2 TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT
2.2Tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại
Nếu T1, T2 là hai tốn tử đơn điệu thì theo Mệnh đề 2.2 toán tử T1 +T2 được xác định như sau:
(T1 +T2) (x) =T1(x) +T2(x) = {x∗1 +x∗2|x∗1 ∈ T1(x), x∗2 ∈ T2(x)}
cũng là toán tử đơn điệu.
Vấn đề đặt ra ở đây là nếu T1, T2 là hai tốn tử đơn điệu cực đại thì T1+T2 có là tốn tử đơn điệu cực đại hay không ? Để trả lời câu hỏi này, trước hết chúng ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.12. Giả sử H = R2, C = B((−1,0) ; 1), D = B((1,0) ; 1). Khi đó NC, ND là các tốn tử đơn điệu cực đại (theo Ví dụ 2.10) với (domNC)∩(domND) 6= ∅. Tuy nhiên ran(NC + ND) =R× {0}nên theo Mệnh đề 2.9 thì NC +ND khơng là tốn tử đơn điệu cực đại.
Sau đây chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của vấn đề được nêu ra ở trên.
Định lý 2.6. Cho Q1 : H × H → H : (x, u) 7→ x, và A, B là các toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H sao cho
0 ∈ sriQ1(domFA −domFB).
Khi đó A+ B là tốn tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh.
Áp dụng Mệnh đề 2.12 và Mệnh đề 2.11 (iii) với mọi (x, u1, u2) ∈ H3, chúng ta có:
hx|u1 + u2i ≤ FA(x, u1) +FB(x, u2) ≤ FA∗(u1, x) +FB∗(u2, x). (2.3)
Như vậy hàm
F : H × H →(−∞,+∞] : (x, u) 7→(FA(x, .)FB(x, .)) (u). (2.4) lồi, chính thường và thỏa mãn
Kết hợp Bổ đề 1.2 và (2.3) chúng ta có:
(∀(u, x) ∈ H × H), F∗(u, x) = (FA∗ (., x) FB∗ (., x)) (u) ≥ F (x, u)
≥ (x, u). (2.6)
Bây giờ ta cố định (x, u) ∈ H × H và giả sử rằng F∗(u, x) = hx|ui.
Khi đó (2.6) và Mệnh đề 2.13(i) đảm bảo rằng tồn tại u1, u2 ∈ H sao cho u1 +u2 = u
và
hx|ui = F∗(u, x) = FA∗ (u1, x) +FB∗ (u2, x) ≥ hx|u1i +hx|u2i = hx|ui. Tiếp theo, do Mệnh đề 2.13(ii) nên ta có
FA∗ (u1, x) =hx|u1i, FB∗ (u2, x) = hx|u2i và
(x, u) = (x, u1 +u2) ∈ gra(A+B). Bây giờ ta giả sử rằng
(x, u) ∈ gra(A+B).
Khi đó tồn tại u1 ∈ Ax, u2 ∈ Bx sao cho u1 + u2 = u. Như vậy, áp dụng Mệnh đề 2.13(ii), ta có:
FA∗ (u1, x) =hx|u1i, FB∗ (u2, x) =hx|u2i. Kết hợp điều này với (2.6) chúng ta thu được:
hx|ui = hx|u1i +hx|u2i = FA∗ (u1, x) + FB∗ (u2, x)
≥ (FA∗ (., x) FB∗ (., x)) (u) = F∗(u, x) ≥ hx|ui.
Bởi vậy
F∗(u, x) = hx|ui. Nói tóm lại, chúng ta đã chỉ ra được rằng
Kết hợp (2.5), (2.6), (2.7) và Định lý 2.2 (ii) chúng ta kết luận được rằng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A+B là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 2.7. Cho A và B là các toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H sao cho
cone(domA−domB) =span(domA −domB).
Khi đó A+ B là tốn tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh.
Sử dụng Mệnh đề 2.13 chúng ta có:
cone(domA−domB) ⊂cone(Q1(domFA)−Q1(domFB)) ⊂span(Q1(domFA)−Q1(domFB)) ⊂ span domA−domB
= span(domA−domB) = cone(domA−domB).
Do đó giả thiết của Định lý 2.6 được thỏa mãn nên từ kết quả của Định
lý 2.6 ta đã chứng minh xong định lý.
Hệ quả 2.1. Cho A và B là các toán tử đơn điệu cực đại từ H → 2H sao cho một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) domB = H.
(ii) domA∩intdomB 6= ∅. (iii) 0∈ int (domA−domB
(iv) (∀x ∈ H) (∃ε ∈ R++) [0, εx] ⊂ domA−domB.
(v) domA và domB lồi
0∈ sri(domA−domB).
Khi đó A+ B là đơn điệu cực đại.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) ⇒(iii) ⇒ cone(domA−domB) = span(domA−domB).
