỗi kiện hàng đều bằng 0,05. Người ta kiểm tra bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi kiện hàng 10 sản phẩm theo phương thức có hồn lạị Tính xác suất để trong số các sản phẩm chọn ra đó có từ 15 đến 25 phế phẩm.
BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN XÁC SUAT
Bài 1 Khóa 42 khoa QTDN trong học kì này có 20% sinh viên phải thi lại
mơn Lý thuyết xác suất và Thống kê tốn (LTXS-TKT), 15% sinh viên thi lại mơn Tốn cao cấp, 10% thi lại môn Anh văn, 8% thi lại cả môn LTXS-TKT và môn Anh văn, 10% thi lại cả mơn LTXS-TKT và Tốn cao cấp, 6% thi lại cả Toán cao cấp và Anh văn , 5% thi lại cả ba mơn học nàỵ Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong khoa thì sinh viên đó phải:
ạ Thi lại ít nhất một trong ba mơn trẽn.
b. Thi lại cả hai mon LTXS-TKT và toán cao cấp.
c. Thi lại môn Anh văn biết sinh viên đó thi lại mơn LTXS-TKT.
Bài 2 Một nhóm sinh viên tình nguyện được trang bị áo mưa giống hệt nhaụ
Một lần cả nhóm vào quán uống nước để trú mưa và treo áo mưa lên mắc. Khi họ ra về mỗi người lấy "hú họa" một áo mưạ Tìm xác suất để ít nhất có 1 ngưịi chọn đúng áo của mình.
Bài 3 Một người ham mê cờ bạc và chơi trị sấp - ngửa, người đó chọn mặt
"sấp" (hoặc mặt "ngửa") sau đó mới tung đồng xụ Nếu đồng xu xuất hiện đúng mặt đã chọn thì được 1 nghìn đồng, nếu khơng thì mất 1 nghìn đồng. Giả sử khi bắt đầu chơi người đó có N nghìn đồng và tự đặt ra mục tiêu chỉ chơi đến khi nào trong túi có M nghìn đồng M > N. Trò chơi kéo dài đến lúc người đó đạt "mục tiêu" có M nghìn đồng hoặc bị phá sản (trong túi khơng cịn đồng nào). Tìm xác suất để người đó bị phá sản.
Bài 4 Một tiệc cưới có 600 khách được mời ăn. Do phịng ân nhỏ nên người
ta phải bố trí làm hai đợt ăn liên tiếp. Vậy số ghế của phòng ăn là bao nhiêu để khả năng không đủ chỗ cho người đến ăn bé hơn 0,01?
Bài 5 Năm 2008 trường đại học Thương mại có chỉ tiêu tuyển sinh cao học
là 200 ngườị Giả sử trường có 300 người dự thi và xác suất đỗ của mỗi người là 60%. Tính xác suất để số ngưịi trúng tuyển cao học của trường năm 2008 không vượt quá chỉ tiêụ
Bài 6 Một nhân viên tiếp thị mỗi ngày đi chào hàng 10 nơị Biết xác suất