Wavelet là một hàm có giá trị trung bình bằng khơng và được địa phương hóa trong miền tần sớ và thời gian. Ưu điểm chính của phép biến đổi wavelet liên tục là nó có thể được mơ tả bằng việc địa phương hóa trong khoảng thời gian (Δt) và tần sớ (Δω) hoặc trong cả hai. Có nhiều loại hàm wavelet với các đặc trưng khác nhau như Morlet,
Mexican hat, Harr, Daubechies. Thông thường, trong các nghiên cứu về mối quan hệ giữa hai chuỗi dữ liệu, các nhà nghiên cứu thường sử dụng hàm wavelet Morlet vì hàm Morlet có thể cung cấp các thơng tin về biên độ và trạng thái để nghiên cứu tính đồng thời giữa hai chuỗi dữ liệu khác nhau. Hàm wavelet Morlet được định nghĩa như sau:
𝛹0(𝜂) = 𝜋−1/4𝑒𝑖𝜔0𝜂𝑒−(1/2)𝜂2 (2.1)
Trong đó:
ω0 là tần số và η là thời gian. Hàm wavelet Morlet (với ω0 = 6) là một lựa chọn phù hợp để phân tích các đặc trưng bởi vì nó cung cấp sự cân bằng hiệu quả giữa sự địa phương hóa của thời gian và tần sớ. Hàm wavelet được áp dụng như bộ lọc thông dải cho chuỗi thời gian. Hàm wavelet sẽ được co giãn bằng cách thay đổi tỉ lệ (s), để η = s · t và sau đó được chuẩn hóa để có mức năng lượng đơn vị.
Hệ số CWT (𝑊𝑛𝑋(𝑠)) của một chuỗi dữ liệu (xn, n = 1,..., N) được định nghĩa là
tích chập của dữ liệu (xn) với hàm wavelet được dịch chuyển trong dải tần số và co giãn theo tỉ lệ, được viết như sau:
𝑊𝑛𝑋(𝑠) = √𝛿𝑡
𝑠 ∑𝑁𝑛′=1𝑥𝑛′𝛹0[𝑛′ − 𝑛𝛿𝑡
𝑠] (2.2)
|𝑊𝑛𝑋(𝑠)|2 được định nghĩa là năng lượng wavelet. Đối số của 𝑊𝑛𝑋(𝑠) có thể được
giải thích đơn giản là một trạng thái cục bộ. δt là khoảng thời gian. CWT có đường biên vì wavelet khơng được địa phương hóa hồn tồn theo thời gian. Vùng khơng có ý nghĩa (COI) là vùng có sự hiện diện của các hiệu ứng biên.
Torrence và Compo (1998) đã tiến hành ước lượng quang phổ năng lượng wavelet nhiễu trắng cũng như quang phổ năng lượng wavelet nhiễu đỏ (WPS). Cả hai ước lượng đều được chuyển hóa từ phân phới tương ứng theo quang phổ năng lượng wavelet ở mọi điểm tại thời gian n cũng như tỉ lệ s.
Phân bố tương ứng được xác định như sau:
𝐷 (|𝑊𝑛𝑋(𝑠)|
2
𝜎𝑋2 < 𝑝) = 1
2𝑃𝑘𝜒𝜈(𝑝)2 (2.3)
Trong đó: ν sẽ bằng 1 đới với các hàm wavelet thực và ν sẽ bằng 2 đối với các wavelet phức.