2 TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT
2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại
Định nghĩa 2.4. Cho A : H → 2H là tốn tử đơn điệu. Khi đó A là đơn điệu cực đại nếu khơng tồn tại tốn tử đơn điệu B : H → 2H mà đồ thị của toán tử B thực sự chứa đồ thị của toán tử A.
Định lý 2.1. Cho A : H → 2H là toán tử đơn điệu. Khi đó tồn tại một tốn tử đơn điệu cực đại Ae mở rộng của toán tử A
e
A: H → 2H
sao cho đồ thị của A chứa trong đồ thị của Ae (gra A ⊂ graA).e
Chứng minh.
Trước tiên, ta giả sử rằng gra A 6= ∅ và tập
M = B : H → 2HB là toán tử đơn điệu và gra A ⊂ gra B . Khi đó M 6= ∅ và
(∀B1 ∈ M) (∀B2 ∈ M)B1 ≤ B2 ⇔ gra B1 ⊂gra B2.
Cho C là một dãy trong M. Khi đó đồ thị của nó là ∪
C⊂Cgra C là một cận trên của C. Vì vậy theo bổ đề Zorn’s sẽ tồn tại phần tử cực đại Ae ∈ M. Toán tử Ae∈ M. Tốn tử Ae có tính chất cần tìm.
Bây giờ ta giả sử rằng gra A = ∅. Khi đó bất kỳ tốn tử đơn điệu cực đại mở rộngAecó đồ thị là{(0,0)}thỏa mãn địi hỏi.
điệu nhưng khơng cực đại; đồ thị bên phải là đồ thị của một tốn tử đơn điệu cực đại, hơn nữa nó là đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại mở rộng của tốn tử đơn điệu có đồ thị bên trái.
Hình 2.2:
Mệnh đề 2.6. (xem [10]).Cho A : H → 2H và B : K → 2K là các toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó
B :H × K → 2H×K : (x, y) 7→Ax×By
là đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 2.5. Cho A: H → 2H là tốn tử đơn điệu tuần hồn. Khi đó
A là đơn điệu tuần hồn cực đại nếu khơng tồn tại tốn tử đơn điệu tuần hồn B : H → 2H mà đồ thị B thực sự chứa đồ thị của toán tử A.
Mệnh đề 2.7. Giả sử toán tử T :H → 2H là đơn điệu. Khi đó, T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi, với mọi (a, b) ∈ H × H, nếu
hu−b|x−ai ≥ 0, ∀(x, u) ∈ gra(T)
thì b ∈ T (a). Chứng minh.
Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại mà b /∈ T (a). Ta mở rộng toán tử T thành toán tử Te như sau:
e
T (a) = T (a)∪ {b}. Do đó chúng ta có:
điều này mâu thuẫn với giả thiết T là toán tử đơn điệu cực đại.
Ngược lại, giả sử rằng b ∈ T (a). Xét với mọi tốn tử đơn điệu Tb có: gra(T) ⊆ gra b T . Dễ thấy nếu (a, b) ∈ graTb thì:
hu−b|x−ai ≥ 0 ∀(x, u) ∈ gra(T), và chúng ta có
b ∈ T (a) ⇒(a, b) ∈ gra(T). Nghĩa là
graTb ⊆gra(T).
Điều này chứng tỏT là toán tử đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 2.8. Toán tử đa trị T : H → 2H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi λT là toán tử đơn điệu cực đại (λ >0).
Chứng minh.
Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và λ > 0. Do Mệnh đề 2.2 , λT là toán tử đơn điệu. Để chứng minh λT là toán tử đơn điệu cực đại, chúng ta sử dụng Mệnh đề 2.7. Giả sử (a, b) ∈ H × H thỏa mãn:
hb−u|a−xi ≥ 0, ∀(x, u) ∈ gra(λT). Vì:
∀(x, u) ∈ gra(λT) ⇔u ∈ λT (x) ⇔ x, λ−1u∈ gra(T), điều này kéo theo:
λ−1b−λ−1ua−x≥ 0, x, λ−1u∈ gra(T).
Do T là tốn tử đơn điệu cực đại, từ đó ta có λ−1b ∈ T (a). Từ đây ta suy ra b ∈ (λT) (a).Vậy λT là toán tử đơn điệu cực đại.
Ngược lại, giả sử rằng λT là toán tử đơn điệu cực đại và λ > 0. Đặt
b
T = λT, khi đó
sẽ là tốn tử đơn điệu cực đại.
Định lý 2.2. (Xem [10]). Cho F : H × H → (−∞,+∞] là một hàm lồi sao cho F∗ là chính thường và F∗ ≥ h.|.i. Ta định nghĩa toán tử đa trị A
như sau:
graA = {(x, u) ∈ H × H|F∗(u, x) =hx|ui}.
Khi đó, chúng ta có: (i) A là tốn tử đơn điệu.
(ii) Giả sử F ≥ h.|.i. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 2.3. (Xem [12]). Giả sử C ⊂ H là một tập khác rỗng, lồi, đóng và T :H → 2H là tốn tử đơn điệu. Khi đó mọi z ∈ H, tồn tại x ∈ C thỏa mãn
hx+v|y−xi ≥ hz|y −xi, (y, v) ∈ gra(T), ∀y ∈ C.
