2 Không gian định chuẩn
3.6 Định lý Hahn–Banach
Định lí Hahn–Banach là một trong những kết quả quan trọng của Giải tích hàm. Ngắn gọn, nó nói rằngmột phiếm hàm tuyến tính liên tục ln có thể mở rộng bảo tồn chuẩn.
3.6.1 Định lý(định lí Hahn–Banach). ChoMlà một khơng gian con của không gian định chuẩn
E trên trườngF=RhoặcF=C. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tụcT trênMđều mở rộng được thành một phiếm hàm tuyến tính liên tụcT˜ trênEsao cho
T˜ =kTk.
Chứng minh. Xét trường hợp trường hợpF=R.
Dàn ý của chứng minh là trước hết chứng tỏ ln có thể mở rộng thêm 1 chiều, sau đó dùng “qui nạp siêu hạng” để mở rộng bất kì.
Giả sửM,E vàE=M+Nvới N là một khơng gian con một chiều củaE sinh bởix0. Như vậyE={x+t x0| x∈M,t∈R}. Một mở rộng tuyến tính củaTthànhT˜ :E→Fsẽ được xác định bởi giá trị của nó tạix0, vìT(˜ x+t x0)=T x˜ +tT x˜ 0=T x+tT x˜ 0. Ta chứng tỏ tồn tại giá trịT˜(x0)để
˜
T là liên tục vàT˜
=kTk. Điều kiện là
|T˜(x+t x0)| ≤ kTk kx+t x0k, ∀x∈M,∀t∈R. VìT˜ mở rộngT nênT˜
≥ kTk, nên điều kiện trên sẽ đảm bảoT˜
=kTk. Thayx bởit xđiều trên tương đương với
|T˜(x+x0)| ≤ kTk kx+x0k, ∀x∈M, tức là
− kTk kx+x0k −T x≤T(˜ x0) ≤ kTk kx+x0k −T x, ∀x∈M.
Như vậyT˜(x0)là một số thực thuộc đoạn[− kTk kx+x0k −T x,kTk kx+x0k −T x]với mọix∈M. Sự tồn tại của một số thực như vậy đồng nghĩa với việc với mọix1∈M,x2∈Mthì
− kTk kx1+x0k −T x1≤ kTk kx2+x0k −T x2. Điều này thì có được do bất đẳng thức tam giác:
T(x2−x1) ≤ kTk kx2−x1k ≤ kTk (kx2+x0k+kx1+x0k).
Bây giờ ta sang bước thứ hai. Ta dùng bổ đề Zorn (3.6.2). Xét tậpCtất cả các cặp(A,S)trong đó Alà một khơng gian con củaE chứa M, vàS là một mở rộng bảo toàn chuẩn củaT lên A. Trên tập hợp này xét quan hệ thứ tự(A,S) ≤ (A0,S0)nếu A⊂ A0vàS0|A=S. Giả sửF là một tập con củaC có thứ tự tồn phần, nghĩa là hai phần tử bất kì trong F so sánh được với nhau. Đặt B=Ð
(A,S)∈F A. Do thứ tự trên F là tồn phần mà ta kiểm đượcBlà một khơng gian vectơ. Đặt g:B→Rbởig(x)=S(x)nếu(A,S) ∈Fvà x∈A, thì cũng nhờFcó thứ tự tồn phần mà ánh xạ này được định nghĩa tốt. Khi đóglà tuyến tính, và
|g(x)|=|S(x)| ≤ kSk kxk=kTk kxk
nênglà liên tục. Đẳng thức trên cũng chứng tỏ ngay kgk=kTk. Vậy cặp (B,g)là một chặn trên của họF.
Theo bổ đề Zorn, tậpC có một phần tử cực đại(A,S). Do luôn mở rộng được một chiều cao hơn như trên đã chỉ ra nênAphải bằngE.
Xét trường hợpF=C.
Trước hết ta chú ý điều sau về ánh xạ tuyến tính phức. Giả sửT:E→Ctuyến tính trên trường C. ViếtT=u+ivtrong đóuvàvlà hàm giá trị thực. Khi đóuvàvtuyến tính trên trườngR, và
T(i x)=u(i x)+iv(i x)
do đóv(x)=−u(i x), suy raT(x)=u(x) −iu(i x). Ngược lại nếu u tuyến tính trên trườngR và T(x)=u(x) −iu(i x)thìT là tuyến tính trênC, vìT(i x)=iT(x).
Xét chuẩn củaT. Lấyα=T x/|T x|thì|α|=1vàαT x=|T x| ∈R. Từ đó |T x|=αT x=T(αx)=u(αx) ≤ kuk |α| kxk=kuk kxk.
Từ đây suy ra ngaykTk=kuk. Tóm lại phần thực sẽ quyết định ánh xạ tuyến tính liên tục phức. Như vậy ta chỉ cần áp dụng dạng thực của định lý Hahn–Banach cho phần thực củaT thì sẽ
được ngay dạng phức.
Chứng minh trên của định lý Hahn–Banach phụ thuộc vào bổ đề Zorn:
3.6.2 Mệnh đề(bổ đề Zorn). Nếu một tập hợpScó một thứ tự và mọi tập con củaSmà trong đó hai phần tử bất kì so sánh được với nhau đều bị chặn trên thìScó một phần tử cực đại.
Ở đây một phần tửcực đại(hay tối đại, maximal) là một phần tử không nhỏ hơn phần tử nào. Bổ đề Zohn thường được dùng một cách tương tự như phép qui nạp tốn học trong trường hợp vơ hạn bất kì. Bổ đề Zohn tương đương với tiên đề chọn, tuy có lẽ khơng hiển nhiên nhưng được thừa nhận làm tiên đề trong mơn Giải tích hàm.