4 Không gian Hilbert
4.3 Phép chiếu vng góc
4.3.1 Mệnh đề(sự tồn tại của ảnh chiếu). ChoMlà một khơng gian vectơ con đóng của khơng gian HilbertH. Với mọi x∈Hcó duy nhấty∈Msao cho(x−y) ⊥M.
Ta gọiylàchiếucủax xuốngM, kí hiệu projMx hayPMx. Như vậyPMxđược đặc trưng bởi tính chấtPMx∈Mvà(x−PMx) ⊥M. Ánh xạPM được gọi làphép chiếuxuốngM.
O x PMx M⊥ M x−PMx Hình 4.3.2:
Chứng minh. Đặtd(x,M)=inf{kx−yk |y∈M}, đây là khoảng cách từ xtớiM. Có dãy(yn)n≥1, yn ∈M sao cho limn→∞kx−ynk=d(x,M). Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ x−ymvàx−yn, ta có
kym−ynk2 = 2kx−ymk2+2kx−ynk2− k2x− (ym+yn)k2
= 2kx−ymk2+2kx−ynk2−4kx− (ym+yn)/2k2 ≤ 2kx−ymk2+2kx−ynk2−4d(x,M)2.
Từ đây ta suy ra(yn)n≥1là một dãy Cauchy. VìMlà một khơng gian con đóng của khơng gian đầy đủHnênMlà đầy đủ, do đó dãy(yn)n≥1có giới hạnytrongM. Suy ra ky−xk=d(x,M).
Bây giờ ta chứng minh(x−y) ⊥M. Với mọit∈R, với mọiw∈Mthì
kx−yk2≤ kx−y+twk2=hx−y+tw,x−y+twi. (4.3.3) Trên trường thực điều này dẫn tớikwk2t2+2t(x−y) ·w≥0với mọit∈R. Khảo sát hàm số bậc hai theo biếntta thấy điều này buộc(x−y) ·w=0. Trên trường phức thì bất đẳng thức (4.3.3) chỉ dẫn tới phần thực Re((x−y) ·w)=0. Ở (4.3.3) thaytbởiitthì được phần ảo Im((x−y) ·w)=0,
vậy(x−y) ·w=0.
Chú ý tính đóng và tính đầy đủ đã được dùng trong chứng minh sự tồn tại của phép chiếu.
4.3.4 Ví dụ. Nếuy,0thì chiếu củaxxuốngychính là chiếuxxuống khơng gian tuyến tính sinh bởiy, một khơng gian định chuẩn một chiều nên đầy đủ, do đó đóng trongH. Dễ thấy từ trường hợp mặt phẳng: Phyix= x, y kyk y kyk. Thực vậy ta kiểm tra được ngay làx−Dx, y
kyk
E y
kyk vng góc vớiy. Một số tính chất của phép chiếu được tổng kết lại dưới đây.
4.3.5 Mệnh đề. Cho M là một khơng gian vectơ con đóng của khơng gian Hilbert H. Với mọi x∈Hthì (a) Nếux∈MthìPMx=x. (b) kx−PMxk= inf y∈M kx−yk=d(x,M). (c) x=PMx+PM⊥x. (d) kxk2=kPMxk2+kPM⊥xk2, do đókPMxk ≤ kxk.
(e) PM là ánh xạ tuyến tính liên tục. (f) H=M+M⊥, vàM∩M⊥={0}.