CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN LQR
2.1.1. Ổn định Lyapunov đối với hệ tuyến tính hóa – tiêu chuẩn ổn định
Lyapunov – phương pháp thứ 2 Lyapunov
Phương pháp Lyapunov cung cấp các điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định hệ thống phi tuyến. Có thể áp dụng cho hệ thống phi tuyến bậc cao bất kỳ. Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất trong việc thiết kế các bộ điều khiển hệ thống phi tuyến.
Định lý Lyapunov về ổn định tiệm cận
Xét hệ thống được mơ tả bởi phương trình trạng thái
= f( )
Nếu tìm được một hàm V(x) với mọi biến trạng thái x1, x2, . . . xn là một hàm
của chuyển động bị nhiễu cũng là hàm xác định dấu, song trái dấu với hàm V(x) thì chuyển động không bị nhiễu sẽ ổn định tiệm cận.
V(x) (x) < 0 : Với mọi biến trạng thái xi, i= hệ thống ổn định tiệm cận.
V(x) (x) = 0 : Với mọi biến trạng thái xi, i= hệ thống ổn định .
V(x) (x) > 0 : Với mọi biến trạng thái xi, i= hệ thống không ổn định.
Phương trình Lyapunov:
Xét hệ thống tuyến tính mơ tả bởi phương trình trạng thái:
(2.1)
Yêu cầu cực tiểu hóa chỉ tiêu chất lượng J:
J = (2.2)
Với Q là ma trận vuông xác định dương Chọn hàm năng lượng V(x) xác định dương
(2.3)
Trong đó S là ma trận vng có dạng xác định dương V(x) có dạng: (x) =
Do V(x) xác định dương, nên hệ thống ổn định thì (x) phải là xác định âm. Ta
chọn (x) = - (do Q là ma trận xác định dương nên (x) sẽ là xác định âm)
(2.4) Điều kiện cần và đủ để trạng thái cân bằng x= 0 ổn định tiện cận cho trước bất kỳ một ma trận xác định dương Q và ma trận A ổn định, tồn tại một ma trận xác định dương S thỏa mãn phương trình:
= -Q (2.5)
Khi S không thay đổi theo thời gian , ta có phương trình đại số Lyapunov
Chỉ tiêu chất lượng J được tính như sau:
Khi tất cả các phần tử của ma trận A âm, ta có 0. Do đó
(2.7)