4 Không gian Hilbert
4.4 Phiếm hàm tuyến tính
4.4.1 Mệnh đề(tích trong liên tục theo từng biến). Cho khơng gian tích trong Htrên trường
F=RhoặcF=C.
(a) Ánh xạx7→ hx,yilà tuyến tính liên tục, có chuẩn bằngkyk.
(b) Trên trường số thực thì ánh xạ y7→ hx,yi là tuyến tính liên tục, có chuẩn bằng kxk. Trên
trường số phức thì ánh xạ này khơng tuyến tính nhưng vẫn liên tục.
Chứng minh. Do bất đẳng thức BCS,| hx,yi | ≤ kxk kyk, cả hai ánh xạ trên đều liên tục.
4.4.2 Định lý(định lý biễu diễn Riesz). Cho không gian HilbertHtrên trườngF=RhoặcF=C. Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f :H→Fbất kì tồn tại duy nhấty ∈H sao cho f(x)=hx,yi
với mọix∈H.
Nói ngắn gọn, mọi phiếm hàm tuyến tính trên khơng gian Hilbert đều cho được bởi tích trong. Chú ý rằngkfk=kyk. Như vậy tương ứng
H → H∗
y 7→ f, f(x)=hx,yi
là một song ánh tuyến tính bảo tồn chuẩn, tức là một đẳng cấu của khơng gian định chuẩn. Nói ngắn gọn, một khơng gian Hilbert thì đẳng cấu với khơng gian đối ngẫu của nó.
Chứng minh. Nếu f =0thìy=0.
Giả sử f ,0. Ta nhận thấy ngay nếuytồn tại thìy⊥kerf. Từ đó ta có cách xây dựng sau. Vìkerf là tập đóng, khơng bằng H, nên khơng gian trực giao (kerf)⊥ khác {0}. Vì f ,0 trên(kerf)⊥nên có thể lấyz∈ (kerf)⊥sao cho f(z)=1. Với mọix∈Hthì f(x− f(x)z)=0, nên x−f(x)z∈kerf, do đó hx− f(x)z,zi = 0, hx,zi = f(x) kzk2, f(x) = x, z kzk2 . Vậy ta có thể lấyy= z kzk2.
4.4.3 Ví dụ. Mọi phiếm hàm tuyến tính trên khơng gian EuclidRn đều có dạng x 7→ ha,xi=
Ín
i=1aixivớia∈Rn, xem 3.3.2.
4.4.4 Ví dụ. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f :`2→Rđều có dạng x7→ ha,xi=Í∞
i=1aixi vớia∈`2. Hơn nữa kfk=kak`2. (Xem lại bài tập 3.8.8.)