4.3 Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê quan trọng
4.3.4 Quy luật phân phối xác suất của tần suất mẫu
ạ Xét một đám đông gồm N phần tử, trong đó có M phần tử mang dấu
hiệu Ạ Gọi p là xác suất để rút ngẫu nhiên từ đám đơng ra một phần tử thì
M
được một phần tử mang dấu hiệu Ạ Ta có P(Á) = N = P’ đây chính là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông. Nếu gọi X là số phần tử mang dấu hiệu A có được khi lấy ngầu nhiên từ đám đơng nói trên một phần tử thì X có phân phối khơng - một: X ~ Ăp). Ta có E(X) = p và V ar(X) — pq trong đó q = 1 — p (xem [1], §1, chương IV).
Từ đám đông ta lấy ngẫu nhiên ra một mẫu kích thước 71. Gọi là số phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu, khi đó f — — là tần suất xuất hiện dấu
71
hiệu A trên mẫu (/ chính là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu). Gọi
Xi là số phần tử mang dấu hiệu A có được khi lấy phần tử thứ i của mẫu (i = 1,2,..., Ti). Nếu mẫu lấy có hồn lại thì Xi là các ĐLNN độc lập và có
Vì 77Ä = ¿Xi nên X = 1 ¿Xi = ^ = /.
i=i ni=i n
Do đó theo (4.1) và (4.2), ta có:
Eự) = E(X) = E(x) = p; Var(f) = Var(X) = Var(x) = ?1
n n
Khi 77 đủ lớn thì f có phân phối xấp xỉ chuẩn. Chẳng hạn, ta có thể lấy tiêu chuẩn n đủ lớn sau:
np> 5 < khi biết p 77(1 — p) > 5 Khi đó ta có: (4.10) ư =
Chú ý 4.6 Theo mục 4.2.1, khi kích thước mẫu n khá nhỏ so kích thước đám
đơng N, thì mặc dù mẫu lấy khơng hồn lại ta vẫn có thể coi như lấy mẫu có hồn lạị
b. Xét hai đám đơng có tỉ lệ các phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu tương ứng là P1 và P2- Từ đám đông thứ nhất lấy ra mẫu ngẫu nhiên kích thước ni thấy có 711,4 phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứụ Từ đám đông thứ hai lấy ra mẫu ngẫu nhiên kích thước 712 thấy có 772/1 phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứụ Khi đó /1 = và /2 = —— là tần suất xuất hiện phần
711 772
tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu tương ứng trên mẫu thứ nhất và mẫu thứ haị
Khi 771 và 772 đủ lởn ta có: fi ~ X(pi, ^7^-) và /2 — x(p2, ^^)
771 772
Nên nếu hai mẫu là độc lập thì :
u - - P2) ~ X(0,1) (4.11)
/Pigi f P2Ợ2 V 771 n2
Bài tập chương 4
4.1 Điều tra ngẫu nhiên 10 sinh viên của một trường đại học được số liệu về
điểm thi môn Lý thuyết xác suất và Thống kê toán như sau: 7875665455 ạ Lập bảng phân phối thực nghiệm.
í
b. Lập hàm phân phối thực nghiệm.
4.2 Điều tra một mẫu kích thước 20 được kết quả:
15. 1? 17 17 14 15 16 17 18 16
16 18 15 17 16 14 16 17 15 18
ạ Lập bảng phân phối thực nghiệm. b. Lập hàm phân phối thực nghiệm.
c. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh.
4.3 Biết một giá trị của hàm phân phối xác suất: F(15) = 0,7. Với một mẫu
kích thước n = 25, tìm P[F*(15) < 0,6]
4.4 Theo dõi doanh thu của một cửa hàng trong 25 ngày được kết quả:
Doanh thu (đv: triệu VND) 20 22 24 26 28 30
Số ngày 1 4 7 8 3 2
Tìm trung bình mẫu, độ lệch tiêu chuẩn mẫu và độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh.