(v): Do cone(domA−domB) = span(domA−domB)
Định lý 2.8. Cho H là không gian Hilbert,cho T : H → 2H là toán tử đơn điệu cực đại và f là một hàm lồi, đóng, chính thường trên H. Giả thiết
rằng
0 ∈ core{conv dom(T)−conv dom(∂f)}.
Khi đó:
i) ∂f +T +J là tốn tử tràn.
ii) ∂f +T là toán tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh
i) Ta xét hàm Fitzpatrick FT (x, x∗) và fJ (x) := f (x) + 12kxk2. Đặt
G(x, x∗) := −fJ (x)−fJ∗(−x∗).
Áp dụng Mệnh đề 2.12 và bất đẳng thức Frechel - Young, chúng ta thu được: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
FT (x, x∗) ≥ hx, x∗i ≥ G(x, x∗). Do giả thiết
0 ∈ core{conv dom(T)−conv dom(∂f)}, và áp dụng Mệnh đề 1.5 chúng ta thu được
0∈ core{domFT −domG}.
Khi đó với ω ∈ H và ω∗ ∈ H∗, áp dụng Định lý 1.6, chúng ta thu được: FT (x, x∗)−G(z, z∗) ≥ ω(x∗ −z∗) +ω∗(x−z). (2.8) Bởi vậy, với mọi x∗ ∈ T (x), x ∈ dom(T) và với mọi z, z∗ chúng ta có:
hx∗ −ω∗, x−ωi+ [fJ (z) +fJ∗(−z∗) + hz, z∗i] ≥ hω∗ −z∗, ω−zi. Bây giờ ta sử dụng −ω∗ ∈ dom(∂fJ∗), áp dụng Mệnh đề 1.5 với một số v,−ω∗ ∈ ∂fJ (v) và do đó
Từ đây ta có: ω∗ ∈ T (ω). Thay x = ω và x∗ = ω∗ vào trong (2.8), và sắp xếp lại ta có:
hω∗, ωi+ {h−z∗, ωi −fJ∗(z∗)}+{hz,−ω∗i −fJ (z)} ≤ 0, với mọi z, z∗. Lấy supremum qua z và z∗ ta có:
hω∗, ωi +fJ (ω) +fJ∗(−ω∗) ≤ 0. Theo Mệnh đề 1.5, điều này cho thấy
−ω∗ ∈ ∂fJ (ω) = ∂f(ω) + J(ω).
Vậy 0 ∈ (T + ∂fJ) (ω) và có thể kết luận ∂f +T +J là toán tử tràn. Vậy ta chứng minh xong i).
Ngồi ra, theo Mệnh đề 2.10, ta có∂f+T là tốn tử đơn điệu cực đại.
Kết luận
Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hiện đại, nó có rất nhiều ứng dụng trong giải tích ứng dụng và nhiều ngành toán học ứng dụng khác như bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa,...
Luận văn này nhằm trình bày một cách tổng quan các kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu, tốn tử đơn điệu cực đại trong khơng gian Hilbert. Cụ thể là trình bày:
• Các định nghĩa và tính chất của tốn tử đơn điệu, đơn điệu tuần hồn, đơn điệu cực đại;
• Điều kiện đủ để tốn tử đơn điệu hoặc đơn điệu cực đại;
• Tính đơn điệu cực đại của tổng hai tốn tử đơn điệu cực đại. Mặc dù đã rất cố gắng, song do thời gian có hạn và trình độ cịn hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm (Giải tích hiện đại), Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà Nội.
[3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (sẽ ra), Nhập mơn Giải tích lồi, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và công nghệ.
[5] Borwein J.M & Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Spriger - Verlag.
[6] Fitzpatrick, S (1988), "Representing monotone oparators by convex functions" Work shop/Miniconferece on Function Analysis and Opti- mization (Canberra), 59-65, Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ., 20, Austral. Nat. Univ,.Canberra.
[7] G.J.Minty (1961), "On the maximal domain of a monotone function", Mich.Math.J.,8,pp.135-137.
[8] G.J.Minty (1962), "Monotone nonlinear operators in Hilbert space", Duke.Math.J.,29,pp.341-346.
[9] G.J.Minty (1964), "On the monotonicity of the gradient of a convex function", Pacific.Math.J.,14,pp.243-247.
[10] Heinz H. Bauschke, Patrick L. Combettes (2011), "Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces", Springer.
[11] Rockafellar R.T (1970), "Convex Analysis", Princeton University Press, Princeton.
[12] Rockafellar R.T (1965), "Multivalued Monotone Nonlinear Mappings in Banach Spaces", Trans.Amer. Math.118, 338-351. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[13] Rockafellar R.T. (1970), "On the Maximality of Sum of Nonlinear Monotone Operator", Tran.Amer.Math 149.
[14] Simons S. and C. Zalinescu (2004), "A New proof for Rockafellar’s characterization of maximal monotone operators", Proc. Amer. Math. Soc. 132.