Định nghĩa 2.6. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử tràn khi và chỉ khi với mỗi v ∈ H tồn tại x ∈ H thỏa mãn v ∈ T (x).
Mệnh đề 2.9. (Xem [10]). Cho T : H → 2H là tốn tử đơn điệu cực đại với domT đóng. Khi đó T là tốn tử tràn.
Định lý 2.4. (Định lí Minty). Cho T : H → 2H là tốn tử đơn điệu và
λ >0. Khi đó, T là tốn tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi I +λT là toán tử tràn, hay ran(I +λT) = H.
Chứng minh.
Theo Mệnh đề 2.8, khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử λ = 1. Điều kiện cần: Giả sử rằng T là toán tử đơn điệu cực đại. Áp dụng Định lí 2.3 cho C = H, ta có với mỗi z ∈ H, tồn tại x ∈ H sao cho:
hx+ v|y −xi ≥ hz|y −xi, (y, v) ∈ gra(T), ∀y ∈ H, hay
Do tính đơn điệu cực đại của T và theo Mệnh đề 2.7 chúng ta có: (z−x) ∈ T (x), hay z ∈ x+ T (x).
Từ đó suy ra:
z ∈ (I +T) (x). Vậy I +T là toán tử tràn, hay ran(I + T) =H.
Điều kiện đủ: Giả sử ran(I +T) = H và (x, u) ∈ H × H sao cho hu−v|x−yi ≥ 0, ∀(y, v) gra(T). (2.1) Ta sẽ khẳng định rằng: u ∈ T (x).
Thật vậy, do ran(I +T) = H nên tồn tại ξ ∈ H sao cho: x+u ∈ (I +T) (ξ),
hay
u+ x ∈ ξ +T (ξ). (2.2)
Lấy y = ξ và v = u+x−ξ ta được v ∈ T (ξ) hay (y, v) gra(T). Kết hợp với (2.1) chúng ta được:
hu−(u+ x−ξ)|x−ξi ≥ 0. Từ đó suy ra x = ξ.
Mặt khác, do (2.2) ta có:
x+u ∈ x+T (x),
hayu ∈ T (x). VậyT là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 2.5. Cho hàm số f : H → R∪ {+∞} là hàm lồi, đóng, chính thường, nửa liên tục dưới. Khi đó ánh xạ đa trị T :H → 2H cho bởi cơng thức:
T (x) = ∂f(x)
là tốn tử đơn điệu cực đại.
Với f : H → R∪ {+∞} là hàm lồi, đóng, chính thường, nửa liên tục dưới, theo Ví dụ 2.1 thì T = ∂f là tốn tử đơn điệu. Theo Định lý 2.4, chúng ta chỉ cần chứng minhI+T là toán tử tràn, tức làran(I +T) = H. Thật vậy, với mỗi d ∈ H và f ta đặt:
hd(x) = f (x) + 12kxk2 − hd|xi.
Ta có hd(.) là tổng của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, một hàm lồi mạnh, liên tục và một hàm tuyến tính liên tục. Vì vậyhd(.)là hàm lồi mạnh, chính thường, nửa liên tục dưới. Nếu y ∈ domf và c ∈ ∂f (y), thì với mọi x ∈ H ta có: f (x)−f (y) ≥ hc|x−yi. Do đó ta thu được: hd(x) ≥f (y) + 1 2kxk2 − hd|xi+hc|x−yi ⇔ hd(x) ≥ f (y)− hc|yi+ 1 2kxk2 +hc−d|xi. Mặt khác, vì: 1 2kxk2 +hc−d|xi ≥ 1 2kxk2 − kc−dk.kxk → ∞ khi kxk → +∞, nên hd(x) →+∞ khi kxk → +∞. Vậy hd(.) thỏa mãn điều kiện bức, theo nghĩa
hd(x) →+∞ khi kxk → +∞. Do hd(.) là bức và lồi mạnh nên bài toán:
min{hd(x) : x ∈ Rn}
có nghiệm duy nhất. Gọi x∗ là nghiệm của bài tốn này, khi đó 0∈ ∂hd(x∗).
Sử dụng Định lý Moreau-Rockafellar, ta có:
0 ∈ ∂hd(x∗) =∂f (x∗) +x∗ −d. Từ đó suy ra:
d ∈ x∗ +∂f(x∗). Do d là phần tử bất kỳ nên:
I +T = I + ∂f
là toán tử tràn. Vậy, T là tốn tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 2.10. Cho C là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong khơng gian Hilbert H. Khi đó NC là một tốn tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh.
Vì C là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong khơng gian Hilbert H nên theo Ví dụ 1.9 ta có:
NC = ∂ιC.
Kết hợp với Định lý 2.5 cho ta kết quả NC là toán tử đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 2.10. (xem [13]) Cho H là không gian Hilbert, J là ánh xạ đối ngẫu trong Ví dụ 1.8 và T : H → 2H là toán tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi toán tử đa trị T (.+ω) + J là toán tử tràn với mọi ω ∈ H