4.5 Theo dõi mức chi tiêu của 20 khách nước ngoài trong một lần du lịch ở
Mức chi tiêu (đơn vị USD) Số khách 800 - 900 3 900 - 1000 5 1000 - 1100 10 1100 - 1200 2
Tìm trung bình mẫu, phương sai mẫu và phương sai mẫu điều chỉnh của mức chi tiêụ
4.6 Tuổi thọ của một loại sản phẩm là một ĐLNN phân phối chuẩn với tuổi
thọ trung bình là 6 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 2,4 năm. Tìm xác suất để tuổi thọ trung bình của 9 sản phẩm lớn hơn 7 năm.
4.7 Biết dấu hiệu cần nghiên cứu là X là một ĐLNN phân phối chuẩn. Với
mầu kích thước 16, tìm P(ji — < X)
4.8 Xét một ĐLNN gốc X. Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước 36.
Tìm P(X — ụ, < ^).
4.9 Biết tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn do một máy tự động sản xuất
là 0,08. Lấy một mẫu kích thước 100. Gọi f là tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trên mẫụ Tìm p(f > 0,1).
4.10 Biết tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 0,06. Xác suất để tỉ lệ phế phẩm có trong 200 sản phẩm lấy ra nhỏ hơn 0,05 là bao nhiêủ
4.11 Tỉ lệ người nhiễm vi rút viêm gan B trong một vùng được xác định là 20%. Hỏi xác suất để trong 100 người lấy ra một cách ngẫu nhiên có ít hơn 15 người nhiễm vi rút viêm gan B là bao nhiêủ
4.12 Lấy mẫu kích thước n = 20. Tìm P(S'2 > l,6ơ2). Biết dấu hiệu cần nghiên cứu là một ĐLNN phân phổi chuẩn.
4.13 Biết X là một ĐLNN phân phối chuẩn. Lấy một mẫu kích thước 15.
2
4.14 Biết hai ĐLNN X1 và x2 đều có phân phối chuẩn cùng kì vọng tốn và phương sai tương ứng là 12 và 15. Lấy hai mẫu kích thước lần lượt là 20 và 25. Tính P(Xỵ -X2 >1,5).
4.15 Tuổi thọ bóng đèn của hai nhà máy đều phân phối theo quy luật chuẩn, có cùng kì vọng và phương sai tương ứng là 500(giờ)2 và 900(giờ)2. Kiểm tra 10 bóng đèn của nhà máy thứ nhất và 9 bóng đèn của nhà máy thứ haị Tính P(Xi - x2 > 20).
4.16 Biết X1 và x2 đều có phân phối chuẩn với phương sai tương ứng là 150 5'2
Chương 5
Ước lượng các tham số của ĐLNN
Xét một ĐLNN X thể hiện trên một đám đông nào đó. Các số đặc trưng của X được gọi là các tham số lý thuyết (hay các tham số của đám đông). Ký hiệu chung các tham số lý thuyết cần ước lượng là &. Có hai phương pháp ước lượng ớ là ước lượng điểm và ước lượng bằng khoảng tin cậỵ
5.1 Ước lượng điểm
Giả sử cần ước lượng tham số ớ. Từ đám đông lấy mẫu w = (X1, X2,..., Xn) từ mẫu này ta xây dựng một thống kê ớ* = /(Xi, X2,.. -, Xn) thích hợp. Để có ước lượng điểm, ta chỉ việc điều tra một mẫu cụ thể w = (xi,X2,... ,xn) với kích thước n đủ lớn, rồi lấy 0 « ớ* = f(xi,X2,, xn).
Có nhiều cách chọn thống kê ỡ*. Thông thường người ta xây dựng ớ* bằng phương pháp hàm ước lượng, tức là chọn ỡ* là các đặc trưng mẫu tương ứng. Chẳng hạn lấy trung bình mẫu X để ước lượng trung bình đám đơng
ịi = E(X), lấy phương sai mẫu điều chỉnh s'2 để ước lượng phương sai của
đám đông ơ2 = Var^X), lấy tần xuất mẫu f để ước lượng tỉ lệ của đám đông
p. Sau đây là các tiêu chuẩn phản ánh bản chất tốt của ước lượng.